الانبعاج الجانبي والانبعاج أثناء الالتواء

ولـالانبعاج أثناء الانحناء ينثني القضيب عند تغيّر حالة الاتزان في مستوى رئيسي واحد.

لكن توجد أيضًا حالات من الاستقرار، حيث لا تنحني القضبان، أو العوارض عند تغيّر حالة التوازن فحسب، بل تلتوي أيضًا (الشكل 60a). وفي العناصر الحاملة تُسمّى هذه الظاهرة الانبعاج الجانبي، أما في القضبان المضغوطة التي تتعرض أثناء الانبعاج أيضًا للّوي، فيُتحدث عن الانبعاج مع اللوي.

ولهاتين الظاهرتين معًا تُعدّ درجة الصلابة ضد الالتواء C، أو مقاومة الانبعاج C*، ذات أهمية حاسمة. ولذلك يمكن التأثير أولًا في تغير التوازن المقترن بالالتواء من خلال الإجراءات التي تزيد من الصلابة ضد الالتواء (شكل المقطع المناسب، الإطارات العرضية، التدعيم الجانبي، إلخ). ومن ناحية أخرى، فإن القضبان الشريطية ذات المقطع المفتوح تكون حساسة بصورة خاصة للانبعاج عند الالتواء.

المعادلة التفاضلية للانبعاج الجانبي

شكل 1a

لنفرض أن كمرة مستقيمة لها عزوما عطالة ثابتة غير متساوية بدرجة كبيرة Ix >> Iy. يقع الحمل في المستوى y-z\ بحيث تنحني الكمرة في هذا المستوى الرئيسي (u=ϑ=0). وتُظهر الخبرة وكذلك النظرية أن هذا الوضع التوازني يكون أولًا مستقرًا، لكنه يصبح غير مستقر عند الأحمال الأكبر. ويرتبط وضع التوازن الثاني هذا بالانحناء العرضي في u وبالليّ ϑ.

سيُشتق أدناه المعادلة التفاضلية للانبعاج الجانبي. المعادلات الخاصة بـ u و ϑ متجانسة. وإذا كانت شروط الحدود متجانسة أيضًا، فإن انبعاج العارضة جانبيًا لا يكون ممكنًا إلا للقيم الذاتية للمسألة، أي إن u و ϑ يبقيان أولًا صفرًا بالنسبة إلى العارضة غير المضطربة الموصوفة أعلاه. ويُستحصل على شرط الانبعاج الجانبي - على غرار ما يحدث في انبعاج القضيب - إذا افترضنا أن محدد معاملات المعادلات الشرطية المتجانسة للثوابت التكاملية يساوي صفرًا. وسنرى أنه حتى عند الانبعاج الجانبي توجد نقطة تفرع حقيقية للتوازن المرن.

الشكل 1b

في الشكل 1b يُعرض عنصر عارضة بطول dz. إن محصلات الإجهادات N1, Q1, M1, وكذلك الانحناء κ__1، تعتمد على الحمل وهي كميات نهائية. إن Q, M, MD تساوي صفرًا في وضع التوازن الأصلي، ولن تختلف عن الصفر إلا عند حدوث الانبعاج الجانبي. والكميات النهائية، التي تتعلق ببداية الانبعاج الجانبي، متناهية الصغر، وكذلك التشوهات المقابلة κ و d__ϑ/dz.

يقع كلا المقطعين الطرفيين للعنصر dz في مستوى عمودي على المحور المزدوج الانحناء للقضيب، وسيكونان ملتويين في هذين المستويين العموديين.

ولأننا—كما في حالة انبعاج القضيب—يهتمنا أولًا مقدار الحمل الحرج، أي بدء الانبعاج الجانبي، أكثر من مقدار التشوهات، فيمكننا إهمال جداءات القيم Q و_M و_MD مع κ أو ϑ’ باعتبارها كميات صغيرة من الرتبة الثانية. لذلك سنفترض أيضًا، لمزيد من التبسيط، أن الانحناء الرئيسي κ1 صغير إلى ما لا نهاية، وسيُعامل مثل κ و ϑ’.

ملاحظة: يجب أيضًا تقدير تأثير κ__1 نظريًا في الحالة الخاصة البسيطة (عزم الانحناء الثابت M بوصفه حملًا). وفي معظم احتياجات الهندسة الإنشائية يمكن إهمال κ__1. ويمكن، مثلًا، أن نتصور أن العارضة في حالة التحميل المعنية تكون «مقوسة للأعلى» بحيث يكون للحمل الحرج بالضبط κ__1=0.

من اتزان مركبات القوى في الاتجاهات ξ, η, ζ ومن شروط العزوم بالنسبة إلى تلك المحاور نفسها، نحصل بعد الإهمالات المذكورة على

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

من المعادلة (1c, d i b) نحصل على

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

بحذف Q1 من المعادلة (1a) نحصل على

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

وبذلك سيُحذف Q من المعادلة (1e)، ثم u ’’ عبر u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

للحصول على المعادلة التفاضلية لـ ϑ ستُستعمل العلاقات الآتية بين العزوم والتشوهات

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

حيث يرمز B1=EIx و_B=EIy_ إلى صلابة الجائز ضد الانحناء، و_C_ إلى الصلابة ضد الالتواء، و_C*_ إلى مقاومة الالتواء الجانبي. وفي حساباتنا اللاحقة سنحذف الحدود التي تحتوي على C* من أجل التبسيط. وإذا كان لا بد من تطبيق المعادلات، مثلًا، على مقاطع I، فيجب استكمالها على النحو المناسب. وإهمال الحد v’’ يعني الشيء نفسه الذي تعنيه الفرضية B1=∞.

إذا أزيل M و MD بمساعدة المعادلة 4 نحصل على المعادلة التفاضلية للانبعاج الجانبي لكمرة ذات مقطع ثابت

المعادلة التفاضلية (5) متجانسة ومن الرتبة الرابعة بالنسبة إلى ϑ. M1 دالة معروفة في z تبعًا للحمل.

كمرة بعزم انحناء ثابت

ليكن p=N1=0، بالإضافة إلى ذلك Mx=ɱ=const. يكون المقطع بلا جناح (مضغوطًا) والعارضة طويلة بالنسبة إلى أبعاد المقطع العرضي، بحيث يمكننا أن نضع C*=0. عندئذ تُبسَّط المعادلة (5)، بسبب M1=ɱ، فيكون:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

أو بالاختصار λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) جسر ذو مسند مفصلي عند الطرفين

الشكل. 2

إن الإسناد عند z=0 و z=l يكون على هيئة مفاصل شوكية (الشكل 2), تتيح الانحناءات u و v، لكنها تمنع دوران المقاطع الطرفية؛ ϑ=0. وبما أنه لا يوجد تثبيت عند الاتجاه x (أي M=0، أو وفقًا للمعادلة (4) أيضًا u’’=0), ينتج من معادلة u’’: MD’=0 ومن ثم من المعادلة (4c) بوصفها شرطًا حدّيًا ثانيًا ϑ’’=0.

الحل العام للمعادلة (6a) هو

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

من الشروط الحدّية يُحصل على

هذا النظام المتجانس من المعادلات له:

• الحل البديهي A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ويقابله ϑ=0, u’’=0 أو u=0, بحيث لا تنبعج العارضة جانبيًا.
• الحلول الذاتية وفقًا لـ Δ=0 أو sin λ__l=0. جذور هذا الشرط الخاص بالانبعاج الجانبي هي λ__l=n__π (مع n=1,2,3,∙∙∙) وعزوم الانبعاج الحرجة المقابلة

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

أصغر عزم للانبعاج الجانبي

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

ينشأ عند n=1. والحل المناسب يتم بتطبيق المعادلة (1f):

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

ب) الحالات الأخرى للانبعاج الجانبي

ج) الانبعاج الجانبي الناتج عن عزم الانحناء والقوة الضاغطة

في المثال الموضح في الشكل 3 يكون N1=-D (ضغط)، و_p_=0، ثم وُضع C*=0. عندئذٍ تُبسَّط المعادلة التفاضلية (5) وتصبح

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

حيث تكون λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

حل المعادلة التفاضلية (9) مُعطى مرةً أخرى بالمعادلة (8), لكن الآن يشير λ إلى قيمة أخرى.

الشكل. 3

وللمثال في الشكل 3 تسري، كما في الحالة a)، شروط المحيط ϑ=0 و ϑ’’=0 عند z=0 و z=l. وبالتالي فالمعادلات الشرطية لـ A1 متماثلة شكليًا، وكذلك شرط الانبعاج الجانبي Δ=sin λl=0. ويحقق الحمل الحرج العلاقة λl=nπ (n=1,2,3) وأصغر قيمة هي

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

لـ D=0 يُحصل من ذلك على عزم الانبعاج الجانبي وفقًا للمعادلة (8c)، وللحمل الضاغط المحض (ɱ=0) فإن Euler-قوة الانبعاج _DK=B(π/l)_2.

في الشكل 3 يجب أن تُسمّى الحالة المعروضة انحناءً لامركزيًا في المستوى y-z. أما حالة الاستقرار التي نوقشت سابقًا فهي، إذن، الانبعاج خارج مستوى الانحناء المقترن بالانحناء الجانبي u والليّ ϑ.

إذا كان الطرفان كلاهما مثبتين (ϑ=0 و ϑ’=0) فإن شرط الانبعاج الجانبي يُستنتج من شروط الحدود، باستخدام Δ=0

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

مع الجذور λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) وقوى الانبعاج الجانبي

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.