התעוותות צדית והתעוותות בפיתול

להקשתת כפיפה המוט, בעת שינוי שיווי המשקל, כפוף במישור עיקרי אחד.

אך יש גם מקרים כאלה של יציבות שבהם המוט, כלומר הקורה, בעת שינוי שיווי המשקל אינו רק מתכופף אלא גם מתפתל (איור 60א). בקורות תופעה זו נקראת התקמרות צדית, ובמוטות לחוצים, אשר בעת ההתקמרות נתונים גם לטורסיה, מדברים על התקמרות בטורסיה.

לשני התופעות חשובה במידה מכרעת מידת הקשיחות נגד פיתול C, כלומר התנגדות לכיפוף C*. על שינוי שיווי־המשקל הקשור בפיתול ניתן לכן להשפיע בראש ובראשונה באמצעים המגבירים את הקשיחות נגד פיתול (צורת חתך מתאימה, מסגרות רוחביות, תמיכה צדית וכו’). מאידך גיסא, מוטות בצורת רצועה בעלי חתך פתוח רגישים במיוחד להתעקמות בעת פיתול.

המשוואה הדיפרנציאלית של קימור צדדי

איור 1a

נניח שלקורה ישרה יש מומנטים אינרציה קבועים ובעלי אי־שוויון גדול מאוד Ix >> Iy. העומס פועל במישור y-z- כך שהקורה תתכופף במישור ראשי זה (u=ϑ=0). הניסיון וכן התיאוריה מראים שמצב שיווי משקל זה יציב תחילה, אך לעומסים גדולים יותר הוא נעשה לא יציב. מצב שיווי המשקל השני הזה קשור לכיפוף רוחבי ב־u ולטורזיה ϑ.

להלן תיגזר המשוואה הדיפרנציאלית עבור קימוט צדדי. המשוואות עבור u ו-ϑ הן הומוגניות. אם גם תנאי השפה הומוגניים, אזי קימוט צדדי של הקורה אפשרי רק עבור ערכי העצמי של הבעיה, כלומר u ו-ϑ נשארים תחילה אפס בקורה הבלתי מופרעת המתוארת לעיל. תנאי הקימוט הצדדי מתקבל — בדומה לקימוט של מוט — אם מציבים כי הדטרמיננטה של המקדמים של משוואות התנאי ההומוגניות עבור קבועי האינטגרציה שווה לאפס. נראה כי גם בקימוט צדדי קיימת נקודת הסתעפות ממשית של שיווי המשקל האלסטי.

איור 1b

באיור 1b מוצג יסוד קורה באורך dz. התוצאות השקולות של המאמצים N1, Q1, M1, וכן העקמומיות κ__1 תלויות בעומס והן גדלים סופיים. Q, M, MD הם אפס במצב שיווי המשקל ההתחלתי, ויהיו שונים מאפס רק כאשר תתרחש התעקמות צדית. הגדלים הסופיים, המתייחסים לתחילת ההתעקמות הצידית, הם אינסופיים בקירוב, כמו גם העיוותים המתאימים κ ו־d__ϑ/dz.

שני החתכים הקיצוניים של היסוד dz נמצאים במישור הנורמלי לציר הכפול-מעוקל של המוט, והם יהיו מסובבים במישורים נורמליים אלה.

מכיוון שכמו במקרה של התעקמות מוט, בראש ובראשונה מעניינת אותנו מידת העומס הקריטי, כלומר תחילת ההתעקמות הצידית, ופחות מידת העיוותים, נוכל להזניח את מכפלות הגדלים Q, M, MD ב־κ או ϑ’ כגדלים מסדר שני קטן. לכן, לצורך פישוט נוסף, נניח גם את העקמומיות הראשית κ1 כזעירה עד אינסוף, והיא תטופל כ־κ ו־ϑ’.

הערה: את השפעת κ__1 יש להעריך גם באופן תיאורטי במקרה מיוחד פשוט (מומנט כיפוף קבוע M כעומס). ברוב הצרכים של ההנדסה האזרחית אפשר להזניח את κ__1. אפשר, למשל, לדמיין כאילו הקורה עבור מקרה העומס הנדון הייתה “מורמת” כך, שעבור העומס הקריטי דווקא κ__1=0.

משיווי המשקל של רכיבי הכוחות בכיוונים ξ, η, ζ ומתנאי המומנטים ביחס לאותם צירים, לאחר ההזנחות האמורות מתקבל

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

מן המשוואות (1c, d ו-b) מתקבל

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

על ידי אלימינציה של Q1 מתוך משוואה (1a) מתקבל

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

מן המשוואה. (1e) יוסר בכך Q, ולאחר מכן u ’’ באמצעות u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

כדי לקבל משוואה דיפרנציאלית עבור ϑ יובאו היחסים הבאים בין מומנטים ועיוותים

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

כאשר B1=EIx ו־B=EIy מציינים את הקשיחות נגד כפיפה של הקורה, C את הקשיחות נגד פיתול, ו־C* את ההתנגדות להתעקמות. בחישובים שלנו להלן נוותר על האיברים עם C* לשם פישוט. אם יש להחיל את המשוואות למשל על פרופילי I, יש להשלים אותן בהתאם. הזנחת האיבר v’’ פירושה אותו דבר כמו ההנחה B1=∞.

אם מבטלים את M ו-MD בעזרת משוואה 4 מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית להתעקלות צד של קורה בעלת חתך קבוע

המשוואה הדיפרנציאלית (5) היא הומוגנית ובסדר רביעי לפי ϑ. M1 היא פונקציה ידועה של z כתלות בעומס.

קורה בעלת מומנט כיפוף קבוע

נניח כי p=N1=0, נוסף לכך Mx=ɱ=const. החתך ללא אגף (דחוס) והקורה ארוכה ביחס לממדי החתך, כך שנוכל לקבוע כי C*=0. אזי משוואה (5) מתפשטת, בשל M1=ɱ, ולכן:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

או בקיצור λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) קורה עם תמיכה במזלג בשני הקצוות

איור. 2

התמיכה ב־z=0 וב־z=l היא בצורת מזלגות (איור 2), המאפשרים שקיעות u ו־v, אך מונעים סיבוב של החתכים הקיצוניים; ϑ=0. מאחר שבכיוון x אין קיבוע (כלומר M=0, או לפי משוואה (4) גם u’’=0), נובע מן המשוואה עבור u’’: MD’=0 ומכאן מן המשוואה (4c) כתנאי שפה שני ϑ’’=0.

הפתרון הכללי של המשוואה (6a) הוא

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

מן תנאי הקצה מתקבל

למערכת הומוגנית זו של משוואות יש:

• פתרון טריוויאלי A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, שאליו מתאים ϑ=0, u’’=0 או u=0, כאשר הקורה אינה מתעקמת הצידה.
• פתרונות עצמיים לפי Δ=0 או _sin λ__l=0. השורשים של תנאי כיפוף צד זה הם λ__l=n__π (עם n=1,2,3,∙∙∙) ומומנטי הסף המתאימים

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

המומנט המזערי של הסטה צידית

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

מתקבל ב-n=1. הפתרון המתאים מתקבל באמצעות משוואה (1f):

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) מקרים אחרים של כיפוף צדי

c) התעוותות צדית עקב מומנט כפיפה וכוח לוחץ

בדוגמה המוצגת באיור 3 מתקבל N1=-D (לחיצה), p=0, ולאחר מכן הוצב C*=0. אזי המשוואה הדיפרנציאלית (5) נעשית פשוטה יותר ונוסחה הוא

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

שבו λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית (9) נתון שוב במשוואה (8), רק שכעת λ מציין ערך אחר.

איור 3

לדוגמה שבאיור 3 חלים, כמו ב־a), תנאי הגבול ϑ=0 ו־ϑ’’=0 עבור z=0 ו־z=l. לפיכך גם משוואות התנאי עבור A1 זהות פורמלית, וגם תנאי ההתעקמות הצידית Δ=sin λl=0. העומס הקריטי מקיים את היחס λl=nπ (n=1,2,3) והערך המינימלי הוא

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

עבור D=0 מתקבל מכאן מומנט הסטייה הצידית לפי משוואה (8c), ועבור עומס לחיצה טהור (ɱ=0) מתקבל כוח הסטייה של Euler- _DK=B(π/l)_2.

באיור 3 המקרה המוצג יש לכנות ככפיפה אקסצנטרית במישור y-z. לפיכך המקרה הנבדק לעיל של יציבות הוא התעקמות מחוץ למישור הכפיפה, הקשורה לכפיפה צדית u ולטורסיה ϑ.

אם שני הקצוות מהודקים (ϑ=0 ו־ϑ’=0) אזי מן תנאי השפה, בעזרת Δ=0, מתקבל התנאי של כיפוף צידי

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

עם השורשים λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) ועם כוחות ההתעקלות הצדית

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.