Le haghaidh buckling during bending, tá an tslat lúbtha i bplána príomha amháin nuair a athraíonn an chothromaíocht.
Ach tá cásanna cobhsaíochta ann freisin ina mbíonn an tslat, nó an bíoma, ní hamháin lúbtha ach casta nuair a athraíonn an chothromaíocht (fíor 60a). I gcás iompróirí, tugtar lúbadh cliathánach ar an bhfeiniméan seo; i gcás slata comhbhrúite, a bhíonn faoi thorsion freisin le linn lúbtha, labhraítear faoi lúbadh torsionach.
Tá méid na dochtúlachta in aghaidh torsion C, nó an fhriotaíocht i gcoinne lúbtha C*, ríthábhachtach don dá fheiniméan. Dá bhrí sin, is féidir tionchar a imirt ar athrú na cothromaíochta a bhaineann le torsion, thar aon rud eile, trí bhearta a mhéadaíonn an dochtúlacht i gcoinne casadh (cruth cuí na coda trasghearrtha, frámaí trasnacha, tacaíocht cliathánach, srl.). Ar an taobh eile, tá barraí i gcruth stiallacha le crosghearradh oscailte go háirithe íogair d’fhiúbadh le torsion.
Cothromóid dhifreálach le haghaidh lúbadh cliathánach
Fíor 1a
Cuir i gcás go bhfuil nóiméid táimhe tairiseacha ag greadán díreach atá an-mhíchothrom de mhéid Ix >> Iy. Tá an t-ualach suite sa phlána y-z-mar sin go mbeidh an greadán lúbtha sa phríomhphlána seo (u=ϑ=0). Léiríonn taithí agus an teoiric araon go bhfuil an suíomh cothromaíochta seo cobhsaí ar dtús, ach go n-éiríonn sé éagobhsaí le haghaidh ualaí níos mó. Tá an dara suíomh cothromaíochta seo ceangailte le lúbadh trasnach in u agus le torcas ϑ.
Anseo thíos díorthófar an chothromóid dhifreálach le haghaidh lúbadh cliathánach. Tá na cothromóidí do u agus ϑ aonchineálach. Má tá na coinníollacha imlíne aonchineálach freisin, ní féidir le lúbadh cliathánach an bhíoma tarlú ach amháin do na luachanna féin den fhadhb, is é sin, fanann u agus ϑ mar nialas ar dtús don bhíoma neamhshuaitheadh a thuairiscítear thuas. Faightear an coinníoll lúbtha cliathánaigh – cosúil le lúbadh slata – má chuirtear go bhfuil deitéirminéant na gcomhéifeachtaí de na cothromóidí coinníollacha aonchineálacha do na tairisigh chomhtháthaithe cothrom le nialas. Feicfimid go bhfuil fíorphointe bifurcáide na cothromaíochta leaisteacha ann freisin i gcás lúbadh cliathánach.
Fíor. 1b
I bhfíor 1b léirítear eilimint ghiarsa ar fhad dz. Braitheann na toraidh struis N1, Q1, M1, chomh maith leis an gcuaire κ__1 ar an luchtú agus is méideanna críochta iad. Tá Q, M, MD cothrom le nialas sa suíomh cothromaíochta bunaidh, agus ní bheidh siad difriúil ó nialas go dtí go dtarlóidh cuaire cliathánach. Tá na méideanna críochta, a bhaineann le tús an chuairte cliathánaigh, an-bheag, mar atá na dífhoirmíochtaí comhfhreagracha κ agus d__ϑ/dz.
Tá an dá chuid deiridh den eilimint dz suite i bplána gnáth ar ais dhúbailte chuartha na slaite agus beidh siad casta sna plánaí gnáth seo.
Ós rud é go mbaineann an phríomhspéis linn — mar a bhíonn i gcás lúbadh slata — le méid an ualaigh chriticiúil, .i. tús an lúbtha taoibh, agus níos lú le méid na ndífhoirmíochtaí, is féidir linn táirgí na méideanna Q, M, MD le κ nó ϑ’ a neamhaird mar mhéideanna beaga den dara hord. Dá bhrí sin, le haghaidh simplithe breise, glacfaimid freisin leis go bhfuil an phríomhchuar κ1 thar a bheith beag agus go ndéileálfar léi mar κ agus ϑ’.
Nóta: Caithfear tionchar κ__1 a mheas go teoiriciúil fiú sa chás speisialta simplí (móiminteam lúbtha tairiseach M mar ualach). I bhformhór na riachtanas san innealtóireacht tógála is féidir neamhaird a dhéanamh ar κ__1. Is féidir, mar shampla, samhlú go bhfuil an bhíoma don chás ualaigh sin “ardaithe” sa chaoi is gur κ__1=0 go beacht an t-ualach criticiúil.
Ó chomhardú chomhpháirteanna na bhfórsaí sna treonna ξ, η, ζ agus ó na coinníollacha móiminte i leith na n-aiseanna céanna sin faightear, tar éis na neamhaird a luadh a dhéanamh
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Ó chothromóidí (1c, d agus b) faightear
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Trí Q1 a dhíchur as coth. (1a) faightear
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
As an gcoth. (1) cuirfear Q as an áireamh leis sin, ansin u ’’ trí u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Chun an chothromóid dhifreálach do ϑ a fháil, tabharfar isteach na caidrimh seo a leanas idir na móimintí agus na dífhoirmíochtaí
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
áit a léiríonn B1=EIx agus B=EIy dochtacht i gcoinne lúbtha an chnámha, C dochtacht i gcoinne casta, agus C* friotaíocht in aghaidh cuaire. Inár ríomhanna breise fágfaimid na téarmaí le C* ar lár ar mhaithe le simpliú. Más gá na cothromóidí a chur i bhfeidhm m.sh. ar phróifílí I, caithfear iad a chur i gcrích go cuí. Ciallaíonn neamhaird a dhéanamh den téarma v’’ an rud céanna le glacadh leis go bhfuil B1=∞.
Má dhéantar M agus MD a dhíchur trí chabhair de réir chuim. 4 faightear an chothromóid dhifreálach do lúbadh cliathánach bíoma de thrasghearradh tairiseach
Tá an chothromóid dhifreálach (5) homagánach agus den cheathrú hord de réir ϑ. Is feidhm aitheanta de chuid z í M1 ag brath ar an ualach.
Greda le nóiméad lúbtha tairiseach
Bíodh p=N1=0, ina theannta sin Mx=ɱ=const. Tá an trasghearradh gan flange (dlúth) agus tá an giarsa fada i gcomparáid le toisí an trasghearrtha, ionas gur féidir linn glacadh go bhfuil C*=0. Ansin simplítear an choth. (5), mar gheall ar M1=ɱ, agus mar sin tá:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
nó leis an ngiorrú λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Léas le tacaíocht chuisleach ag an dá cheann
Fíor. 2
The support at z=0 and z=l is in the form of forks (fig. 2), which allow deflections u and v, but prevent rotation of the end sections; ϑ=0. Since there is no clamping in the x direction (i.e. M=0, or according to eq. (4) also u’’=0), it follows from the equation for u’’: MD’=0 and thus from eq. (4c) as a second boundary condition ϑ’’=0.
Is é an réiteach ginearálta ar choth. (6a) ná
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Faightear é as na coinníollacha teorannacha
Tá na nithe seo a leanas ag an gcóras aonchineálach cothromóidí seo:
- Réiteach fánach A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, a fhreagraíonn do ϑ=0, u’’=0 nó u=0, agus ní lúbann an bhíoma go cliathánach.
- Réitigh féin de réir Δ=0 nó sin λ__l=0. Is iad fréamhacha an choinníll seo chun búclaíocht thaobhach ná λ__l=n__π (le n=1,2,3,∙∙∙) agus na hualaí chriticiúla comhfhreagracha
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
An nóiméad lúbtha cliathánaigh is lú
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
tarlaíonn sé ag n=1. Is é an réiteach cuí trí chothromóid (1f) a úsáid:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Cásanna eile lúbtha cliathánaí
c) Lúbadh cliathánach de dheasca móimint lúbtha agus fórsa comhbhrúite
Don sampla a thaispeántar i bhfíor 3 is N1=-D (brú), p=0, ansin cuireadh C*=0. Ansin simplítear an cothromóid dhifreálach (5) agus deir sí
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
i gcás ina bhfuil λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Tá réiteach an chothromóid dhifreálaigh (9) tugtha arís i gcoth. (8), ach anois seasann λ do luach eile.
Fíor 3
I gcás na samplaí fig. 3 tá na coinníollacha comhrianta, mar atá i gcás a), ϑ=0 agus ϑ’’=0 do z=0 agus z=l. Dá bhrí sin, tá na cothromóidí coinníollacha do A1 mar an gcéanna go foirmiúil agus mar an gcéanna freisin an coinníoll lúbtha cliathánaigh Δ=sin λl=0. Comhlíonann an t-ualach criticiúil an gaol λl=nπ (n=1,2,3) agus is é an luach is lú ná
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Do D=0 faightear as sin an nóiméad lúbtha cliathánaí de réir coth. (8c) agus do luchtú comhbhrúite íon (ɱ=0) an fórsa lúbtha _DK=B(π/l)_2 de chuid Euler.
I bhfig. 3 ainmnítear an cás a léirítear mar lúbadh eiscentric sa phlána y-z. Mar sin, is lúbadh as an bplána lúbtha é an cás cobhsaíochta a breathnaíodh roimhe seo, ceangailte le lúbadh cliathánach u agus le torsion ϑ.
Má tá an dá cheann greamaithe (ϑ=0 agus ϑ’=0) ansin faightear an coinníoll d’fhiaradh cliathánach ó na coinníollacha comhrianta, trí Δ=0,
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
le fréamhacha λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) agus le fórsaí lúbtha cliathánaí
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.