Для изгиба при потере устойчивости стержень при изменении равновесия изгибается в одной главной плоскости.
Но бывают и такие случаи устойчивости, при которых стержень, соответственно балка, при нарушении равновесия испытывают не только изгиб, но и кручение (рис. 60a). Для стоек это явление называется боковым выпучиванием, для сжатых стержней, которые при выпучивании также подвергаются кручению, говорят о выпучивании при кручении.
Для обоих явлений решающее значение имеет величина жёсткости на кручение C, соответственно сопротивление изгибу C*. На изменение равновесия, связанное с кручением, поэтому в первую очередь можно повлиять мерами, повышающими жёсткость против скручивания (соответствующая форма сечения, поперечные рамы, боковое раскрепление и т. д.). С другой стороны, стержни в виде полосы с открытым сечением особенно чувствительны к потере устойчивости при кручении.
Дифференциальное уравнение для бокового выпучивания
Рис. 1a
Пусть прямой брус имеет постоянные моменты инерции, сильно различающиеся по величине Ix >> Iy. Нагрузка лежит в плоскости y-z, так что брус будет изогнут в этой главной плоскости (u=ϑ=0). Опыт, как и теория, показывают, что это положение равновесия сначала устойчиво, но при больших нагрузках становится неустойчивым. Это второе положение равновесия связано с поперечным изгибом в u и с кручением ϑ.
Ниже будет выведено дифференциальное уравнение для бокового выпучивания. Уравнения для u и ϑ являются однородными. Если и граничные условия однородны, то боковое выпучивание балки возможно только для собственных значений задачи, т. е. u и ϑ сначала остаются равными нулю для вышеописанной балки без возмущения. Условие бокового выпучивания получается — подобно выпучиванию стержня — если положить равным нулю определитель коэффициентов однородных уравнений условий для интеграционных констант. Мы увидим, что и при боковом выпучивании существует действительная точка бифуркации упругого равновесия.
Рис. 1b
На рис. 1b представлен элемент балки длиной dz. Результанты напряжений N1, Q1, M1, а также кривизна κ__1 зависят от нагрузки и имеют конечные значения. Q, M, MD равны нулю в исходном равновесном положении и отличатся от нуля лишь при возникновении бокового выпучивания. Предельные величины, относящиеся к началу бокового выпучивания, бесконечно малы, как и соответствующие деформации κ и d__ϑ/dz.
Оба крайних сечения элемента dz лежат в нормальной плоскости к двояко изогнутой оси стержня и будут закручены в этих нормальных плоскостях.
Поскольку нас — как и при потере устойчивости стержня — в первую очередь интересует величина критической нагрузки, то есть начало бокового выпучивания, а не величина деформаций, произведения величин Q, M, MD на κ или ϑ’ мы можем пренебречь как малыми величинами второго порядка. Поэтому для дальнейшего упрощения и главную кривизну κ1 будем считать бесконечно малой, и она будет рассматриваться как κ и ϑ’.
Примечание: Влияние κ__1 должно быть теоретически оценено и в простом частном случае (постоянный изгибающий момент M как нагрузка). В большинстве задач строительной техники κ__1 можно не учитывать. Можно, например, представить себе, что балка для данного случая нагружения так «приподнята», что для критической нагрузки именно κ__1=0.
Из равновесия составляющих сил в направлениях ξ, η, ζ и из моментных условий относительно тех же осей после упомянутых пренебрежений получается
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Из ур. (1c, d и b) получается
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Исключая Q1 из ур. (1a), получаем
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Из уравн. (1e) при этом будет исключено Q, затем u ’’ через u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Чтобы получить дифференциальное уравнение для ϑ, введем следующие соотношения между моментами и деформациями
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
где обозначает B1=EIx и B=EIy жесткости на изгиб балки, C жесткость на кручение, а C* сопротивление короблению. В наших дальнейших расчетах мы исключим члены с C* ради упрощения. Если уравнения должны применяться, например, к I-профилям, то их необходимо соответствующим образом дополнить. Пренебрежение членом v’’ означает то же самое, что и предположение B1=∞.
Если исключить M и MD с помощью уравн. 4, получается дифференциальное уравнение бокового выпучивания балки постоянного сечения
Дифференциальное уравнение (5) является однородным и четвертого порядка по ϑ. M1 — известная функция от z в зависимости от нагрузки.
Балка с постоянным моментом изгиба
Пусть p=N1=0, кроме того Mx=ɱ=const. Сечение без полки (сплошное), и балка длинная по отношению к размерам поперечного сечения, так что можно положить C*=0. Тогда уравн. (5) упрощается из-за M1=ɱ, и получается:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
или с сокращением λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Балка с вилкообразными опорами на обоих концах
Рис. 2
Опирание при z=0 и z=l выполнено в виде вилок (рис. 2), которые допускают прогибы u и v, но препятствуют повороту крайних сечений; ϑ=0. Поскольку в направлении x нет защемления (то есть M=0, или по уравн. (4) также u’’=0), из уравнения для u’’: MD’=0 и, следовательно, из уравнения (4c) как второе граничное условие следует ϑ’’=0.
Общее решение ур. (6a) есть
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Из граничных условий получают
Эта однородная система уравнений имеет:
- Тривиальное решение A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, чему соответствует ϑ=0, u’’=0 или u=0, при этом балка не выкручивается в бок.
- Собственные решения по Δ=0 или sin λ__l=0. Корни этого условия бокового изгиба равны λ__l=n__π (при n=1,2,3,∙∙∙), а соответствующие критические моментные нагрузки
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Наименьший момент бокового изгиба
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
возникает при n=1. Соответствующее решение получается применением ур. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Прочие случаи бокового выпучивания
c) Боковой изгиб вследствие изгибающего момента и сжимающей силы
Для примера, показанного на рис. 3, N1=-D (сжатие), p=0, затем было принято C*=0. Тогда дифференциальное уравнение (5) упрощается и имеет вид
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
где λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Решение дифференциального уравнения (9) снова дано уравн. (8), только теперь λ обозначает другое значение.
Рис. 3
Для примера на рис. 3 действуют, как и для a), контурные условия ϑ=0 и ϑ’’=0 для z=0 и z=l. Следовательно, и условные уравнения для A1 формально одинаковы, а также и условие бокового выпучивания Δ=sin λl=0. Критическая нагрузка удовлетворяет соотношению λl=nπ (n=1,2,3) и наименьшее значение равно
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Для D=0 оттуда получается момент бокового выпучивания по уравн. (8c), а для чисто сжимающей нагрузки (ɱ=0) Эйлерово- сила выпучивания _DK=B(π/l)_2.
На рис. 3 представленный случай следует обозначить как внецентренный изгиб в плоскости y-z. Рассмотренный выше случай устойчивости, таким образом, представляет собой искривление из плоскости изгиба, связанное с боковым изгибом u и кручением ϑ.
Если оба конца заделаны (ϑ=0 и ϑ’=0), то из граничных условий, с помощью Δ=0, получается условие бокового выпучивания
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
с корнями λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) и силами бокового выпучивания
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.