Pou flechi pa koube ba a, lè ekilib la chanje, li pliye nan yon sèl plan prensipal.
Men, gen tou ka estabilite kote yon baton, sa vle di yon travès, lè ekilib la chanje, pa sèlman pliye men tou tòde (fig. 60a). Nan eleman pote chaj yo, fenomèn sa a rele depiy lateral, tandiske pou baton konprese ki pandan depiy la sibi tou tòsyon, yo pale de depiy anba tòsyon.
Pou tou de fenomèn yo, valè rèd kont tòsyon an C, oswa rezistans kont koube a C*, gen yon enpòtans desizif. Se poutèt sa, chanjman nan ekilib ki asosye ak tòsyon ka afekte an premye plas pa mezi ki ogmante rèd kont tòde a (fòm koup transvèsal ki apwopriye, kad travès transvèsal, sipò lateral elatriye). Nan lòt bò a, baton ki gen fòm bann ak koup transvèsal ouvè yo espesyalman sansib a pliye pandan tòsyon.
Ekwasyon diferansyèl pou flechisman lateral
Fig. 1a
Ann sipoze yon travès dwat gen moman inèsi konstan ki anpil diferan nan grandè, Ix >> Iy. Chaj la chita nan plan y-z-la, konsa travès la ap pliye nan plan prensipal sa a (u=ϑ=0). Eksperyans ansanm ak teyori montre ke pozisyon ekilib sa a estab okòmansman, men pou chaj ki pi gwo li vin labil. Dezyèm pozisyon ekilib sa a asosye ak flechisman transvèsal nan i ak ak tòsyon ϑ.
Pi ba a pral derive ekwasyon diferansyèl la pou pli bò. Ekwasyon pou u ak ϑ yo omojèn. Si kondisyon kontou yo omojèn tou, alò pli bò yon gwo bout bwa posib sèlman pou valè pwòp pwoblèm nan, sètadi u ak ϑ rete premye zewo pou gwo bout bwa a san deranjman ki dekri anwo a. Kondisyon pli bò a jwenn – menm jan ak sa ki rive pou pli yon baton – lè yo mete detèminan koyefisyan ekwasyon kondisyon omojèn yo pou konstan entegrasyon yo egal a zewo. Nou pral wè ke menm lè gen pli bò, gen yon veritab pwen bifirkasyon ekilib elastik la.
Fig. 1b
Sou fig. 1b yo prezante yon eleman travès ki gen longè dz. Rezilta estrès yo N1, Q1, M1, ansanm ak koub la κ__1 depann de chaj la epi yo gen valè fini. Q, M, MD yo zewo nan pozisyon ekilib orijinal la, epi yo pral diferan de zewo sèlman lè deplasman bò a kòmanse. Valè limit yo, ki konsène kòmansman deplasman bò a, yo enfini piti, menm jan ak defòmasyon korespondan yo κ ak d__ϑ/dz.
Tou de koup final eleman dz yo chita nan plan nòmal sou aks baton an ki doubman koube a, epi yo pral tòde nan plan nòmal sa yo.
Paske, menm jan ak nan ka pliye yon baton, sa ki enterese nou an premye liy se grandè chaj kritik la, sètadi kòmansman pliye lateral la, epi mwens grandè defòmasyon yo, nou ka neglije pwodui valè Q, M, MD avèk κ oswa ϑ’ kòm ti grandè dezyèm lòd. Se poutèt sa, pou plis senplifikasyon, nou pral sipoze koub prensipal κ1 a kòm enfini ti epi li pral trete tankou κ ak ϑ’.
Nòt: Enfliyans κ__1 a dwe evalye tou sou plan teyori a nan yon ka espesyal senp (moman fleksyon konstan M kòm chaj). Nan pifò bezwen teknik konstriksyon yo, κ__1 ka neglije. Nou ka, pa egzanp, imajine ke pou ka chaj sa a, travès la te konsa “soulve” ke pou chaj kritik la se jis κ__1=0.
Soti nan ekilib konpozan fòs yo nan direksyon ξ, η, ζ ak nan kondisyon moman yo parapò ak menm aks sa yo, apre neglijans yo mansyone yo, nou jwenn
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Soti nan ekw. (1c, d ak b) yo jwenn
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Lè nou elimine Q1 nan ekwasyon (1a) a, nou jwenn
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Soti nan ekwasyon. (1e) yo pral elimine Q konsa, apre sa u ’’ atravè u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Pou jwenn ekwasyon diferansyèl la pou ϑ, yo pral entwodui relasyon sa yo ant moman ak defòmasyon yo
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
kote li reprezante B1=EIx ak B=EIy rijidite kont fleksyon travès la, C rijidite kont tòsyon, epi C* rezistans kont pliye. Nan kalkil nou yo ki vin apre yo, nou pral kite tèm ki gen C* yo deyò pou senplifye. Si yo dwe aplike ekwasyon yo, pa egzanp, sou pwofil I, li nesesè pou konplete yo yon fason apwopriye. Neijans tèm v’’ a vle di menm bagay ak sipozisyon B1=∞.
Si nou elimine M ak MD avèk èd eq. 4 nou jwenn ekwasyon diferansyèl pou boukliye lateral yon travès ak seksyon konstan
Ekwasyon diferansyèl la (5) se omojèn epi li gen katriyèm lòd selon ϑ. M1 se yon fonksyon ki deja konnen sou z an fonksyon de chaj la.
Gwo bout bwa ak moman koube konstan
Ann pran p=N1=0, anplis Mx=ɱ=const. Seksyon an san flanj (konpak) epi travès la long an rapò ak dimansyon seksyon kwa a, konsa nou ka mete C*=0. Lè sa a, ekwasyon (5) la senplifye, akoz M1=ɱ, kidonk:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
oswa ak abrevyasyon λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Travès ak sipò fouchèt nan toude bout yo
Fig. 2
Sipò a nan z=0 ak z=l fèt nan fòm fouchèt (fig. 2), ki pèmèt defleksyon u ak v, men ki anpeche wotasyon seksyon pwent yo; ϑ=0. Kòm pa gen ankastre nan direksyon x la (sa vle di M=0, oubyen dapre ekw. (4) tou u’’=0), sa sòti nan ekw. pou u’’: MD’_=0 e konsa, nan ekw. (4c) kòm dezyèm kondisyon kontou ϑ’’=0.
Solisyon jeneral ekw. (6a) se
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Nan kondisyon kontou yo, yo jwenn
Sistèm omojèn ekwasyon sa a gen:
- Solisyon trivial A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ki koresponn ak ϑ=0, u’’=0 oswa u=0, kote travès la pa fè devyasyon lateral.
- Solisyon pwòp yo selon Δ=0 oswa sin λ__l=0. Rasin kondisyon flambe lateral sa a se λ__l=n__π (ak n=1,2,3,∙∙∙) epi moman kritik ki koresponn yo
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Pi piti moman boukli lateral
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
sa parèt lè n=1. Solisyon ki koresponn lan jwenn pa aplikasyon ekw. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Lòt ka ekwiyaj lateral
c) Pliyaj lateral akoz moman fleksyon ak fòs ki ap peze a
Pou egzanp yo montre sou fig. 3 la, N1=-D (presyon), p=0, apre sa yo mete C*=0. Lè sa a, ekwasyon diferansyèl la (5) senplifye epi li vin
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
kote λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Solisyon ekwasyon diferansyèl la (9) bay ankò nan ekw. (8), sèlman kounye a λ vle di yon lòt valè.
Fig. 3
Pou egzanp fig. 3 yo aplike, menm jan ak nan a), kondisyon kontou yo ϑ=0 ak ϑ’’=0 pou z=0 ak z=l. Kidonk, ekwasyon kondisyon yo pou A1 yo menm tou an fòmèlman, epi konsa tou kondisyon boukliye lateral la Δ=sin λl=0. Chaj kritik la satisfè relasyon λl=nπ (n=1,2,3) epi valè ki pi piti a se
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Pou D=0 yo jwenn depi la moman boukliye lateral la dapre ekw. (8c) epi pou chaj ki se sèlman an konpresyon (ɱ=0) fòs boukliye Euler a _DK=B(π/l)_2.
Nan fig. 3 ka a prezante a dwe make kòm fleksyon eksantrik nan plan y-z. Donk, ka estabilite ki te egzamine anvan an se fòmman soti nan plan fleksyon an ki konekte ak fleksyon lateral u ak tòsyon ϑ.
Si tou de bout yo fikse (ϑ=0 epi ϑ’=0), alò sa yo jwenn nan kondisyon kontou yo, avèk èd Δ=0, se kondisyon pou boukle bò
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
ak rasin λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) ak fòs boukliye lateral
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.