නැමීමෙන් වක්රවීම සඳහා, සමතුලිතතාවය වෙනස් වන විට තීරුව ප්රධාන තලයකින් එක් තලයකට වක්රවේ.
නමුත් ස්ථායීතාවයේ එවැනි අවස්ථාවන්ද ඇත; එහිදී දණ්ඩය, එසේත් නැත්නම් ගැඹුර, සමතුලිතතාව වෙනස් වීමේදී නැමීම පමණක් නොව හරස්ව වකුටුද වේ (රූ. 60a). තාපකරුවන් සම්බන්ධයෙන් මෙම සංසිද්ධිය පාර්ශ්වීය වක්රවීම ලෙස හැඳින්වේ; වක්රවීමේදී ටෝර්ෂනයටද ලක් වන පීඩිත දණ්ඩයන් සම්බන්ධයෙන් ටෝර්ෂන් සමග වක්රවීම ලෙස කථා කරයි.
මෙම දෙකම සඳහා තීරණාත්මක වැදගත්කම දරන්නේ ටෝර්ෂනයට එරෙහි දෘඪතාව C හි ප්රමාණය, එනම් වංගුවීමට එරෙහි ප්රතිරෝධය C* යි. ඒ නිසා ටෝර්ෂනය සමඟ සම්බන්ධ වූ සමතුලිතතා වෙනසට මුලින්ම බලපෑම් කළ හැක්කේ ව්යතිරේක වළලු දෘඪතාව වැඩි කරන ක්රියාමාර්ග මගිනි (සුදුසු අනුප්රස්ථාක ආකාරය, අනුප්රස්ථ රාමු, පාර්ශ්වීය ආධාර ආදී). අනෙක් අතට, විවෘත කට්ටලයක් සහිත පටි ආකාර දණ්ඩ, විශේෂයෙන්ම ටෝර්ෂනයේදී බකලීම සඳහා සංවේදීය.
පැති වක්රවීම සඳහා වූ අවකල සමීකරණය
රූ. 1a
සෘජු බීම් එකකට ඉතා අසමාන ප්රමාණවල ස්ථිර ජඩත්ව මොහොත් තිබේ යැයි ගනිමු Ix >> Iy. බර y-z-තලයේ පිහිටා ඇති බැවින් බීම්ය මෙම ප්රධාන තලයේ වක්ර වනු ඇත (u=ϑ=0). අත්දැකීම් සහ න්යාය යන දෙකම පෙන්වන්නේ මෙම සමතුලිත ස්ථානය මුලින් ස්ථිර බවත්, නමුත් වැඩි බර සඳහා එය අස්ථිර බවට පත්වන බවත්ය. මෙම දෙවන සමතුලිත තත්ත්වය අනුලම්බ වක්රවීම හා ϑ හි ටෝර්ෂන් සමඟ සම්බන්ධ වේ.
පහළින් පාර්ශවීය වළවීම සඳහා අවකල සමීකරණය導出 කෙරේ. u හා ϑ සඳහා වූ සමීකරණ හෝමොජීනීය වේ. සීමා කොන්දේසිද හෝමොජීනීය නම්, ගර්ඩරයේ පාර්ශවීය වළවීම සිදුවිය හැක්කේ ගැටලුවේ ස්වීය අගයන් සඳහා පමණි, එනම් බාධා නොමැති ඉහත විස්තරිත ගර්ඩරය සඳහා u හා ϑ මුලින් ශූන්යව පවතී. පාර්ශවීය වළවීමේ කොන්දේසිය ලැබෙන්නේ - දණ්ඩය වළවීමේදී මෙන් - ඒකාකෘතික නියතයන් සඳහා වූ හෝමොජීනීය කොන්දේසි සමීකරණවල ගුණක මධ්යස්ථානය ශූන්යයට සමාන ලෙස තැබීමෙන්ය. පාර්ශවීය වළවීමේදීද ඉලාස්ටික් සමතුලිතතාවයේ සැබෑ ශාඛා ලක්ෂ්යයක් පවතින බව අපි දකිනු ඇත.
රූ. 1b
රූ. 1b හි දිග dz වූ ගේඩ්යංග කොටසක් දැක්වේ. ආතති ප්රතිඵල N1, Q1, M1 මෙන්ම වක්රතාව κ__1 බරපතලතාවය මත රඳා පවතින අතර අවසන් ප්රමාණයන් වේ. Q, M, MD මූලික සමතුලිත ස්ථානයේදී ශූන්ය වන අතර, පාර්ශ්වීය බකලීම සිදුවන තෙක් පමණක් ශූන්යයෙන් වෙනස් වේ. පාර්ශ්වීය බකලීම ආරම්භය සම්බන්ධ අවසන් ප්රමාණ ඉතා කුඩා වන අතර, ඒ හා සම්බන්ධ වක්රණ κ සහ d__ϑ/dz ද එසේමය.
අංගයේ dz දෙකම අන්ත කප්පාදු සාමාන්ය තලයක පිහිටා ඇති අතර, මෙම සාමාන්ය තල තුළ ඒවා වළලු වනු ඇත.
දණ්ඩය වක්රවීමේ අවස්ථාවේ මෙන්ම, අපට පළමුවෙන්ම වැදගත් වන්නේ අර්බුදකාරී භාරයේ ප්රමාණය, එනම් පැති වක්රවීමේ ආරම්භයයි, විකෘතිතා ප්රමාණය එතරම් නොවේ. ඒ නිසා Q, M, MD යන ප්රමාණවල ගුණිතයන් κ හෝ ϑ’ සමඟ ද්විතීය අනුපිළිවෙලේ කුඩා ප්රමාණ ලෙස නොසලකා හැරිය හැක. එබැවින්, තවදුරටත් සරල කිරීම සඳහා ප්රධාන වක්රතාව κ1 ද අසීමිතව කුඩා ලෙස උපකල්පනය කර, එය κ සහ ϑ’ ලෙස සලකනු ලැබේ.
සටහන: κ__1 හි බලපෑම, න්යායිකවද සරල විශේෂ අවස්ථාවක (නියත වක්රණ මොහොත M බරයක් ලෙස) ඇස්තමේන්තු කළ යුතුය. ගොඩනැගිලි තාක්ෂණයේ බොහෝ අවශ්යතා සඳහා κ__1 නොසලකා හැරිය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, දී ඇති බර අවස්ථාව සඳහා කදය එලෙස “උස් කර” ඇති බවක් සිතාගත හැකි අතර, එවිට සංකීර්ණ බර සඳහා හරියටම κ__1=0 වේ.
ξ, η, ζ දිශාවල බල සංඝටකවල සමාබරතාවයෙන් සහ එම අක්ෂයන්ට අදාළ මොහොත් කොන්දේසිවලින්, ඉහත සඳහන් නොසලකා හැරීම් වලින් පසු ලබා ගන්නේ
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
සමා. (1c, d සහ b) මගින් ලැබෙන්නේ
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Q1 ඉවත්වීමෙන් සමා. (1a) තුළින් ලැබෙන්නේ
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
1 සමීකරණයෙන් එවිට Q ඉවත් වන අතර, පසුව u ’’ ලබාගන්නේ u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ මඟිනි
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
ϑ සඳහා අවකල සමීකරණය ලබා ගැනීම සඳහා, මොහොත් සහ වක്രീකරණ අතර පහත සම්බන්ධතා පිහිටුවනු ලැබේ
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
එහිදී B1=EIx සහ B=EIy කදම්භයේ වංගු වීම විරුද්ධ දෘඪතාව, C වර්ට්නය විරුද්ධ දෘඪතාව, සහ C* වක්ර වීම ප්රතිරෝධය ලෙස දැක්වේ. අපගේ තවදුරටත් ගණනය කිරීම්වලදී සරල කිරීම සඳහා C* සහිත සාමාජික ඉවත් කරමු. සමීකරණ, උදාහරණයක් ලෙස I-පැතිකඩවලට යෙදීමට නම්, ඒවා සුදුසු ලෙස පූරණය කළ යුතුය. v’’ සාමාජිකය නොසලකා හැරීම B1=∞ යන උපකල්පනයට සමානය.
M සහ MD සූත්ර 4 භාවිතයෙන් ඉවත් කළහොත්, නිශ්චිත ප්රස්ථාර්ෂකයක් සහිත බිම්කඩක පාර්ශවීය නැමීම සඳහා වූ අවකල සමීකරණය ලැබේ
අවකල සමීකරණය (5) ϑ සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය වන අතර සිව්වන අනුපිළිවෙලට අයත් වේ. M1 යනු භාරය අනුව z හි දන්නා ක්රියාවලියකි.
නියත නැමීමේ මොහොතක් සහිත ගාමකය
p=N1=0, එසේම Mx=ɱ=const. කප්පාදුවේ ෆ්ලැංජ් නැත (සංකුචිත) සහ බීම් එක තීර්ය්ක කප්පාදුවේ මානයන්ට සාපේක්ෂව දිගු බැවින්, C*=0 ලෙස ගත හැක. එවිට සමීකරණය (5) M1=ɱ නිසා සරලවේ, එබැවින්:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
හෝ කෙටි ලකුණ λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) දෙකෙළවරම කම්බි ආධාරකයක් සහිත දණ්ඩය
රූපය 2
z=0 සහ z=l හි ආධාරය යුග්මකාරක (රූ. 2) ආකාරයෙන් වන අතර, ඒවා u සහ v වංගු වීමට ඉඩ දුන්නද, අවසන් අංශකවල හැරීම වළක්වයි; ϑ=0. x දිශාවෙන් සිරවීමක් නොමැති බැවින් (එනම් M=0, හෝ සමා. (4) අනුවද u’’=0), u’’ සඳහා වූ සමීකරණයෙන් MD’_=0 ලැබේ, එමඟින් සමා. (4c) අනුව දෙවන සීමා කොන්දේසිය ලෙස ϑ’’=0.
සමීකරණය (6a) හි සාමාන්ය විසඳුම වන්නේ
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
සීමාකාරී කොන්දේසි වලින් ලබා ගනු ලැබේ
මෙම සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියට ඇත්තේ:
- තෘවීය විසඳුම A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ඒ සඳහා ϑ=0, u’’=0 හෝ u=0 වන අතර, එවිට බීම් එක පැත්තෙන් වක්ර නොවේ.
- සමස්ථානීය විසඳුම් Δ=0 හෝ sin λ__l=0. මෙම පැත්තීය වක්රණය තත්ත්වයේ මූලයන් λ__l=n__π ( n=1,2,3,∙∙∙ සමඟ) වන අතර ඒ අනුරූප තීරණාත්මක මොහොතීය බර
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
පාර්ශ්වික බකිනීමේ අඩුම මොමෙන්තුව
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
සිදුවන්නේ n=1 මතය. සුදුසු විසඳුම සමා. (1f) භාවිතයෙන් ලැබේ:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) අනෙකුත් පැති වක්රණ අවස්ථා
c) වංගු මොහොත සහ සම්පීඩන බලය හේතුවෙන් පාර්ශ්වීය වංගුවීම
රූ. 3 හි පෙන්වා ඇති උදාහරණයට N1=-D (සම්පීඩනය), p=0, පසුව C*=0_ තබා ඇත. එවිට වෙනස්ක සමීකරණය (5) සරල වී මෙසේ වේ
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
එහි λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
අවකල සමීකරණයේ (9) විසඳුම නැවතත් සමීකරණය (8) මඟින් ලබා දී ඇත; මෙවර λ අර්ථ දක්වන්නේ දෙවන අගයයි.
රූ. 3
රූ. 3 සඳහා a) හි මෙන්ම පරිමිති කොන්දේසි ϑ=0 සහ ϑ’’=0 යනු z=0 සහ z=l සඳහා වලංගු වේ. එබැවින් A1 සඳහා කොන්දේසි සමීකරණ ද ආකෘතිමය වශයෙන් එකසේම වන අතර, පාර්ශ්වීය වක්රවීමේ කොන්දේසිය ද Δ=sin λl=0 වේ. අතිශය බර λl=nπ (n=1,2,3) යන සම්බන්ධතාවය සපුරාලන අතර අවම අගය වන්නේ
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0 සඳහා එතැනින් සමීකරණය (8c) අනුව පැත්තික වක්ර වීමේ මොහොත ලබා ගත හැකි අතර, පූර්ණ සම්පීඩන බර සඳහා (ɱ=0) Euler-ගේ වක්ර වීමේ බලය _DK=B(π/l)_2.
රූ. 3 හි දක්වා ඇති අවස්ථාව y-z තලයේ එක්සෙන්ට්රික් වක්රණය ලෙස හැඳින්විය යුතුය. එබැවින් ඉහත විමර්ශිත ස්ථායීතා අවස්ථාව යනු වක්රණ තලයෙන් පිටත වක්රවීම, පාර්ශ්වික වක්රණය u හා ටෝර්ෂනය ϑ සමඟ සම්බන්ධ වූවකි.
දෙකෙහිම අග්ර බදින ලද (ϑ=0 සහ ϑ’=0) නම්, මායිම් කොන්දේසි වලින්, Δ=0 මඟින්, පාර්ශ්වීය වංගීභවනයේ කොන්දේසිය ලැබේ
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
λ__l=m__π හි මුල් සමඟ (m=2,4,∙∙∙) සහ පාර්ශවීය වංගු බල සමඟ
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.