Para sa pag-ukilos na dulot ng pagbaluktot ang baras, sa pagbabago ng balanse, ay nababaluktot sa isang pangunahing eroplano.
Ngunit mayroon ding mga ganitong kaso ng katatagan kung saan ang baras, o kaya ang sinag, sa pagbabago ng balanse ay hindi lamang nababaluktot kundi nagkakaroon din ng pag-ikot (fig. 60a). Sa mga tagapasan, ang penomenong ito ay tinatawag na pansidlang pagbaluktot, samantalang sa mga baras na nasa pag-compress, na sa panahon ng pagbaluktot ay nalalantad din sa torsyon, ang tawag dito ay pagbaluktot dahil sa torsyon.
Para sa parehong penomeno, ang laki ng katigasan laban sa torsyon C, o ang paglaban sa pagbaluktot C*, ay may mapagpasyang kahalagahan. Kaya ang pagbabago ng ekilibriyo na kaugnay ng torsyon ay pangunahing naaapektuhan ng mga hakbang na nagpapataas ng katigasan laban sa pag-ikot (angkop na anyo ng seksiyon, mga panlahatang balangkas, pag-suporta sa gilid, atbp.). Sa kabilang banda, ang mga baras na parang strip na may bukas na seksiyon ay lalo nang sensitibo sa pag-ikot na pagbukol sa torsyon.
Diferensiyal na ekwasyon para sa pagbaluktot sa tagiliran
Lar. 1a
Ipagpalagay na ang isang tuwid na biga ay may pare-parehong mga moment ng inersiya na lubhang di-magkasinglaki Ix >> Iy. Ang karga ay nasa y-z-eroplano kaya ang biga ay mababaluktot sa pangunahing eroplanong ito (u=ϑ=0). Ipinakikita ng karanasan gayundin ng teorya na ang balanseng posisyong ito ay sa simula ay matatag, ngunit nagiging di-matatag kapag mas malaki ang mga karga. Ang ikalawang posisyong balanse ay kaugnay ng pahalang na pagbaluktot sa u at ng torsiyon ϑ.
Sa ibaba ay ilalahad ang differential equation para sa lateral buckling. Ang mga equation para sa u at ϑ ay homogenous. Kung homogenous din ang mga kondisyon sa hangganan, ang lateral buckling ng biga ay posible lamang para sa mga sariling halaga ng problema, ibig sabihin, ang u at ϑ ay unang nananatiling sero sa inilarawang bigang walang kaguluhan. Ang kondisyon ng lateral buckling ay nakukuha—katulad ng sa buckling ng baras—kung itatakdang sero ang determinante ng koepisyente ng mga homogenous na kondisyon na equation para sa mga integrasyon konstant. Makikita natin na kahit sa lateral buckling ay may tunay na punto ng paghahati ng elastikong balanse.
Fig. 1b
Sa lar. 1b ay ipinakita ang elementong biga na may habang dz. Ang mga resultant ng mga diin N1, Q1, M1, pati na rin ang kurba κ__1 ay nakadepende sa karga at may may hangganang halaga. Ang Q, M, MD ay sero sa orihinal na posisyong balanse, at magiging iba sa sero lamang kapag naganap ang pagtabingi sa gilid. Ang mga huling halaga, na tumutukoy sa pagsisimula ng pagtabingi sa gilid, ay napakaliit, gayundin ang kaukulang mga deformasyon κ at d__ϑ/dz.
Ang dalawang dulo ng hiwa ng elementong dz ay nasa normal na eroplano sa dobleng kurbadong aksis ng tungkod at iikutan sa mga normal na eroplano na ito.
Dahil, tulad din sa pagbaluktot ng baras, pangunahin nating sinusuri ang laki ng kritikal na karga, ibig sabihin ang simula ng pagbaluktot sa gilid, at hindi gaanong ang laki ng mga deformasyon, maaari nating balewalain ang mga produkto ng mga halagang Q, M, MD sa κ o ϑ’ bilang maliliit na halagang ikalawang antas. Kaya, para sa higit pang pagpapasimple, ipalalagay din nating walang-hangganang maliit ang pangunahing kurbadang κ1 at ituturing ito bilang κ at ϑ’.
Tala: Ang epekto ng κ__1 ay maaari ring tasahin sa teorya sa isang simpleng espesyal na kaso (konstanteng bending moment M bilang karga). Sa karamihan ng pangangailangan ng inhinyeriyang pangkonstruksyon, maaaring isantabi ang κ__1. Maaari, halimbawa, nating isipin na ang baras para sa nasabing kaso ng karga ay gayong „may pagtaas“ na para sa kritikal na karga ay mismong κ__1=0.
Mula sa balanse ng mga bahagi ng puwersa sa mga direksiyong ξ, η, ζ at sa mga kondisyon ng sandali kaugnay ng gayunding mga axis, makukuha, pagkatapos ng nabanggit na mga pagpapawalang-bahala, ang
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Mula sa mga eq. (1c, d at b) nakukuha ang
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Sa pamamagitan ng pagtanggal ng Q1 sa ekw. (1a) nakukuha ang
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Mula sa ekw. (1e) sa gayon ay maaalis ang Q, pagkatapos ay u ’’ sa pamamagitan ng u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Upang makuha ang diferensiyal na ekwasyon para sa ϑ, itatatag ang sumusunod na mga ugnayan sa pagitan ng mga sandali at mga deformasyon
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
kung saan ang ibig sabihin ay B1=EIx at B=EIy na tigas laban sa pagbaluktot ng biga, C ang tigas laban sa pag-ikot, at ang C* ay ang resistensya sa pagkurba. Sa mga susunod naming pagkukuwenta ay aalisin namin ang mga terminong may C* para sa pagpapasimple. Kung ang mga ekwasyon ay gagamitin, halimbawa, sa mga I-profile, kailangan itong dagdagan sa angkop na paraan. Ang pagwawalang-bahala sa terminong v’’ ay kapareho ng palagay na B1=∞.
Kung aalisin ang M at MD sa tulong ng eq. 4 makukuha ang diferensiyal na ekwasyon para sa lateral na pag-ukit ng beam na may konstanteng seksiyon
Ang differential equation (5) ay homogeneous at ikaapat na antas ayon sa ϑ. M1 ay kilalang function ng z batay sa kargang inilapat.
Tigas na may konstanteng moment ng pagbaluktot
Hayaan na p=N1=0, bukod dito Mx=ɱ=const. Ang cross section ay walang flange (compact) at ang sinag ay mahaba kung ihahambing sa mga sukat ng cross section, kaya maaari nating itakda na ang C*=0. Kung gayon ay gumagaan ang ekw. (5), dahil sa M1=ɱ, kaya:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
o sa pinaikling anyo λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Biga na may tinidor na suporta sa magkabilang dulo
Fig. 2
Ang suporta sa z=0 at z=l ay nasa anyong mga tinidor (lar. 2), na nagpapahintulot ng pagbaluktot na u at v, ngunit humahadlang sa pag-ikot ng mga dulong seksiyon; ϑ=0. Dahil sa direksiyong x ay walang pagkakaklamp (ibig sabihin M=0, o ayon sa ekw. (4) gayundin u’’=0), sumusunod mula sa ekw. para sa u’’: MD’=0 at sa gayon mula sa ekw. (4c) bilang ikalawang kondisyon sa hangganan ϑ’’=0.
Ang pangkalahatang solusyon ng ekw. (6a) ay
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Mula sa mga kundisyon ng contour ay nakukuha
Ang sistemang ito ng mga homogeenong equation ay may:
- Trivial na solusyon A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, na tumutugma sa ϑ=0, u’’=0 o u=0, kung saan ang biga ay hindi tumitipik nang pahalang.
- Mga sariling solusyon ayon sa Δ=0 o sin λ__l=0. Ang mga ugat ng kondisyong ito ng pag-ikot palihis ay λ__l=n__π (na may n=1,2,3,∙∙∙) at ang kaukulang kritikal na momentong karga
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Pinakamaliit na moment ng lateral na pag-ukong
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
nangyayari sa n=1. Ang katumbas na solusyon ay sa pamamagitan ng paggamit ng eq. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Iba pang mga kaso ng pag-ikid sa tagiliran
c) Pag-ikot sa gilid dahil sa bending moment at puwersang pumipisil
Para sa halimbawang ipinakita sa lar. 3 ay N1=-D (presyon), p=0, pagkatapos ay inilagay ang C*=0. Pagkatapos, ang diferensiyal na ekw. (5) ay pinasimple at nagiging
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
kung saan λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Ang solusyon ng differential equation (9) ay ibinibigay muli ng eq. (8), tanging ngayon ang λ ay tumutukoy sa ibang halaga.
Lar. 3
Para sa halimbawa sa fig. 3 ay may bisa, tulad din sa a), ang mga kondisyon sa tabas ϑ=0 at ϑ’’=0 para sa z=0 at z=l. Samakatuwid, ang mga kondisyon na equation para sa A1 ay pormal ding pareho at gayundin ang kondisyon ng pagyukong pahalang Δ=sin λl=0. Ang kritikal na karga ay tumutupad sa ugnayang λl=nπ (n=1,2,3) at ang pinakamaliit na halaga ay
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Para sa D=0 ay nakukuha roon ang sandali ng pagbaluktot pailid ayon sa eq. (8c) at para sa purong kargang pumipisil (ɱ=0) ang Euler-na puwersa ng pagbaluktot _DK=B(π/l)_2.
Sa fig. 3 ang ipinakitang kaso ay dapat tukuyin bilang eksentrikong pagyuko sa eroplano y-z. Ang dating isinasaalang-alang na kaso ng katatagan ay, samakatuwid, pagbaluktot mula sa eroplano ng pagyuko na kaugnay ng pagyukong pahalang u at torsiyon ϑ.
Kung parehong dulo ay nakapako (ϑ=0 at ϑ’=0) kung gayon mula sa mga kondisyon sa balangkas, sa tulong ng Δ=0, nakukuha ang kondisyon ng pagbaluktot sa tagiliran
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
na may mga ugat na λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) at mga puwersa ng lateral na pag-ukit
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.