Нугаралтаас үүсэх мурийлт-ын үед саваа тэнцвэрийн төлөв өөрчлөгдөхөд нэг үндсэн хавтгайд нугарна.
Гэвч тэнцвэр өөрчлөгдөхөд саваа, өөрөөр хэлбэл дам нуруу зөвхөн нугарах төдийгүй мөн мушгирдаг тогтвортой байдлын тохиолдлууд байдаг (зур. 60a). Дам нуруунд энэ үзэгдлийг хажуугийн бөхийлт, шахагдсан саваанд, бөхийх үед мөн мушгих үйлчлэлд ордог тул мушгилтын үеийн бөхийлт гэж нэрлэнэ.
Хоёр үзэгдлийн хувьд мушгралтын эсрэг хөшүүн чанарын хэмжээ C, мөн муруйлтын эсэргүүцэл C* шийдвэрлэх ач холбогдолтой. Иймээс мушгралттай холбоотой тэнцвэрийн өөрчлөлтөд голчлон мушгихын эсрэг хөшүүн чанарыг нэмэгдүүлэх арга хэмжээгээр нөлөөлж болно (зохистой хөндлөн огтлолын хэлбэр, хөндлөн хүрээ, хажуугийн тулгуурлалт гэх мэт). Харин нээлттэй огтлолтой туузан хэлбэрийн саваанууд мушгралтын үед гажихад ялангуяа мэдрэмтгий байдаг.
Хажуугийн мурийлтын дифференциал тэгшитгэл
Зураг 1a
Нэг шулуун дам нурууны инерцийн моментууд Ix >> Iy гэж маш их ялгаатай байг. Ачаалал y-z-хавтгайд байрлаж, дам нуруу энэ үндсэн хавтгайд нугарна (u=ϑ=0). Туршлага болон онол энэ тэнцвэрийн байрлал эхэндээ тогтвортой боловч илүү их ачаалалд тогтворгүй болдгийг харуулдаг. Энэ хоёр дахь тэнцвэрийн байрлал нь хөндлөн нугаралт u болон мушгирал ϑ-тэй холбоотой.
Доор хажуугийн нугаралтын дифференциал тэгшитгэлийг гаргана. u ба ϑ тэгшитгэлүүд нь нэгэн төрлийн байна. Хэрэв хил хязгаарын нөхцлүүд мөн нэгэн төрлийн бол дам нурууны хажуугийн нугаралт нь зөвхөн бодлогын өөрийн утгуудын хувьд л боломжтой, өөрөөр хэлбэл дээр тайлбарласан сааталгүй дам нуруунд u ба ϑ нь эхлээд тэг хэвээр үлдэнэ. Хажуугийн нугаралтын нөхцөл нь — савааны нугаралтынхтай адил — интегралын тогтмолуудын нэгэн төрлийн нөхцлийн тэгшитгэлийн коэффициентийн детерминант тэгтэй тэнцүү гэж үзэхэд гарна. Хажуугийн нугаралтын үед ч мөн уян тэнцвэрийн жинхэнэ салаалах цэг оршдгийг бид үзнэ.
Зураг 1b
Зураг 1b-д dz урттай дам нурууны элемент дүрслэгдсэн байна. Хүчдлүүдийн үр дүн N1, Q1, M1, мөн муруйлт κ__1 нь ачааллаас хамаарах бөгөөд эцсийн хэмжээтэй байдаг. Q, M, MD нь анхны тэнцвэрийн байрлалд тэг бөгөөд хажуугийн гулзайлт үүсэхэд л тэгээс өөр болно. Хажуугийн гулзайлтын эхлэлд хамаарах эцсийн хэмжээ, мөн түүнд харгалзах деформацууд κ болон d__ϑ/dz нь хязгааргүй бага.
Элементийн dz хоёр төгсгөлийн огтлол хоёулаа таягийн давхар муруй тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд байрлах бөгөөд эдгээр хэвийн хавтгайд мушгирна.
Савааны хувийн нугаралтын нэгэн адил биднийг нэгдүгээрт шүүмжлэлт ачааллын хэмжээ, өөрөөр хэлбэл хажуугийн нугаралтын эхлэл, харин деформацийн хэмжээ бага сонирхдог тул Q, M, MD хэмжигдэхүүнүүдийг κ эсвэл ϑ’-тэй үржүүлсэн үржвэрүүдийг хоёрдугаар зэргийн бага хэмжигдэхүүн гэж үзээд тооцохгүй орхиж болно. Иймээс цаашдын хялбаршлын үүднээс үндсэн муруйлт κ1-ийг мөн хязгааргүй бага гэж үзэж, κ ба ϑ’ мэтээр авч үзнэ.
Тайлбар: κ__1-ийн нөлөөг энгийн тусгай тохиолдолд (тогтмол нугаралтын момент M ачаалал болгон) онолын хувьд ч үнэлж болно. Барилгын техникийн ихэнх хэрэгцээнд κ__1-ийг үл тоож болно. Жишээ нь, тухайн ачааллын тохиолдолд дам нурууг ийм байдлаар “нэмсэн” гэж төсөөлж болох бөгөөд критик ачааллын үед яг κ__1=0 байдаг.
ξ, η, ζ чиглэл дэх хүчний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тэнцвэр болон мөн эдгээр тэнхлэгүүдийн хувьд моментын нөхцлөөс дээр дурдсан үл тоосон зүйлсийн дараа дараах нь гарна
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Тэгшитгэл (1c, d i b)-ээс гарна
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Q1-ийг тэгшитгэл (1a)-аас арилгавал
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Тэгшитгэл (1e)-ээс тэгэхэд Q арилж, дараа нь u ’’ нь u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
ϑ-ийн дифференциал тэгшитгэлийг гаргахын тулд момент ба деформацийн хооронд дараах хамаарлуудыг нэвтрүүлнэ
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
энд B1=EIx ба B=EIy нь дам нурууны гулзайлтын эсрэг хөшүүн чанарыг, C нь мушгиралтын эсрэг хөшүүн чанарыг, харин C* нь муруйлтын эсэргүүцлийг илэрхийлнэ. Бидний цаашдын тооцоонд энгийн болгох үүднээс C*-тэй гишүүдийг орхино. Тэгшитгэлийг жишээлбэл I-профильд хэрэглэх бол тэдгээрийг зохих ёсоор нөхөх шаардлагатай. v’’-ийн гишүүнийг үл тоомсорлох нь B1=∞ гэж үзсэнтэй адил юм.
Хэрэв M ба MD-г томь. 4-ийн тусламжтайгаар устгавал, тогтмол огтлолтой дам нурууны хажуугийн нугаралтын дифференциал тэгшитгэл гарна
Дифференциал тэгшитгэл (5) нь ϑ-ийн хувьд нэгэн төрлийн бөгөөд дөрөвдүгээр эрэмбийн байна. M1 нь ачааллаас хамаарсан z-ийн мэдэгдэж буй функц юм.
Нугаралтын момент тогтмол дам нуруу
p=N1=0, түүнчлэн Mx=ɱ=const. Огтлол нь фланцгүй (нягт) бөгөөд дам нуруу нь хөндлөн огтлолын хэмжээсүүдтэй харьцуулахад урт тул C*=0 гэж авч болно. Тэгвэл M1=ɱ шалтгаанаар (5) тэгшитгэл хялбаршина, тэгээд:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
эсвэл товчилсон хэлбэрээр λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Хоёр үзүүртээ сэрээт тулгууртай дам нуруу
Зур. 2
z=0 ба z=l үед тулгуур нь сэрээ хэлбэртэй байна (зур. 2), энэ нь u ба v хазайлтыг зөвшөөрөх боловч төгсгөлийн огтлолуудын эргэлтийг хориглоно; ϑ=0. x чиглэлд бэхлэлт байхгүй тул (өөрөөр хэлбэл M=0, эсвэл тэгшитгэл (4)-ийн дагуу мөн u’’=0), u’’-ийн тэгшитгэлээс: MD’_=0 гэж гарч, үүгээр тэгшитгэл (4c)-ээс хоёр дахь захын нөхцөл болох ϑ’’=0 тодорхойлогдоно.
Ерөнхий шийдэл тэгшитгэлийн (6a) нь
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Контурын нөхцлөөс дараах нь гарна
Энэ нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем дараахыг агуулна:
- Тривиаль шийдэл A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, үүнд ϑ=0, u’’=0 эсвэл u=0 тохирох бөгөөд дам нуруу хажуу тийш мурийхгүй.
- Өөрийн шийдлүүд Δ=0 эсвэл sin λ__l=0. Хажуугийн гулзайлтын энэ нөхцлийн язгуурууд нь λ__l=n__π (n=1,2,3,∙∙∙) бөгөөд түүнд харгалзах критик моментын ачааллууд
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Хажуугийн гулзайлтын хамгийн бага момент
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
n=1 дээр үүснэ. Тохирох шийдэл нь тэгшитгэл (1f)-ийг хэрэглэхэд:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
б) Хажуугийн гулзайлтын бусад тохиолдлууд
c) Нугалах момент ба шахах хүчнээс үүдэлтэй хажуугийн нугаралт
Зураг 3-д үзүүлсэн жишээнд N1=-D (шахалт), p=0, дараа нь C*=0 гэж авна. Тэгвэл дифференциал тэгшитгэл (5) хялбаршиж дараах байдалтай болно
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
энд λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Дифференциал тэгшитгэлийн (9) шийдэл нь дахин тэгшитгэл (8)-ээр өгөгдөнө, зөвхөн одоо λ нь өөр утгыг илэрхийлнэ.
Зураг 3
Жишээ зураг 3-д а) тохиолдлын нэгэн адил контурын нөхцлүүд ϑ=0 ба ϑ’’=0 нь z=0 болон z=l дээр хүчинтэй. Иймээс A1-ийн нөхцлийн тэгшитгэлүүд ч албан ёсоор ижил бөгөөд хажуугийн нугаралтын нөхцөл Δ=sin λl=0 мөн адил. Шийдвэрлэх ачаалал нь λl=nπ (n=1,2,3) хамаарлыг хангаж, хамгийн бага утга нь
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0-д харгалзах хажуугийн нугаралтын момент нь томьёо (8c)-ийн дагуу гарна, харин цэвэр шахалтын ачаалал (ɱ=0) үед Euler-ийн нугаралтын хүч _DK=B(π/l)_2 болно.
Зураг 3-т үзүүлсэн тохиолдлыг y-z хавтгай дахь эксцентрик нугаралт гэж тэмдэглэх ёстой. Иймээс дээр авч үзсэн тогтворжилтын тохиолдол нь нугаралтын хавтгайгаас гадуурх мурийлт бөгөөд хажуугийн нугаралт u болон эргэлт ϑ-тэй холбоотой.
Хоёр үзүүр хоёулаа бэхлэгдсэн (ϑ=0 ба ϑ’=0) бол контурын нөхцлөөс, Δ=0-ийн тусламжтайгаар хажуугийн гулзайлтын нөхцөл гарна
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) язгуур болон хажуугийн нугаралтын хүчнүүдтэй
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.