Mo buckling i le punou e punou ai le to’oto’o i se tasi o va’alele autū pe a suia le paleni.
Ae e iai foʻi tulaga faapena o le mautu e lē gata ina punou ai le laʻau, po o le faalava, i le suiga o le paleni, ae faapea foʻi ona mimilo (ata. 60a). I avega e taʻua lenei mea o le faalava punou, ae i laʻau o loo fetaomiina, e uaʻi foʻi i ai le torsion a o punou, e taʻua o le punou i le torsion.
Mo nei mea e lua, e matuā tāua tele le telē o le maaa e tetee ai i le torsion C, po o le tetee i le pi‘o C*. O le suiga i le paleni e fesootaʻi ma le torsion e mafai la ona aafia muamua lava i auala e faateleina ai le maaa e tetee i le mimilo (foliga talafeagai o le vaega, faavaa faalava, lagolago i autafa ma isi). I le isi itu, o laau e pei o se lipine ma se vaega tatala e sili ona ma‘ale‘ale i le pi‘o i le torsion.
Faiga faatusa faasoesa mo le punou i le itu
Ata 1a
Ia iai se ogālala saʻo ma ni taimi o le inisia e tumau ae matua le tutusa le telē Ix >> Iy. O le uta e i le y-z-vaalele ina ia punou ai le ogālala i lenei vaalele autū (u=ϑ=0). O le poto masani faapea foʻi ma le talitonuga e faaalia ai e muamua ona mausalī lenei tulaga paleni, ae mo uta e sili atu ona tetele e avea ma tulaga le mautu. O lenei tulaga paleni lona lua e fesootaʻi ma le punou i le itu ma le torisi ϑ.
I lalo ifo o le a maua ai le faamatalaga o le faataʻitaʻiga eseese mo le punou faalauaitele. O faamatalaga mo le u ma le ϑ e homogene. Afai e faapea e homogene foʻi tulaga o le tuaoi, ona mafai lea ona tupu le punou faalauaitele o le ave i na o tulaga taua o le faafitauli, o lona uiga, e muamua ona tumau le u ma le ϑ i le zero mo le ave ua faamatalaina i luga e aunoa ma se faalavelave. E maua le tulaga mo le punou faalauaitele - e pei lava o le punou o se laʻau - pe afai e faatulaga e tutusa ma le zero le determinant o le coefficient o faamatalaga homogene o tulaga mo faamaumauga tumau. O le a tatou iloa ai foʻi i le punou faalauaitele o loo i ai le vaega tonu o le vaevaega o le paleni faamalolosi.
Ata 1b
I le sl. 1b o loo faaalia ai le elemene o le faasee o le umi dz. O le iʻuga o popolega N1, Q1, M1, faapea ma le piʻo κ__1 e faalagolago i le uta ma o ni tau faaiʻu. Q, M, MD e leai i le tulaga paleni muamua, ma o le a ese mai i le zero naʻo le taimi e tupu ai le punou i le itu. O tau faaiʻu, e faasino i le amataga o le punou i le itu, e matua laiti lava, e faapena foʻi ma suiga talafeagai κ ma d__ϑ/dz.
O vaega faaiʻu uma e lua o le elemene dz e taoto i le vaalele masani i luga o le au faalua-piʻo o le laʻau ma o le a mimilo i nei vaalele masani.
Talu ai – e pei foi o le punou o le laʻau – e sili ona matou fiafia i le tele o le avega faitio, o lona uiga o le amataga o le punou faalauaʻitele, ae itiiti le telē o faaletonu, o lea e mafai ai ona tatou le amanaʻia oloa o le tele Q, M, MD ma κ po o ϑ’ o ni aofaʻiga laiti o le tulaga lona lua. O le mea lea, mo se faafaigofieina atili, o le a matou manatu foʻi o le piʻo autū κ1 e matua itiiti lava ma o le a togafitia e pei o κ ma ϑ’.
Fa‘amatalaga: O le aafiaga o le κ__1 e tatau fo‘i ona iloilo faatino i se tulaga faigofie faapitoa (moment piʻo tumau M e fai ma uta). I le tele o manaʻoga o le tekinolosi faufale e mafai ona tuueseese le κ__1. E mafai, faata‘ita‘iga, ona tatou manatu e pei o le laau i lea tulaga o le uta ua faapena ona “siitia” e faapea mo le uta faitio e tonu lava κ__1=0.
Mai le paleni o vaega o malosiaga i itu ξ, η, ζ ma tulaga o taimi e faatatau i na lava au, e maua ai, ina ua uma ia faaitiitiga ua ta‘ua
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Mai le fa‘at. (1c, d ma b) e maua ai
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
I le aveeseina o Q1 mai le fef. (1a) e maua ai
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Mai le tutusa. (1e) o le a aveesea ai Q, ona u ’’ lea e ala i le u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Ina ia maua le faaupuga eseese mo ϑ o le a tuuina atu ai sootaga nei i le va o moment ma deformation
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
lea e faailoa ai B1=EIx ma B=EIy le maaa e tetee atu i le punou o le ave, C le maaa e tetee atu i le mimilo, ae o le C* le tetee atu i le punou faalava. I a tatou fuafuaga mulimuli ane, o le a tatou tuua ai vaega ma le C* mo le faafaigofieina. Afai e tatau ona faaaogā ia faaupuga, mo se faataitaiga i I-profiles, e tatau ona faaopoopo i ai i le auala talafeagai. O le lē amanaʻia o le vaega v’’ e tutusa lava ma le manatu B1=∞.
Afai e aveese M ma MD e ala i le jedn. 4 ona maua ai lea o le faʻataʻitaʻiga faavaomalo mo le piʻo i le itu o se faalava o le vaega tumau
O le faaupuga faataʻitaʻi (5) e homogeni ma o le faasologa fa o le ϑ. M1 o se galuega ua iloa o le z e faalagolago i le uta.
Ave ma le momenta punou tumau
Ia faapea p=N1=0, e lē gata i lea Mx=ɱ=const. O le vaega tipi e leai se flange (faapipiʻi) ma o le ave e umi pe a faatusatusa i fua o le vaega tipi, o lea e mafai ai ona tatou manatu o le C*=0. Ona faafaigofie ai lea o le tutusa. (5), ona o le M1=ɱ, o lea:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
pe faapuupuuina i le λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Ave ma lagolago fa‘apito i itu uma e lua
Fig. 2
O le lagolago i le z=0 ma le z=l e iai i foliga o tui (sl. 2), lea e mafai ai ona punou u ma v, ae taofia ai le liliu o vaega faaiʻu; ϑ=0. Talu ai e leai se pipii i le itu x (o lona uiga M=0, po o le tusa ai ma le tut. (4) foi u’’=0), e maua mai i le tut. mo le u’’: MD’=0 ma faapena mai le tut. (4c) e avea o se isi tuutuuga i le tuaoi ϑ’’=0.
O le tali lautele o le faam. (6a) o
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
E maua mai i aiaiga o le koneteina
O lenei faiga tutusa homogeneous e iai:
- Fofo faigofie A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, lea e fetaui ma ϑ=0, u’’=0 po o u=0, ae e lē punou i le itu le la’au.
- Fofo fa’apitoa e tusa ai ma Δ=0 po o le sin λ__l=0. O a’a o lenei tulaga o le fa’alava i le itu e λ__l=n__π (faatasi ai ma n=1,2,3,∙∙∙) ma uta fa’ama’i pito taua e fetaui i ai
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Le taimi itiiti o le moment e tetee atu ai i le punou faalava
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
e tupu i le n=1. O le fofo talafeagai e ala i le faaaogāina o le fa‘at. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) O isi tulaga o le punou i le itu
c) Punou i le itu ona o le taimi punou ma le malosi oomi
Mo le faataitaiga o loo faaalia i le sl. 3 o le N1=-D (oomi), p=0, ona tuu lea C*=0. Ona faafaigofie lea o le faiga differential. (5) ma e faapea
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
o fea e λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
O le fofo o le fa‘atusatusaga eseese (9) ua toe tuuina mai i le fa‘at. (8), ae o lea ua fa‘ailoa ai e λ le isi tau ese.
Ata 3
Mo le faataʻitaʻiga o le ata 3 e faaaogā, e pei foi o le a), tulaga o tuaoi ϑ=0 ma ϑ’’=0 mo z=0 ma z=l. O lea la e tutusa foʻi faamatalaga tuutuuga mo A1 i le tulaga aloaʻia faapea foi ma le tulaga o le punou i le itu Δ=sin λl=0. E ausia e le uta faitio le sootaga λl=nπ (n=1,2,3) ma o le tau pito i lalo o le
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Mo D=0 e maua mai ai i inā le moment o le piʻo itu e tusa ai ma le faamatalaga (8c) ma mo le uta mama o le omiga (ɱ=0) le malosi o le piʻo a Euler _DK=B(π/l)_2.
I le sl. 3 o le tulaga ua faaalia e tatau ona faailogaina o le piʻo eseʻesega i le vaalele y-z. O le tulaga mautu na iloiloina muamua, o lea la, o le punou mai le vaalele o le piʻo e fesootai ma le piʻo i le itu u ma le torsion ϑ.
Afai e pipii uma pito e lua (ϑ=0 ma ϑ’=0) ona maua lea mai tulaga o le tuaoi, e ala i le Δ=0, le tulaga mo le punou i le itu
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
ma aʻa λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) ma malosi o le piʻo i le itu
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.