Per instabilità per flessione a barra, à u cambiamentu d’equilibriu, hè piegata in unu di i piani principali.
Ma ci sò ancu tali casi di stabilità induve a verga, vale à dì a trave, à u cambiamentu di equilibriu ùn sò micca solu incurvati ma ancu torciuti (fig. 60a). In i sustegni stu fenomenu si chjama imbarzamentu laterale, in e verge compresse, chì à u mumentu di l’imbarzamentu sò ancu sottumesse à torsione, si parla d’imbarzamentu per torsione.
Per i dui fenomeni hè di impurtanza decisiva a grandezza di a rigidità contr’à a torsione C, rispettivamente a resistenza à a curvatura C*. A mudificazione di l’equilibriu ligata à a torsione pò dunque esse influenzata in primu locu da misure chì aumentanu a rigidità contr’à l’imbulighjamentu (forma adatta di a sezzione, quadri trasversali, sustegnu laterale, ecc.). D’altronde, i bastoni à forma di banda cù sezzione aperta sò particularmente sensibili à u svergulamentu per torsione.
Equazione differenziale per l’invucamentu laterale
Fig. 1a
Ch’ella sia una trave diritta cù mumenti d’inerzia custanti di valori assai disuguali Ix >> Iy. A carica si trova in u pianu y-z-cusì chì a trave serà incurvata in stu pianu principale (u=ϑ=0). L’esperienza cum’è a teoria mostranu chì sta pusizione d’equilibriu hè prima stabile, ma ch’ella diventa labilie per carichi più grandi. Sta seconda pusizione d’equilibriu hè ligata à a flessione trasversale in u è à a torsione ϑ.
Quì sottu serà sviluppata l’equazione differenziale per u sbandamentu laterale. L’equazioni per u è ϑ sò omogenee. S’elli sò omogenei dinù i cundizioni di cuntornu, tandu u sbandamentu laterale di a trave hè pussibule solu per i valori proprii di u prublema, vale à dì u è ϑ fermanu in primu locu zeru pè a trave sopra discritta senza perturbazione. A cundizione di sbandamentu laterale si ottene – simile à u casu di u sbandamentu d’una barra – mettendu à zeru u determinante di i coefficienti di l’equazioni cundiziunali omogenee per e custanti d’integrazione. Vidaremu chì ancu à u sbandamentu laterale esiste un veru puntu di bifurcazione di l’equilibriu elasticu.
Fig. 1b
In a fig. 1b hè prisentatu un elementu di trave di lunghezza dz. I risultanti di i tennsioni N1, Q1, M1, è dinù a curvatura κ__1 dipendenu da a carica è sò quantità finite. Q, M, MD sò nulle in a pusizione d’equilibriu iniziale, è si siconderanu da zeru solu quandu apparisce u buckling latu. E quantità limite, chì currispondenu à l’iniziu di u buckling latu, sò infinitamente chjuche, listessu chè e deformazioni currispundenti κ è d__ϑ/dz.
E duie sezzioni finali di l’elementu dz si trovanu in un pianu nurmale à l’asse à doppia curvatura di a barra è si vuleranu in sti piani nurmali.
Siccome ci interessanu in primu locu - cum’è in u casu di l’imbarcamentu d’una verga - a grandezza di u caricu criticu, vale à dì u principiu di l’imbarcamentu laterale, è menu a grandezza di e deformazioni, pudemu trascurà i prudutti di e grandezze Q, M, MD cù κ o ϑ’ cum’è piccule grandezze di secondu ordine. Dunque, per simplificazione ulteriore, piglieremu ancu a curvatura principale κ1 cum’è infinitamente chjuca è serà trattata cum’è κ è ϑ’.
Nota: L’influenza di κ__1 deve ancu esse valutata teoricamente in un casu spezialu simplice (momentu di flessione custante M cum’è carica). In a maiò parte di i bisogni di a tecnulugia di custruzzione, κ__1 si pò trascurà. Si pò, per esempiu, imaginà cum’è s’ellu a trave per u casu di carica in quistione fussi cusì „sopraelevata“ chì pè a carica critica propiu κ__1=0.
Da l’equilibriu di e cumpunenti di e forze in e direzzioni ξ, η, ζ è da e cundizioni di momentu in raportu à issi stessi assi si ottene, dopu à e simplificazioni mintuvate
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Da l’equazioni. (1c, d è b) si ottene
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminendu Q1 da l’equazione (1a) si ottene
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Da l’equaz. (1e) serà cusì eliminatu Q, dopu u’’ per mezu di u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Per ottene l’equazione differenziale per ϑ, si introduranu e relazioni seguenti trà mumenti è deformazioni
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
induve B1=EIx è B=EIy indicanu a rigidità contr’à a flessione di a trave, C a rigidità contr’à a torsione, è C* a resistenza à l’imbarcu. In i nostri calculi seguenti ometteremu i termini cù C* per simplicità. S’elli devenu esse applicati, per esempiu, à i prufili I, hè necessariu di cumplementà li in modu adattatu. A trascuranza di u termine v’’ vole dì listessu chè l’ipotesi B1=∞.
S’è M è MD sò eliminati cù l’aiutu di l’equazione 4 si ottene l’equazione differenziale per l’imbarcamentu laterale di una trave di sezzione constante
L’equazione differenziale (5) hè omugenea è di quartu ordine in ϑ. M1 hè una funzione cunnisciuta di z in funziò di a carica.
Trave cù mumentu di flessione custante
Sia p=N1=_0, in più Mx=ɱ=const. A sezzione hè senza flangia (cumpressa) è a trave hè longa in raportu à e dimensioni di a sezzione trasversale, cusì chì pudemu mette C*=_0. Tandu l’equaz. (5) si simplifica, per via di M1=ɱ, è hè:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
o cù l’abbreviazione λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Trave cù appoghju à forca à e duie estremità
Fig. 2
L’appoghju à z=0 è à z=l hè in forma di forchette (fig. 2), chì permettenu e flessioni u è v, ma impediscenu a rotazione di e sezzioni finali; ϑ=0. Siccome in direzzione x ùn ci hè incastru (vale à dì M=0, o secondu l’equaz. (4) dinù u’’=0), ne vene da l’equaz. pè u’’: MD’=0 è dunque da l’equaz. (4c) cum’è seconda cundizione di cunfini ϑ’’=0.
A soluzione generale di l’equazione. (6a) hè
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Da e cundizione di contornu si ottene
Stu sistema omogeneu d’equazioni hà:
- Suluzione triviale A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, à a quale currisponde ϑ=0, u’’=0 o u=0, mentri a trave ùn si piega lateralmente.
- Suluzioni proprie secondu Δ=0 o sin λ__l=0. E radiche di sta cundizione di buckling laterale sò λ__l=n__π (cù n=1,2,3,∙∙∙) è i currispundenti carichi critichi di mumentu
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
U mumentu minimu d’imbarcu laterale
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
nasce à n=1. A suluzione adatta si ottene aduprendu l’equ. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Altri casi di curvatura laterale
c) Piegamentu laterale dovutu à u mumentu di flessione è à a forza di compressione
Per l’esempiu mostratu in fig. 3 hè N1=-D (pressione), p=0, dopu hè statu messu C*=0. Tandu l’equazione diffirenziale (5) si simplifica è dice
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
induve λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
A suluzione di l’equazione differenziale (9) hè dinò data da l’eq. (8), solu chì avà λ indica un altru valore.
Fig. 3
Per l’esempiu di a fig. 3 valenu, listessu chè per a), e cundizioni di cuntornu ϑ=0 è ϑ’’=0 per z=0 è z=l. Dunque, e equazioni cundiziunali per A1 sò ancu formalmente identiche, è ancu a cundizione di svergulamentu latu Δ=sin λl=0. A carica critica soddisfa a relazione λl=nπ (n=1,2,3) è u valore minimu hè
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Per D=0 si ottene da quì u mumentu di flambamentu latu secondu l’eq. (8c) è, per una carica puramente di compressione (ɱ=0), a forza d’Euler di flambamentu _DK=B(π/l)_2.
Nantu à a fig. 3 u casu rapprisintatu deve esse chjamatu flessione eccentrica in u pianu y-z. U casu di stabilità cunsideratu prima hè, dunque, una curvatura fora di u pianu di flessione, ligata à a flessione laterale u è à a torsione ϑ.
S’è i dui capi sò inchjustrati (ϑ=0 è ϑ’=0) tandu, da e cundizione di cunfina, cù Δ=0, si ottene a cundizione di flessu laterale
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
cù e radiche λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) è e forze d’imbarcamentu laterale
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.