Para xelamento por flexión, a barra, ao cambiar o equilibrio, flexiona nun plano principal.
Pero tamén hai tales casos de estabilidade nos que a barra, é dicir, a viga, ao cambiar o equilibrio sofren non só flexión senón tamén torsión (fig. 60a). Nos elementos portantes este fenómeno chámase pandeo lateral, e nas barras comprimidas, que durante o pandeo están tamén sometidas a torsión, fálase de pandeo por torsión.
Para ambos os fenómenos é de importancia decisiva o valor da rixidez fronte á torsión C, ou ben a resistencia ao encurvamento C*. O cambio do equilibrio asociado coa torsión pode, por tanto, influírse en primeiro lugar mediante medidas que aumenten a rixidez fronte ao retorcemento (forma adecuada da sección, marcos transversais, apoio lateral etc.). Por outra banda, as barras en forma de tira con sección aberta son especialmente sensibles ao pandeo por torsión.
Ecuación diferencial para o pandeo lateral
Fig. 1a
Supoñamos que unha viga recta ten momentos de inercia constantes de valor moi desigual Ix >> Iy. A carga sitúase no plano y-z-de modo que a viga se flectará neste plano principal (u=ϑ=0). A experiencia, así como a teoría, mostran que este estado de equilibrio é primeiro estable, pero que para cargas maiores convértese en inestable. Este segundo estado de equilibrio está ligado á flexión transversal en u e á torsión ϑ.
A continuación deducirase a ecuación diferencial para o pandeo lateral. As ecuacións para u e ϑ son homoxéneas. Se tamén as condicións de contorno son homoxéneas, entón o pandeo lateral da viga só é posible para os valores propios do problema, é dicir, u e ϑ permanecen primeiro en cero na viga descrita sen perturbación. A condición de pandeo lateral obtense —de xeito semellante ao pandeo dunha barra— se se supón que o determinante dos coeficientes das ecuacións condicionais homoxéneas para as constantes de integración é igual a cero. Veremos que tamén no pandeo lateral existe un verdadeiro punto de bifurcación do equilibrio elástico.
Fig. 1b
Na fig. 1b represéntase un elemento de viga de lonxitude dz. As resultantes das tensións N1, Q1, M1, así como a curvatura κ__1, dependen da carga e son magnitudes finitas. Q, M, MD son cero na posición inicial de equilibrio, e só se diferenciarán de cero cando se produza o pandeo lateral. As magnitudes finais, que se refiren ao inicio do pandeo lateral, son infinitamente pequenas, igual que as deformacións correspondentes κ e d__ϑ/dz.
Os dous cortes extremos do elemento dz sitúanse no plano normal ao eixe de dobre curvatura da barra e torceranse nestes planos normais.
Como o que nos interesa en primeiro lugar, igual que no pandeo dunha barra, é a magnitude da carga crítica, é dicir, o inicio do pandeo lateral, e menos a magnitude das deformacións, podemos descoidar os produtos das magnitudes Q, M, MD por κ ou ϑ’ como cantidades pequenas de segundo orde. Por iso, para unha maior simplificación, tamén suporemos a curvatura principal κ1 como infinitamente pequena e será tratada como κ e ϑ’.
Nota: A influencia de κ__1 tamén debe avaliarse teoricamente no caso especial sinxelo (momento flector constante M como carga). Na maioría das necesidades da técnica da construción pode ignorarse κ__1. Pódese, por exemplo, imaxinar como se a viga para o caso de carga correspondente estivese tan „sobreelevada“ que para a carga crítica precisamente κ__1=0.
Do equilibrio das compoñentes das forzas nas direccións ξ, η, ζ e das condicións de momento respecto deses mesmos eixes obtense, tras as devanditas simplificacións
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Da ec. (1c, d e b) obtense
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminando Q1 da ec. (1a) obtense
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Da ecuación (1e) eliminarase así Q, despois u ’’ mediante u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Para obter a ecuación diferencial de ϑ introduciranse as seguintes relacións entre momentos e deformacións
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
onde indica B1=EIx e B=EIy a rixidez á flexión da viga, C a rixidez á torsión, e C* a resistencia ao alabeo. Nos nosos cálculos posteriores omitiremos os termos con C* para simplificar. Se as ecuacións han aplicarse, por exemplo, a perfís I, entón cómpre completalas de maneira axeitada. O descoido do termo v’’ significa o mesmo que a hipótese B1=∞.
Se se eliminan M e MD mediante a ec. 4 obtense a ecuación diferencial para a flexión lateral dunha viga de sección constante
A ecuación diferencial (5) é homoxénea e de cuarto orde respecto de ϑ. M1 é unha función coñecida de z en función da carga.
Viga con momento flector constante
Sexa p=N1=0, ademais Mx=ɱ=const. A sección non ten á beira (compacta) e a viga é longa en relación coas dimensións da sección transversal, de modo que podemos poñer C*=0. Entón simplifícase a ecuación (5), debido a M1=ɱ, e queda así:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
ou coa abreviatura λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Viga con apoio de horquilla en ambos extremos
Fig. 2
O apoio en z=0 e z=l é en forma de garfos (fig. 2), que permiten as flexións u e v, pero impiden a rotación das seccións extremas; ϑ=0. Como na dirección x non hai encastramento (é dicir, M=0, ou segundo a ec. (4) tamén u’’=0), despréndese da ec. para u’’: MD’=0 e así da ec. (4c) como segunda condición de contorno ϑ’’=0.
A solución xeral da ec. (6a) é
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Das condicións de contorno obtense
Este sistema homoxéneo de ecuacións ten:
- Solución trivial A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ao que corresponde ϑ=0, u’’=0 ou u=0, sen que a viga se xire lateralmente.
- Solucións propias segundo Δ=0 ou sen λ__l=0. As raíces desta condición de pandeo lateral son λ__l=n__π (con n=1,2,3,∙∙∙) e os correspondentes momentos críticos
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Momento mínimo de pandeo lateral
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
prodúcese en n=1. A solución correspondente obtense aplicando a ec. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Outros casos de pandeo lateral
c) Inestabilidade lateral debida ao momento flector e á forza de compresión
Para o exemplo mostrado na fig. 3 é N1=-D (presión), p=0, despois engadiuse C*=0. Entón a ec. diferencial (5) simplifícase e queda
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
onde é λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
A solución da ecuación diferencial (9) vén dada de novo pola ec. (8), só que agora λ indica un segundo valor.
Fig. 3
Para o exemplo da fig. 3 vixen, como para a) as condicións de contorno ϑ=0 e ϑ’’=0 para z=0 e z=l. En consecuencia, tamén as ecuacións condicionais para A1 son formalmente iguais, así como a condición de pandeo lateral Δ=sin λl=0. A carga crítica satisfai a relación λl=nπ (n=1,2,3) e o valor mínimo é
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Para D=0 obtense de aí o momento de pandeo lateral segundo a ecuac. (8c) e, para unha carga puramente de compresión (ɱ=0), a forza de pandeo Euler-ovo _DK=B(π/l)_2.
Na fig. 3 o caso representado debe denominarse flexión excéntrica no plano y-z. O caso de estabilidade antes considerado é, polo tanto, curvatura fóra do plano de flexión asociada coa flexión lateral u e a torsión ϑ.
Se ambos os extremos están empotrados (ϑ=0 e ϑ’=0) entón, a partir das condicións de contorno, mediante Δ=0, obtense a condición de pandeo lateral
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
con raíces λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) e forzas de flexión lateral
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.