Par izlieci lieces laikā stienis, mainoties līdzsvaram, ir saliekts vienā galvenajā plaknē.
Taču ir arī tādi stabilitātes gadījumi, kuros stienis, resp. sija līdzsvara maiņas laikā kļūst ne tikai saliekts, bet arī savīts (att. 60a). Attiecībā uz balstiem šo parādību sauc par sānu izlieci, bet attiecībā uz spiedē slogotiem stieņiem, kuri izlieces laikā ir pakļauti arī vērpei, runā par izlieci vērpes dēļ.
Abām parādībām izšķiroša nozīme ir pretestības pret vērpi lielumam C, attiecīgi pretestībai pret izliekšanos C*. Uz līdzsvara izmaiņām, kas saistītas ar vērpi, tāpēc pirmām kārtām var iedarboties ar pasākumiem, kas palielina pretestību pret savērpšanos (atbilstoša šķērsgriezuma forma, šķērsrāmji, sānu atbalsts utt.). No otras puses, stieņi lentes formā ar atvērtu šķērsgriezumu ir īpaši jutīgi pret izlocīšanos vērpes laikā.
Diferenciālvienādojums sānu izliecei
Att. 1a
Pieņemsim, ka taisnai sijai ir konstanti inerces momenti, kuru lielumi ir ļoti nevienādi: Ix >> Iy. Slodze atrodas y-z-plaknē, tā ka sija tiks saliekta šajā galvenajā plaknē (u=ϑ=0). Pieredze, tāpat kā teorija, rāda, ka šis līdzsvara stāvoklis sākumā ir stabils, bet pie lielākām slodzēm kļūst nestabils. Šis otrais līdzsvara stāvoklis ir saistīts ar šķērsvirziena lieci u un ar vērpi ϑ.
Tālāk tiks izveidots diferenciālvienādojums sānu izliecei. Vienādojumi u un ϑ ir homogi. Ja arī kontūrnosacījumi ir homogi, tad sijas sānu izliekšanās ir iespējama tikai problēmas paštvērtībām, t. i., u un ϑ pie iepriekš aprakstītās netraucētās sijas vispirms paliek nulle. Sānu izlieces nosacījums tiek iegūts — līdzīgi kā stieņa izlieces gadījumā —, ja nosaka, ka homogēno nosacījumu vienādojumu koeficientu determinantam integrācijas konstantes ir vienāds ar nulli. Redzēsim, ka arī pie sānu izlieces pastāv īsts elastiskā līdzsvara atzarojuma punkts.
Att. 1b
Att. 1b attēlots sijas elements garumā dz. Spriegumu rezultantes N1, Q1, M1, kā arī izliekums κ__1 ir atkarīgi no slodzes un ir galīgas lieluma vērtības. Q, M, MD sākotnējā līdzsvara stāvoklī ir nulle, un no nulles tie atšķirsies tikai tad, kad iestāsies sānu izliece. Galīgās lieluma vērtības, kas attiecas uz sānu izlieces sākumu, ir bezgalīgi mazas, tāpat kā attiecīgās deformācijas κ un d__ϑ/dz.
Abi elementa dz gala šķērsgriezumi atrodas normālajā plaknē pret stieņa dubulti liekto asi un šajās normālajās plaknēs būs savērpti.
Tā kā mūs — tāpat kā stieņa izlocīšanās gadījumā — pirmām kārtām interesē kritiskās slodzes lielums, t. i., sānu izlocīšanās sākums, nevis deformāciju lielums, tad lielumus Q, M, MD reizē ar κ vai ϑ’ varam neņemt vērā kā otrās kārtas mazas lielumus. Tāpēc tālākai vienkāršošanai arī galveno izliekumu κ1 pieņemsim kā bezgalīgi mazu un to apstrādāsim tāpat kā κ un ϑ’.
Piezīme: ietekme no κ__1 arī teorētiski jānovērtē vienkāršā īpašā gadījumā (konstants lieces moments M kā slodze). Lielākajā daļā būvtehnikas vajadzību κ__1 var neņemt vērā. Var, piemēram, iedomāties, ka sija attiecīgajam slodzes gadījumam ir tik „pacelta”, ka kritiskajai slodzei tieši κ__1=0.
No spēku komponentu līdzsvara virzienos ξ, η, ζ un momentu nosacījumiem attiecībā pret tām pašām asīm pēc minētās neievērošanas iegūst
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
No vienādojumiem (1c, d un b) iegūst
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Izslēdzot Q1 no vienādojuma (1a), iegūst
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
No vien. (1e) tādējādi tiks izslēgts Q, pēc tam u ’’ ar u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Lai iegūtu diferenciālvienādojumu ϑ, ieviesīs šādas attiecības starp momentiem un deformācijām
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
kur ar B1=EIx un B=EIy apzīmē sijas lieces stingumu, C — vērpes stingumu, bet C* — izliekšanās pretestību. Turpmākajos aprēķinos, lai vienkāršotu, locekļus ar C* neņemsim vērā. Ja vienādojumi jāpiemēro, piemēram, I profiliem, tie attiecīgi jāpapildina. Locekļa v’’ neievērošana nozīmē to pašu, ko pieņēmums B1=∞.
Ja M un MD eliminē, izmantojot vien. 4, iegūst sijas ar konstantu šķērsgriezumu sānsvārstīšanās diferenciālvienādojumu
Diferenciālvienādojums (5) ir homogēns un ceturtās kārtas pēc ϑ. M1 ir zināma funkcija no z atkarībā no slodzes.
Sija ar nemainīgu lieces momentu
Lai būtu p=N1=0, turklāt Mx=ɱ=const. Šķērsgriezums ir bez flanšes (saspiests), un sija ir gara attiecībā pret šķērsgriezuma izmēriem, tāpēc varam pieņemt, ka C*=0. Tad vien. (5) vienkāršojas, jo M1=ɱ, un ir:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
vai ar saīsinājumu λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Sija ar dakšveida balstu abos galos
att. 2
Balsts pie z=0 un z=l ir dakšu veidā (att. 2), kas ļauj deformācijas u un v, bet neļauj galējo šķēlumu pagriešanos; ϑ=0. Tā kā virzienā x nav iespīlējuma (t.i. M=0, vai saskaņā ar vien. (4) arī u’’=0), no vien. par u’’: MD’_=0 un tādējādi no vien. (4c) izriet kā otrs robežnosacījums ϑ’’=0.
Vienādojuma vispārīgais risinājums (6a) ir
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
No kontūras nosacījumiem iegūst
Šai homogēnajai vienādojumu sistēmai ir:
- Triviāls risinājums A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, kam atbilst ϑ=0, u’’=0 vai u=0, pie kam sija sāniski neizliecas.
- Pašvērtības risinājumi pēc Δ=0 vai sin λ__l=0. Šī sānu izlieces nosacījuma saknes ir λ__l=n__π (ar n=1,2,3,∙∙∙) un attiecīgās kritiskās momentslodzes
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Mazākais sāniski izliekšanās moments
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
rodas pie n=1. Atbilstošais risinājums ir, izmantojot vien. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Citi sānu izliekuma gadījumi
c) Sānliekšanās lieces momenta un spiedoša spēka iedarbības dēļ
Piemēram, kas parādīts att. 3, ir N1=-D (spiediens), p=0, pēc tam tika pieņemts C*=0. Tad diferenciālvien. (5) vienkāršojas un ir šāda
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
kur λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Diferenciālvienādojuma risinājums (9) atkal ir dots vien. (8), tikai tagad λ apzīmē citu vērtību.
Att. 3
Piemēram, att. 3 tāpat kā a) gadījumā ir robežnosacījumi ϑ=0 un ϑ’’=0 pie z=0 un z=l. Tāpēc arī nosacījumu vienādojumi priekš A1 ir formāli vienādi, kā arī sānu izlieces nosacījums Δ=sin λl=0. Kritiskā slodze apmierina sakarību λl=nπ (n=1,2,3) un mazākā vērtība ir
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Pie D=0 no tā iegūst sānu izlieces momentu pēc vien. (8c), un pie tīri spiedošas slodzes (ɱ=0) Eilera- izlieces spēku _DK=B(π/l)_2.
Att. 3 attēlotais gadījums jāapzīmē kā ekscentriska liece plaknē y-z. Iepriekš aplūkotais stabilitātes gadījums tātad ir locīšanās ārpus lieces plaknes, kas saistīta ar sānu lieci u un vērpi ϑ.
Ja abi gali ir iespiesti (ϑ=0 un ϑ’=0), tad no robežnosacījumiem, izmantojot Δ=0, iegūst sānu izlieces nosacījumu
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
ar saknēm λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) un sānsvārstīšanās spēkiem
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.