Ji bo xwarbûna di nav xwarînê de şax di guhertina hevsengiyê de di yek planê sereke de hatiye xwar kirin.
Lê di hin rewşên stabîlîteyê de jî hene ku tîr, an jî tîrêk dema guhertina hevsengiyê de ne tenê dibin qijandin lê herwiha diçerçetin (wêne 60a). Li ser hilanberan ev pêvajo qijandina alîkî tê gotin, li ser tîrên pêçandî yên ku di dema qijandinê de jî di bin torsiyonê de ne, tê gotin qijandin di torsiyonê de.
Ji bo her du pêşanîyan mezinahiya hişkî li dijî torzîyonê C, ango berxwedana li ser xwarbûnê C* girîng e. Li ser guherîna hevsengiyê ya bi torzîyonê ve girêdayî, ji ber vê yekê di serî de dikare bi tedbîrên ku hişkî li dijî hildanê zêde dikin were bandorkirin (forma guncaw a bereyê, çarçoveyên transverse, piştgirîya aliyê ve, hwd.). Ji aliyê din ve, stûrên şêweya tape bi bereya vekirî bi taybetî li ber qutbûna torzîyonî hestiyar in.
Hevdeqsaneya diferencialê ji bo kêşana alî
Wê. 1a
Bila girdera raste xwedî momenetên bênavber ên bêhevsengiyê pir cihê Ix >> Iy be. Barkirin di qada y-z\ de cih digire da ku girder di vê qada sereke de were xwarin (u=ϑ=0). Tecrube û teorî herdu nîşan dikin ku ev pozîsyona hevsengiyê di destpêkê de stabîl e, lê ji bo barkirinên mezintir labil dibe. Ev pozîsyona duyemîn a hevsengiyê bi xwarina aliyî re li hev tê girêdan û bi torsiyonê ϑ re.
Li jêr dê hevokeke diferansîyal ji bo kavilbûna aliyî were derxistin. Hevokên ji bo u û ϑ homojen in. Ger şertên konturê jî homojen bin, hingê kavilbûna aliyî ya tîrê tenê ji bo nirxên xweser ên pirsgirêkê mümkûn e, ango u û ϑ ji bo tîrê yê bêhewce yê li jor vegotin hatî, yekem sifir dimînin. Şertê kavilbûna aliyî - mîna ku di kavilbûna çîp de - tê wergirtin heke were danîn ku determinantê koefîsyentê yê hevokên şertî yên homojen ji bo sabitên entegrasyonê sifir be. Em dê bibînin ku di kavilbûna aliyî de jî xala rast a şaxbûna hevsengiya elastîk heye.
Wêne. 1b
Li wêne. 1b elementek tîrêjê bi dirêjahiya dz hatîye nîşandan. Encamên neyînên N1, Q1, M1, û her weha qerastina κ__1 ji barkirinê pêwendîdar in û qederên têra xwe ne. Q, M, MD di rewşa hevsengiya destpêkî de sifir in, û tenê dema ku qerîna alîkî çêbibe dê ji sifirê cuda bibin. Qederên dawî, yên ku bi destpêka qerîna alîkî ve têne girêdan, bi bêkêmasî piçûk in, wekî deformasyonên têkildar κ û d__ϑ/dz.
Her du qutkirinên dawîn ên elementa dz di rûberê normal de li ser aksa şûrê ya du-car xwarûk de cih digirin û dê di van rûberên normal de were tevîdan.
Ji ber ku em – wek li cem qelibandina qutê jî – di rêza pêşîn de bi mezinahiya barkirina krîtîk eleqedar in, ango destpêka qelibandina alî, û kêm bi mezinahiya deformasyonan, em dikarin berhevokên mezinahiya Q, M, MD bi κ an ϑ’ re wek mezinahiyên pileyê duyemîn bêhêvî bimînin. Ji ber vê yekê em ê ji bo hêsankirina din jî qelemîya sereke κ1 wek pir piçûk bixemilînin û ew ê wek κ û ϑ’ were têkildan.
Têbînî: Bandora κ__1 divê di nav rewşek taybet a hêsan de jî bi teorî were nirxandin (momenta xwêrbûna domdar M wekî barkirin). Di piraniya hewcehiyên teknîka avahîkirinê de κ__1 dikare were paşguh kirin. Em dikarin, mînakî, wisa bifikirin ku tîrêj ji bo doza barkirinê ya têkildar bi ew qasî “serbilindkirî” ye ku ji bo barkirina kritîk bi tenê κ__1=0.
Ji hevsengiya pêkhateyên hêzan di aliyên ξ, η, ζ û şertên momenê li hemberî heman axan de, piştî wan guhêrzanên ku hatine gotin, tê girtin
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Ji hevk. (1c, d û b) tê wergirtin
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Bi rakirina Q1 ji hevok. (1a) tê bidestxistin
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Ji cihan. (1e) Q wê bi vî awayî were rakirin, paşê u ’’ bi u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Ji bo ku hevokek diferansîyal ji bo ϑ were derxistin, dê têkiliyên jêrîn di navbera momentan û deformasyonan de werin danîn
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
ku li vir B1=EIx û B=EIy stûrîya li dijî xwarbûna tîrêjê ya tîrêya tê, C stûrîya li dijî topbûnê, û C* berxwedana li dijî qijikbûnê nîşan dide. Di hesabên paşîn ên me de em ê endamên bi C* ji bo hêsankirinê derxînin. Heke ev hevok mînakî li ser profilên I were sepandin, divê ew bi rêya guncav were tamamkirin. Ji nêzîkî derxistina endama v’’ tê wateya heman tiştî wek pêşniyaza ku B1=∞.
Heke M û MD bi navgîniya jedn. 4 werin rakirin, hevokek diferansyal ji bo qewetbûna alîkî ya tîrê bi beşa sabît tê bi dest xistin
Ev hevkêşeya diferansiyel (5) homojen e û ji bo ϑ pileya çaremîn e. M1 fonksiyona naskirî ya z e, li gorî barkirinê.
Tîrêja bi momente mêjî ya sabît
Bila p=N1=0 be, her weha Mx=ɱ=const. Berwar bê flanş e (zeboyî) û tîrêj li gorî mezinahiyên qutera berwarê dirêj e, ji ber vê yekê em dikarin C*=0 bikim. Dema wê ji ber M1=ɱ, evencîya (5) tê hêsankirin, û wê hingê:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
an jî bi kurtenavê λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Tîrêjek bi piştevaniya çəp û rast li her du seran
Hêjîrê. 2
Piştgirî li gorî z=0 û z=l bi şeklê çengekên çengî ye (sl. 2), ku dikevin derbaskirina u û v, lê zivirandina beşên dawî asteng dikin; ϑ=0. Ji ber ku di arasteya x de qefilandin tune ye (anî ku M=0, an li gorî hev. (4) her weha u’’=0), ji hev. ji bo u’’: MD’=0 û bi vî awayî ji hev. (4c) wek şertê duyem ê kontûrî ϑ’’=0.
Çareseriya giştî ya hev. (6a) ev e
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Ji şertên konturê ev encam tê bidestxistin
Vê sistemê homojen a hevkêşeyan heye:
- Cilsa trîvîyal A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ku bi wê ϑ=0, u’’=0 an u=0 têkildar e, di vê rewşê de tîr li alî ne diqelibîne.
- Çareseriyên xwedan beramberî Δ=0 an sin λ__l=0. Kokên vê merca bîxistina alî λ__l=n__π ne (bi n=1,2,3,∙∙∙) û barkirinên torkî yên kritîk ên têkildar
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Mîkrolêja herî kêm a kelandina alî
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
çêdibe li n=1. Çareseriya têkildar bi karanîna hevk. (1f) ev e:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Hemû rewşên din ên liqandina alî
c) Bihemahêjandina aliyî ji ber momanta şilandinê û hêza pêlişandinê
Ji bo mînakê ku li ser wêne 3 hatiye nîşandan, N1=-D (pêlçiqîn), p=0, paşê C*=0 hate danîn. Hingê hevkêşeya diferencial (5) sade dibe û wisa ye
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
ku li wir λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Çareseriya hevkêşeyê diferansîyal (9) dîsa bi hevkêş. (8) tê dayîn, tenê niha λ nirxa din nîşan dide.
Wêne 3
Ji bo mînakê sl. 3 şertên kontûr wekî a) jî derbas in ϑ=0 û ϑ’’=0 ji bo z=0 û z=l. Li gorî vê yekê jî hevokên şertî ji bo A1 bi teşehî hev in û şertê şêlîbûna alî jî Δ=sin λl=0. Barkirina krîtîk şertê λl=nπ (n=1,2,3) têr dike û nirxa herî biçûk ev e
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Ji bo D=0 ji wir momente qelibandina alî ji gor hevoka (8c) tê bidestxistin û ji bo barkêşiya tenê ya pêçandî (ɱ=0) hêza qelibandina Euler-ê _DK=B(π/l)_2.
Li sl. 3 rewşa nîşan dayî divê wekî qijandina ekscentrîk di plane y-z de were nîşankirin. Rewşa berê ya stabilîteyê hatiye nîqaşkirin, wê hingê, çewisandina ji derveyî plane qijandinê ye ku bi qijandina alî u û torsiyonê ϑ ve girêdayî ye.
Heke herdu ser ikleştn bin (ϑ=0 û ϑ’=0) hingê ji şertên kontûrî, bi alîkariya Δ=0, şertê qirilîna alî tê wergirtin
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
bi kokên λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) û bi hêzên qewetbûna alîkî
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.