Per a flambatge per flexió, la barra, en canviar l’equilibri, es corba en un sol pla principal.
Però també hi ha casos d’estabilitat en què la barra, respectivament la biga, en canviar l’equilibri no només es doblega sinó que també es torsiona (fig. 60a). En els pilars, aquest fenomen s’anomena flambatge lateral; en les barres comprimides, que durant el flambatge també estan sotmeses a torsió, es parla de flambatge per torsió.
Per a tots dos fenòmens és de cabdal importància el valor de la rigidesa a la torsió C, respectivament la resistència al vinclament C*. El canvi d’equilibri associat a la torsió es pot influir principalment mitjançant mesures que augmentin la rigidesa a la torsió (forma adequada de la secció, marcs transversals, apuntalament lateral, etc.). D’altra banda, les barres en forma de cinta amb secció oberta són especialment sensibles al vinclament per torsió.
Equació diferencial per al vinclament lateral
Fig. 1a
Suposem que una biga recta té moments d’inèrcia constants de valors molt desiguals Ix >> Iy. La càrrega es troba al pla y-z, de manera que la biga es doblegarà en aquest pla principal (u=ϑ=0). L’experiència, així com la teoria, mostren que aquesta posició d’equilibri és primer estable, però que per a càrregues més grans esdevé inestable. Aquesta segona posició d’equilibri està vinculada amb el flexionament transversal en u i amb la torsió ϑ.
A continuació es derivarà l’equació diferencial per al vinclament lateral. Les equacions per a u i ϑ són homogènies. Si també les condicions de contorn són homogènies, aleshores el vinclament lateral de la biga només és possible per als valors propis del problema, és a dir, u i ϑ romanen primer a zero en la biga descrita abans, sense pertorbació. La condició de vinclament lateral s’obté —de manera semblant al vinclament de la barra— si es fa que el determinant dels coeficients de les equacions condicionals homogènies per a les constants d’integració sigui igual a zero. Veurem que també en el vinclament lateral hi ha un veritable punt de bifurcació de l’equilibri elàstic.
Fig. 1b
A la fig. 1b es mostra un element de biga de longitud dz. Les resultants de les tensions N1, Q1, M1, així com la curvatura κ__1 depenen de la càrrega i són magnituds finites. Q, M, MD són zero en la posició inicial d’equilibri, i només es diferenciaran de zero quan es produeixi la flexió lateral. Les magnituds límit, que corresponen a l’inici de la flexió lateral, són infinitament petites, igual que les deformacions corresponents κ i d__ϑ/dz.
Totes dues seccions extremes de l’element dz es troben en un pla normal a l’eix doblement corbat de la barra i es torçaran en aquests plans normals.
Com que, igual que en el vinclament d’una barra, ens interessa en primer lloc la magnitud de la càrrega crítica, és a dir, l’inici del vinclament lateral, i menys la magnitud de les deformacions, podem negligir els productes de magnituds Q, M, MD amb κ o ϑ’ com a magnituds petites de segon ordre. Per tant, per a una nova simplificació, també suposarem que la curvatura principal κ1 és infinitament petita i serà tractada com κ i ϑ’.
Nota: La influència de κ__1 també s’ha de valorar teòricament en un cas especial simple (moment flector constant M com a càrrega). En la majoria de necessitats de la tècnica de l’edificació es pot negligir κ__1. Per exemple, podem imaginar que la biga per al cas de càrrega corresponent està tan «sobrealçada» que per a la càrrega crítica és precisament κ__1=0.
De l’equilibri de les components de les forces en les direccions ξ, η, ζ i de les condicions de moments respecte a aquests mateixos eixos s’obté, després de les esmentades simplificacions
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
De les eq. (1c, d i b) s’obté
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminant Q1 de l’equació (1a) s’obté
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
De l’eq. (1e) s’eliminarà així Q, i després u ’’ mitjançant u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Per obtenir l’equació diferencial per a ϑ, s’introduiran les relacions següents entre moments i deformacions
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
on indica B1=EIx i B=EIy la rigidesa a flexió de la biga, C la rigidesa a torsió, i C* la resistència al vinclament. En els nostres càlculs posteriors omitirem els termes amb C* per simplificar. Si les equacions s’han d’aplicar, per exemple, a perfils I, cal completar-les adequadament. La negligència del terme v’’ significa el mateix que l’assumpció B1=∞.
Si s’eliminen M i MD mitjançant l’equació 4, s’obté l’equació diferencial per a la flexió lateral d’una biga de secció constant
L’equació diferencial (5) és homogènia i de quart ordre en ϑ. M1 és una funció coneguda de z en funció de la càrrega.
Biga amb moment de flexió constant
Siguin p=N1=0, a més Mx=ɱ=const. La secció no té ala (és compacta) i la biga és llarga en relació amb les dimensions de la secció transversal, de manera que podem posar C*=0. Llavors s’es simplifica l’eq. (5), a causa de M1=ɱ, i queda:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
o amb l’abreviatura λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Biga amb suport de forquilla als dos extrems
Fig. 2
L’emplaçament en z=0 i z=l és en forma de forquilles (fig. 2), que permeten les fletxes u i v, però impedeixen el gir de les seccions extremes; ϑ=0. Com que en la direcció x no hi ha encastament (és a dir, M=0, o bé segons l’equació (4) també u’’=0), de l’equació per a u’’: MD’_=0 i, així, de l’equació (4c) se’n desprèn com a segona condició de contorn ϑ’’=0.
La solució general de l’eq. (6a) és
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
S’obté a partir de les condicions de contorn
Aquest sistema homogeni d’equacions té:
- Solució trivial A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, a la qual corresponen ϑ=0, u’’=0 o u=0, amb la qual cosa la biga no es vincla lateralment.
- Solucions pròpies segons Δ=0 o _sin λ__l=0. Les arrels d’aquesta condició de flambatge lateral són λ__l=n__π (amb n=1,2,3,∙∙∙) i els corresponents moments crítics de càrrega
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Moment mínim de vinclament lateral
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
es produeix a n=1. La solució corresponent s’obté aplicant l’eq. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Altres casos de vinclament lateral
c) Vinclament lateral a causa del moment de flexió i de la força de compressió
Per a l’exemple mostrat a la fig. 3 es té N1=-D (compressió), p=0, després s’ha posat C*=0. Aleshores l’equació diferencial (5) es simplifica i queda
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
on λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
La solució de l’equació diferencial (9) es dona novament per l’equació (8), només que ara λ indica un altre valor.
Fig. 3
Per a l’exemple de la fig. 3 són aplicables, igual que per a a), les condicions de contorn ϑ=0 i ϑ’’=0 per a z=0 i z=l. Per tant, les equacions condicionals per a A1 són també formalment idèntiques, així com la condició de vinclament lateral Δ=sin λl=0. La càrrega crítica compleix la relació λl=nπ (n=1,2,3) i el valor més petit és
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Per a D=0 s’obté d’aquí el moment de vinclament lateral segons l’eq. (8c) i, per a una càrrega purament de compressió (ɱ=0), la força d’Euler de vinclament _DK=B(π/l)_2.
A la fig. 3 el cas representat s’ha d’anomenar flexió excèntrica en el pla y-z. El cas d’estabilitat anteriorment examinat és, per tant, un vinclament fora del pla de flexió lligat amb la flexió lateral u i la torsió ϑ.
Si tots dos extrems estan encastats (ϑ=0 i ϑ’=0) aleshores, a partir de les condicions de contorn, mitjançant Δ=0, s’obté la condició de vinclament lateral
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
amb arrels λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) i forces de flexió lateral
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.