휨좌굴의 경우, 평형 상태가 변할 때 봉은 하나의 주평면에서 휜다.
하지만 평형이 변할 때 봉, 즉 보가 단지 휘어질 뿐 아니라 비틀리기까지 하는 안정성의 경우도 있다(그림 60a). 보 부재에서는 이 현상을 _측면 좌굴_이라 하고, 좌굴 시 역시 비틀림에 노출되는 압축봉의 경우에는 _비틀림 좌굴_이라고 한다.
두 현상 모두에서 비틀림에 대한 강성 C, 즉 비틀림 저항 _C*_의 크기가 결정적입니다. 따라서 비틀림과 관련된 평형 변화에는 무엇보다도 비틀림 강성을 높이는 조치(적절한 단면 형상, 횡방향 골조, 측면 지지 등)로 영향을 줄 수 있습니다. 반면 개방 단면을 가진 띠 모양 부재는 비틀림 시 좌굴에 특히 민감합니다.
측방 좌굴에 대한 미분방정식
도. 1a
어떤 직선 보가 매우 불균등한 크기의 일정한 관성모멘트 Ix >> _Iy_를 가진다고 하자. 하중은 y-z-평면에 놓여 있어 보는 이 주평면에서 휜다(u=ϑ=0). 경험과 이론 모두 이 평형 상태가 처음에는 안정하지만, 더 큰 하중에서는 불안정해진다는 것을 보여준다. 이 두 번째 평형 상태는 횡방향 굽힘 u 및 비틀림 _ϑ_와 관련된다.
아래에서 측면 좌굴에 대한 미분방정식을 유도한다. _u_와 _ϑ_에 대한 방정식은 동차이다. 경계조건도 동차이면 보의 측면 좌굴은 오직 문제의 고유값에 대해서만 가능하며, 즉 위에서 설명한 교란 없는 보에서 _u_와 _ϑ_는 처음에는 0으로 남는다. 측면 좌굴 조건은 막대의 좌굴에서와 유사하게, 적분상수에 대한 동차 조건식 계수의 행렬식이 0과 같다고 두어 얻는다. 측면 좌굴에서도 탄성 평형의 진정한 분기점이 존재함을 보게 될 것이다.
그림 1b
그림 1b에는 길이 _dz_의 보 요소가 나타나 있다. 응력 합력 N1, Q1, M1, 그리고 곡률 _κ__1_는 하중에 따라 달라지며 유한한 값이다. Q, M, _MD_는 초기 평형 위치에서는 0이며, 횡좌굴이 발생해야만 0에서 벗어난다. 횡좌굴의 시작에 해당하는 극한값은 무한소이며, 이에 대응하는 변형 κ 및 d__ϑ/_dz_도 마찬가지다.
요소 _dz_의 양쪽 끝 단면은 이중으로 곡선인 막대 축에 수직인 평면에 놓이며, 이들 수직 평면에서 비틀리게 된다.
막대의 좌굴에서와 마찬가지로 여기서도 1차적으로 중요한 것은 임계하중의 크기, 즉 측면 좌굴의 시작이며, 변형의 크기는 덜 중요하므로, Q, M, _MD_의 크기와 κ 또는 _ϑ’_의 곱은 2차의 작은 값으로 간주하여 무시할 수 있다. 따라서 추가적인 단순화를 위해 주곡률 _κ1_도 무한소라고 가정하고 κ 및 _ϑ’_로 취급한다.
참고: _κ__1_의 영향도 간단한 특수 경우(하중으로서의 일정한 굽힘모멘트 M)에서는 이론적으로 평가할 수 있습니다. 건설기술의 대부분의 경우 _κ__1_는 무시할 수 있습니다. 예를 들어, 해당 하중 경우에 보가 충분히 “상향캠버”되어 있어 임계 하중에서는 바로 κ__1=0_가 된다고 생각할 수 있습니다.
ξ, η, ζ 방향의 힘 성분의 평형과 이들 동일한 축에 대한 모멘트 조건으로부터, 앞서 언급한 무시를 적용하면 다음이 얻어진다_
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
식 (1c, d 및 b)에서 다음을 얻는다
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
_Q1_를 식 (1a)에서 제거하면 다음을 얻는다.
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
식. (1e)로부터 _Q_가 제거되고, 이어서 _u ’’는 u’’ = (MD’ + pe ϑ)/M1_를 통해 구해진다.
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
_ϑ_에 대한 미분방정식을 얻기 위해 모멘트와 변형 사이에 다음과 같은 관계를 도입한다
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
여기서 B1=EIx 및 _B=EIy_는 보의 휨 강성을, _C_는 비틀림 강성을, _C*_는 굽힘 저항을 의미한다. 이후의 계산에서는 단순화를 위해 _C*_가 포함된 항은 생략하겠다. 예를 들어 이 방정식을 I형강에 적용하려면 적절히 보완해야 한다. v’’ 항을 무시한다는 것은 B1=∞라고 가정하는 것과 같다.
_M_과 _MD_를 식 4에 의해 제거하면, 단면이 일정한 보의 _횡좌굴에 대한 미분방정식_을 얻는다
미분방정식(5)은 _ϑ_에 대해 동차이며 4차이다. _M1_은 하중에 따라 _z_의 함수로 알려져 있다.
굽힘 모멘트가 일정한 보
p=N1=0이라 하고, 또한 Mx=ɱ=const.라 하자. 단면에는 플랜지가 없고(압축 단면) 보가 단면 치수에 비해 길기 때문에 C*=0라고 둘 수 있다. 그러면 식 (5)은 M1=ɱ 때문에 단순화되어, 다음과 같다:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
또는 약기호 λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) 양쪽 끝이 포크형 지지인 보
그림. 2
z=0 및 z=_l_에서의 지지는 포크 형식(그림 2)으로 되어 있어, _u_와 _v_의 처짐은 허용하지만 끝단 단면의 회전은 막는다; ϑ=0. x 방향에는 고정이 없으므로(즉, M=0, 또는 식 (4)에 따라 u’’=0 역시), _u’’에 대한 식으로부터 MD’=0가 도출되고, 따라서 식 (4c)로부터 두 번째 경계 조건으로 ϑ’’=0가 된다.
식의 일반해 (6a)는
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
윤곽 조건으로부터 다음을 얻는다
이 동차 연립방정식은 다음을 갖는다:
- 자명한 해 A1 = A2 = ∙∙∙ = 0이며, 이에 대응하는 ϑ=0, u’’=0 또는 u=0로서, 이때 보의 측면 좌굴은 일어나지 않는다.
- 고유해는 Δ=0 또는 sin λ__l=0. 이 좌굴 조건의 근은 λ__l=n__π (n=1,2,3,∙∙∙)이며 이에 대응하는 임계 모멘트 하중은
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
최소 횡좌굴 모멘트
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
n=1에서 성립한다. 이에 상응하는 해는 식 (1f)를 적용함으로써 얻는다:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) 기타 좌굴 사례
c) 굽힘모멘트와 압축력으로 인한 측면 좌굴
그림 3에 보인 예에서는 N1=-D (압축), p=0, 이어서 C*=0로 두었다. 그러면 미분 방정식 (5)은 단순화되어 다음과 같다
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
where λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
미분방정식의 해(9)는 다시 식(8)으로 주어지며, 이제 _λ_는 다른 값을 나타낸다.
그림. 3
예시 그림 3에 대해서는 a)와 마찬가지로 윤곽 조건 ϑ=0 및 ϑ’’=0가 z=0와 z=_l_에 대해 적용된다. 따라서 _A1_에 대한 조건식도 형식상 동일하며, 측면 좌굴 조건 Δ=sin λl=0도 마찬가지이다. 임계하중은 관계식 λl=nπ (n=1,2,3)를 만족하며, 최소값은
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0에 대해, 그로부터 식 (8c)에 따른 측면 좌굴 모멘트를 구하며, 순수 압축 하중(ɱ=0)의 경우 Euler-좌굴력 _DK=B(π/l)_2을 얻습니다.
그림 3의 경우는 y-z 평면에서의 편심휨으로 표시해야 한다. 따라서 앞서 검토한 안정성의 경우는 휨 평면 밖으로의 좌굴이 측방 굽힘 u 및 비틀림 _ϑ_와 결합된 것이다.
양쪽 끝이 고정되어 있으면(ϑ=0 및 ϑ’=0) 경계 조건으로부터 Δ=0를 이용하여 측면 좌굴 조건을 얻는다
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
근이 λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙)이고 횡좌굴력과 함께
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.