طرفی بکلاؤ اور ٹورشن کے تحت بکلاؤ

موڑ کے ساتھ بکلنگ کے لیے سلاخ توازن میں تبدیلی کے وقت ایک اصلی جہت میں مڑی ہوتی ہے۔

لیکن استحکام کی ایسی صورتیں بھی ہوتی ہیں جن میں چھڑ یا، یعنی شہتیر، توازن کی تبدیلی کے وقت نہ صرف خمیدہ بلکہ مڑے ہوئے بھی ہو جاتے ہیں (شکل 60a)۔ بیموں کے لیے اس مظہر کو عرضی مڑاؤ کہا جاتا ہے، اور دبے ہوئے چھڑوں میں، جو مڑاؤ کے دوران ٹورشن کے بھی زیرِ اثر ہوتے ہیں، مڑاؤ بر اثرِ ٹورشن کی اصطلاح استعمال ہوتی ہے۔

دونوں مظاہر کے لیے مروڑ کے خلاف سختی C، یا مڑنے کی مزاحمت C*، فیصلہ کن اہمیت رکھتی ہے۔ اس لیے مروڑ سے وابستہ توازن کی تبدیلی پر سب سے پہلے ایسے اقدامات سے اثر ڈالا جا سکتا ہے جو مروڑ کے خلاف سختی بڑھاتے ہیں (مناسب قطعہ نما شکل، عرضی فریم، پہلو سے سہارا وغیرہ)۔ دوسری طرف، کھلے قطعے والے پٹی نما ارکان مروڑ کے دوران مڑنے کے لیے خاص طور پر حساس ہوتے ہیں۔

پہلو کی طرف مڑنے کے لیے تفاضلی مساوات

Fig. 1a

فرض کریں کہ ایک سیدھی بیم کے جمودی مومنٹس مستقل ہیں اور ان کی مقداریں بہت غیر مساوی ہیں Ix >> Iy۔ بوجھ y-z-مستوی میں واقع ہے، اس لیے بیم اسی اصلی مستوی میں مڑی ہوئی ہوگی (u=ϑ=0). تجربہ اور نظریہ دونوں دکھاتے ہیں کہ یہ توازن کی حالت ابتدا میں مستحکم ہوتی ہے، لیکن زیادہ بوجھ پر غیر مستحکم ہو جاتی ہے۔ یہ دوسری توازن حالت عرضی مڑاؤ u اور پیچش ϑ سے وابستہ ہے۔

ذیل میں طرفی خمیدگی کے لیے تفاضلی مساوات اخذ کی جائے گی۔ u اور ϑ کی مساواتیں ہم آہنگ ہیں۔ اگر سرحدی شرائط بھی ہم آہنگ ہوں تو شہتیری کی طرفی خمیدگی صرف مسئلے کی خودی قدروں کے لیے ممکن ہے، یعنی اوپر بیان کردہ بے اضطراب شہتیری کے لیے u اور ϑ ابتدا میں صفر ہی رہتے ہیں۔ طرفی خمیدگی کی شرط، بالکل اسی طرح جیسے سلاخ کی خمیدگی میں، اس وقت حاصل ہوتی ہے جب ضریبِ ہم آہنگ شرطی مساواتوں کی تعین کنندہ کو، جو تکاملی مستقلات کے لیے ہیں، صفر کے برابر رکھا جائے۔ ہم دیکھیں گے کہ طرفی خمیدگی میں بھی لچکدار توازن کا حقیقی شاخہ نقطہ موجود ہوتا ہے۔

شکل 1b

شکل 1b میں شہتیر کے عنصر کی لمبائی dz دکھائی گئی ہے۔ تناؤ کے نتیجۂ N1, Q1, M1, اور خم κ__1 بوجھ پر منحصر ہیں اور محدود مقداریں ہیں۔ Q, M, MD ابتدائی توازنی حالت میں صفر ہیں، اور صرف اُس وقت صفر سے مختلف ہوں گے جب پہلو سے مڑنے کا عمل شروع ہو جائے۔ ابتدائی پہلوئی مڑنے سے متعلق حدی مقداریں لامتناہی طور پر چھوٹی ہیں، اور متعلقہ بگاڑ κ اور d__ϑ/dz بھی۔

عنصر dz کے دونوں آخری cross-sections ایک دوہری خم دار چھڑ کی محور کے عمودی plane میں واقع ہوتے ہیں اور ان عمودی planes میں مڑ جائیں گے۔

چونکہ ہماری بنیادی دلچسپی—جس طرح شہتیر کے بکلاؤنگ میں بھی ہوتی ہے—سب سے پہلے نازک بوجھ کی مقدار میں، یعنی پہلوئی بکلاؤنگ کے آغاز میں ہوتی ہے، اور بگاڑ کی مقدار میں کم، اس لیے ہم Q، M، MD کی مقداروں کے κ یا ϑ’ کے ساتھ حاصل ضرب کو دوسرے درجے کی چھوٹی مقداریں سمجھ کر نظر انداز کر سکتے ہیں۔ لہٰذا مزید سادگی کے لیے ہم مرکزی انحنا κ1 کو بھی نہایت چھوٹا فرض کریں گے اور اس کے ساتھ κ اور ϑ’ کی طرح برتاؤ کیا جائے گا۔

نوٹ: κ__1 کے اثر کا نظری طور پر بھی سادہ خاص حالت میں اندازہ لگایا جانا چاہیے (مستقل خمانی مومنٹ M بطور بوجھ)۔ تعمیراتی انجینئرنگ کی اکثر ضروریات میں κ__1 کو نظرانداز کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر ہم یہ تصور کر سکتے ہیں کہ متعلقہ بوجھ کی حالت کے لیے شہتیر کو اس قدر “ابھارا” گیا ہے کہ نازک بوجھ کے لیے بالکل κ__1=0۔

قوتوں کے اجزا ξ, η, ζ کی توازن حالت اور انہی محوروں کے بارے میں لحظی شرائط سے، مذکورہ نظراندازیوں کے بعد یہ حاصل ہوتا ہے

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

مساوات (1c, d i b) سے حاصل ہوتا ہے

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

Q1 کو مساوات (1a) سے حذف کرنے پر حاصل ہوتا ہے

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

یونانی مساوات (1e) سے اس طرح Q خارج کر دیا جائے گا، پھر u ’’ کو u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ کے ذریعے۔

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

ϑ کے لیے تفاضلی مساوات حاصل کرنے کی خاطر مومنٹس اور بگاڑ کے درمیان درج ذیل تعلقات متعارف کرائے جائیں گے

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

جہاں اس سے مراد B1=EIx اور B=EIy شہتیر کی خم کے خلاف سختی، C مروڑ کے خلاف سختی، اور C* مڑنے کے خلاف مزاحمت ہے۔ ہماری آئندہ حساب کتاب میں سادگی کے لیے C* والے اجزا کو نظرانداز کیا جائے گا۔ اگر یہ مساوات مثلاً I-پروفائلز پر لاگو کرنی ہوں تو انہیں مناسب طور پر مکمل کرنا ضروری ہے۔ v’’ کی رکن کو نظرانداز کرنا اسی کے برابر ہے کہ B1=∞ فرض کیا جائے۔

اگر M اور MD کو مساوات 4 کی مدد سے ختم کیا جائے تو مستقل مقطع والی شہتیر کے پہلوئی بکلنے کے لیے تفرقی مساوات حاصل ہوتی ہے

تفاضلی مساوات (5) ہم جنس ہے اور ϑ کے لحاظ سے چوتھے درجے کی ہے۔ M1 بوجھ کے لحاظ سے z کی معلوم تابع ہے۔

مستقل خمشی لمحے والی بیم

فرض کریں p=N1=_0, اس کے علاوہ Mx=ɱ=const. مقطع بے فلینج (compressed) ہے اور شہتیر، کراس سیکشن کے ابعاد کے لحاظ سے، لمبا ہے، اس لیے ہم C*=0 رکھ سکتے ہیں۔ تب مساوات (5) M1=ɱ کی وجہ سے سادہ ہو جاتی ہے، لہٰذا:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

یا اختصار λ2_=ɱ__2/BC_ کے ساتھ

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) دونوں سروں پر کانٹے دار سہارے والی شہتیر

نمبر2

z=0 اور z=l پر سہارے کی صورت کانٹے دار جوڑوں (شکل 2) کی طرح ہے، جو u اور v انحراف کی اجازت دیتے ہیں، لیکن آخری قطعات کی گردش روک دیتے ہیں؛ ϑ=0۔ چونکہ x سمت میں کوئی جکڑاؤ نہیں ہے (یعنی M=0، یا مساوات (4) کے مطابق بھی u’’=0), لہٰذا u’’ کی مساوات سے: MD’_=0 اور اس طرح مساوات (4c) سے دوسرے سرحدی شرط کے طور پر ϑ’’=0۔

مساوات (6a) کا عمومی حل ہے

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

خدوخال کی شرائط سے حاصل ہوتا ہے

اس یکساں نظامِ مساوات میں:

• بدیہی حل A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, جس کے مطابق ϑ=0, u’’=0 یا u=0, اور اس طرح شہتیر پہلو کی سمت میں نہیں مڑتا۔
• خودی حل مطابق Δ=0 یا sin λ__l=0۔ اس جانب خمیدگی کی شرط کی جڑیں λ__l=n__π (جہاں n=1,2,3,∙∙∙) ہیں اور متعلقہ تنقیدی مومینٹ بوجھ

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

پس منظر کے جھکاؤ کا کم سے کم مومنٹ

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

کا نتیجہ n=1 پر ہوتا ہے۔ مناسب حل مساوات (1f) کے استعمال سے حاصل ہوتا ہے:

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) دیگر تمام جانب سے بکلنے کے حالات

c) خم کرنے والے مومینٹ اور دابنے والی قوت کے باعث طرفی بکلاؤ

شکل 3 میں دکھائے گئے مثال کے لیے N1=-D (دباؤ)، p=0، پھر C*=0 رکھا گیا۔ تب تفاضلی مساوات (5) سادہ ہو جاتی ہے اور یوں ہے

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

جہاں λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_ ہے۔   (9a)

تفاضلی مساوات (9) کا حل پھر سے مساوات (8) کے مطابق ہے، صرف اس بار λ ایک دوسری قدر کو ظاہر کرتا ہے۔

نمبر3

مثال کے لیے شکل 3 پر وہی، جو a) کے لیے ہیں، کنٹور شرائط ϑ=0 اور ϑ’’=0 برائے z=0 اور z=l۔ لہٰذا A1 کے لیے شرطی مساوات بھی باضابطہ طور پر یکساں ہیں اور جانبہ مڑنے کی شرط Δ=sin λl=0 بھی۔ بحرانی بوجھ تعلق λl=nπ (n=1,2,3) کو پورا کرتا ہے اور کم از کم قدر ہے

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

D=0 کے لیے وہاں سے ضمنی مڑاؤ کا مومنٹ مساوات (8c) کے مطابق ملتا ہے اور خالص دباؤی بوجھ (ɱ=0) کے لیے Euler-کی مڑاؤ قوت _DK=B(π/l)_2۔

شکل 3 میں دکھایا گیا معاملہ plane y-z میں eccentric bending کہلانا چاہیے۔ اس طرح پہلے زیرِ بحث stability کا معاملہ bending plane سے باہر ہونے والی buckling ہے، جو جانب دار bending u اور torsion ϑ سے وابستہ ہے۔

اگر دونوں سِرے جکڑے ہوئے ہوں (ϑ=0 اور ϑ’=0) تو حدی شرائط سے، Δ=0 کی مدد سے، پہلوئی بکلنگ کی شرط حاصل ہوتی ہے

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

جڑوں λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) اور پہلوئی بکلنے کی قوتوں کے ساتھ

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.