પાર્શ્વીય બકલિંગ અને ટોર્શન દરમિયાનનું બકલિંગ

વાંકામાં વળવાની ઝુકાવ માટે, સંતુલનમાં ફેરફાર વખતે દંડ એક મુખ્ય સમતલમાં વળી જાય છે.

પરંતુ સ્થિરતાના એવા પણ કિસ્સાઓ છે જેમાં દંડ, એટલે કે બીમ, સંતુલનમાં ફેરફાર દરમિયાન માત્ર વળે જ નથી પણ વળી પણ જાય છે (આકૃતિ 60a). આધાર ઘટકોમાં આ ઘટનાને બાજુવાળી વાંકાણ કહેવામાં આવે છે, જ્યારે દબાયેલા દંડોમાં, જે વાંકાણ વખતે ટોર્શનને પણ આધીન હોય છે, _ટોર્શન સાથે વાંકાણ_ની વાત કરવામાં આવે છે.

બન્ને ઘટનાઓ માટે વાંક સામેની કઠોરતા C, એટલે કે વળાંક પ્રત્યેનો પ્રતિકાર C* નિર્ણાયક મહત્વ ધરાવે છે. તેથી torsion સાથે જોડાયેલા સમતોલના ફેરફારને મુખ્યત્વે એવા ઉપાયો દ્વારા અસર કરી શકાય છે જે વળાંક સામેની કઠોરતા વધારે છે (યોગ્ય ક્રોસ-સેક્શન આકાર, આડાં ફ્રેમો, બાજુ આધાર વગેરે). બીજી તરફ, ખુલ્લા ક્રોસ-સેક્શનવાળા પટ્ટી-આકારના દંડ torsion દરમિયાન અસ્થિરતા માટે ખાસ સંવેદનશીલ હોય છે.

પાર્શ્વ વળાંક માટેનું ડિફરેનશિયલ સમીકરણ

આકૃતિ 1a

માનીએ કે સીધી બીમના સ્થિર જડત્વ ક્ષણો Ix >> Iy જેટલા અસમાન છે. ભાર y-z-સમતલમાં લાગેલો છે, તેથી બીમ આ મુખ્ય સમતલમાં વળશે (u=ϑ=0). અનુભવ તેમજ સિદ્ધાંત દર્શાવે છે કે આ સમતોલ સ્થિતિ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે, પરંતુ વધુ મોટા ભાર માટે અસ્થિર બની જાય છે. આ બીજી સમતોલ સ્થિતિ અનુલંબ વળાંક u અને ટોર્શન ϑ સાથે જોડાયેલી છે.

નીચે બાજુના વળાંક માટેનું અવકલન સમીકરણ કાઢવામાં આવશે. u અને ϑ માટેનાં સમીકરણો સમરૂપ છે. જો સીમા શરતો પણ સમરૂપ હોય તો ગર્ડરનું બાજુનું વળાંક માત્ર સમસ્યાના સ્વમૂલ્યો માટે જ શક્ય છે, એટલે કે ઉપર વર્ણવેલ અવ્યવસ્થારહિત ગર્ડરમાં u અને ϑ શરૂઆતમાં શૂન્ય જ રહે છે. બાજુના વળાંકની શરત—કાંઠાની વાંકણની જેમ—સમરૂપ શરતી સમીકરણોના એકીકરણ અચળાંકો માટેના ગુણાંકના ડિટર્મિનન્ટને શૂન્ય માનવાથી મળે છે. આપણે જોઈશું કે બાજુના વળાંકમાં પણ સ્થિતિસ્થાપક સંતુલનની સાચી શાખાવિભાજન બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે.

ચિત્ર 1b

આકૃતિ 1b માં લંબાઈ dz ધરાવતો બીમનો તત્વ દર્શાવવામાં આવ્યો છે. તાણોના પરિણામી N1, Q1, M1, તેમજ વક્રતા κ__1 ભારણ પર આધાર રાખે છે અને અંતિમ મૂલ્યો છે. Q, M, MD મૂળ સંતુલન સ્થિતિમાં શૂન્ય છે, અને બાજુ તરફ વાંકડાપણું શરૂ થાય ત્યાર પછી જ તેઓ શૂન્યથી અલગ બનશે. બાજુ વાંકડાપણાની શરૂઆતને સંબંધી અંતિમ મૂલ્યો અનંત નાના છે, તેમજ સંબંધિત વિકૃતિઓ κ અને d__ϑ/dz પણ.

તત્વ _dz_ના બંને અંતિમ ક્રોસ-સેકશનો વળાંકયુક્ત દંડની દ્વિવક્ર અક્ષને લંબ સમતલમાં આવેલાં છે અને આ લંબ સમતલોમાં વળાયેલા રહેશે.

કારણ કે અમને — દંડના વળાંકની જેમ — મુખ્યત્વે મહત્વપૂર્ણ ભારની માત્રામાં, એટલે કે બાજુના વળાંકની શરૂઆતમાં રસ છે, અને વિકૃતિની માત્રામાં ઓછો, તેથી આપણે Q, M, MD ના ગુણાકારોને κ અથવા ϑ’ સાથે બીજા ક્રમની નાની માત્રા તરીકે અવગણી શકીએ છીએ. તેથી વધુ સરળીકરણ માટે મુખ્ય વક્રતા κ1 ને પણ અતિ નાની માનશું અને તેને κ અને _ϑ’_ની જેમ જ ગણવામાં આવશે.

નોંધ: κ__1 નો પ્રભાવ સરળ વિશેષ કેસમાં (લોડ તરીકે સ્થિર વાંક મોમેન્ટ M) સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ પણ મૂલવવો જોઈએ. બાંધકામ તકનીકની મોટાભાગની જરૂરિયાતોમાં κ__1 અવગણાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પી શકાય કે સંબંધિત લોડ કેસ માટે કિરણ એટલી રીતે “ઉંચો કરેલો” છે કે ગંભીર લોડ માટે ચોક્કસ κ__1=0.

ξ, η, ζ દિશાઓમાં બળના ઘટકોની સમતુલા અને એ જ ધરીઓ અંગેના ક્ષણ-શરતોમાંથી, ઉપરોક્ત અવગણનાઓ બાદ, પ્રાપ્ત થાય છે_

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

સમીકરણો (1c, d અને b)માંથી મળે છે

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

Q1 ને સમીકરણ (1a) માંથી દૂર કરતાં મળે છે

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

સમીકરણ (1e)માંથી આ રીતે Q દૂર કરવામાં આવશે, ત્યારબાદ u ’’ માટે u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ વડે

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

ϑ માટેનું સમીકરણ મેળવવા માટે, ક્ષણો અને વિકૃતિઓ વચ્ચે નીચેના સંબંધો રજૂ કરવામાં આવશે

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

જ્યાં તે B1=EIx અને B=EIy કિરણના વાળણ સામેના કઠિનતા, C વળાંક સામેની કઠિનતા, અને C* વક્રતા સામેનો પ્રતિકાર દર્શાવે છે. અમારી આગળની ગણતરીઓમાં સરળતા માટે C* ધરાવતાં પદોને છોડી દઈશું. જો સમીકરણો, ઉદાહરણ તરીકે, I-પ્રોફાઇલ્સ પર લાગુ કરવાના હોય, તો તેમને યોગ્ય રીતે પૂરક બનાવવાની જરૂર છે. v’’ પદની અવગણના કરવાનો અર્થ એ જ છે જે B1=∞ ની ધારણા.

જો M અને MD ને સમી. 4 દ્વારા દૂર કરવામાં આવે, તો સ્થિર ક્રોસ-સેક્શન ધરાવતી ગર્ડરનું પાર્શ્વ વાળણ માટેનું વિભિન્ન સમીકરણ મળે છે

અંતર સમીકરણ (5) ϑ પ્રમાણે સમરૂપ અને ચોથા ક્રમનું છે. M1 ભારને આધારે z નું જાણીતું ફંક્શન છે.

સ્થિર વાંકણ ક્ષણ ધરાવતો બીમ

ધરો કે p=N1=0, ઉપરાંત Mx=ɱ=const. આડછેદ ફ્લેન્જ વગરનું (સંકુચિત) છે અને ગર્ડર તેના આડછેદના પરિમાણોની તુલનાએ લાંબો છે, તેથી આપણે મૂકી શકીએ કે C*=0. ત્યારે સમીકરણ (5) સરળ બની જાય છે, કારણ કે M1=ɱ, તેથી:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

અથવા સંક્ષેપ રૂપે λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) બંને છેડે કાંટાવાળા આધાર સાથેનો બીમ

ક્ર.2

z=0 અને z=l પર આધાર આપવું ફોર્ક્સના સ્વરૂપમાં છે (ચિત્ર 2), જે u અને v દ્રોણોને મંજૂરી આપે છે, પરંતુ અંતિમ કાપોના ફરવણને અટકાવે છે; ϑ=0. કારણ કે x દિશામાં સ્થિરતા નથી (અર્થાત્ M=0, અથવા સમીકરણ (4) અનુસાર પણ u’’=0), u’’ માટેના સમીકરણમાંથી: MD’=0 અને તેથી સમીકરણ (4c) માંથી બીજા સીમા શરત તરીકે ϑ’’=0.

સમીકરણ (6a) નું સામાન્ય ઉકેલ છે

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

સીમા શરતોમાંથી પ્રાપ્ત થાય છે

આ સમાનજાત સમીકરણ પદ્ધતિમાં છે:

• તુચ્છ સમાધાન A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, જેને અનુરૂપ ϑ=0, u’’=0 અથવા u=0 છે, જેમાં બીમ બાજુ તરફ વાંકડો થતો નથી.
• સ્વમૂલ્ય સમીકરણો Δ=0 અથવા sin λ__l=0. બાજુના વળાંકની આ શરતના મૂળો λ__l=n__π (સાથે n=1,2,3,∙∙∙) છે અને સંબંધિત નાજુક ક્ષણિક ભારણો

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

બાજુ વળાંકનો લઘુત્તમ ક્ષણ

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

n=1 પર પ્રાપ્ત થાય છે. અનુરૂપ ઉકેલ સમીકરણ (1f)ના ઉપયોગથી છે:

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) બાજુથી વળાંકના અન્ય કિસ્સાઓ

c) વળાંક ક્ષણ અને દબાણકારક બળને કારણે થતું પાર્શ્વીય બકલિંગ

આકૃતિમાં દર્શાવેલા ઉદાહરણ માટે 3 N1=-D (દબાણ), p=0, ત્યારબાદ C*=0 મૂકવામાં આવ્યું છે. ત્યારે ભિન્ન સમીકરણ (5) સરળ બને છે અને આ પ્રમાણે છે

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

જ્યાં λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

અવકલ સમીકરણનું સમાધાન (9) ફરીથી સમીકરણ (8) દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે, ફક્ત હવે λ બીજી કિંમત સૂચવે છે.

ક્ર.3

આકૃતિ 3 માટે, તેમજ a) માટેના પરિઘીય શરતો ϑ=0 અને ϑ’’=0 z=0 અને z=l માટે લાગુ પડે છે. તેથી A1 માટેની શરતી સમીકરણો પણ સ્વરૂપે સમાન છે, તેમજ બાજુના બકલિંગની શરત Δ=sin λl=0 પણ. ક્રિટિકલ ભારણ સંબંધ λl=nπ (n=1,2,3) સંતોષે છે અને સૌથી નાનું મૂલ્ય છે

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

D=0 માટે ત્યાંથી સમીકરણ (8c) અનુસાર બાજુ તરફ વળવાની ક્ષણ મળે છે અને શુદ્ધ દબાણવાળા ભાર માટે (ɱ=0) Euler-ની વળાંક શક્તિ _DK=B(π/l)_2.

ચિત્રમાં 3 દર્શાવેલ કેસને y-z સમતલમાં કેન્દ્રીત વળાંક તરીકે ઓળખવો જોઈએ. તેથી, અગાઉ ચર્ચાયેલ સ્થિરતાનો કેસ એ વળાંક સમતલમાંથી વળેલું વાંકડાપણું છે, જે બાજુના વળાંક u અને ટોર્શન ϑ સાથે સંબંધિત છે.

જો બંને છેડા કઠોર રીતે સ્થિર હોય (ϑ=0 અને ϑ’=0), તો પરિઘીય શરતોમાંથી, Δ=0 નો ઉપયોગ કરીને, બાજુની વાળણીની શરત પ્રાપ્ત થાય છે

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

મૂળો λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) અને પાર્શ્વ વાળણની શક્તિઓ સાથે

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.