За извивање при свиткување прачката при промена на рамнотежата е свиткана во една главна рамнина.
Но има и такви случаи на стабилност кај кои штапот, одн. гредата при промена на рамнотежата стануваат не само свиткани туку и извртувани (сл. 60а). Кај носачите оваа појава се нарекува странично извиткување, а кај притиснати штапови, кои при извиткувањето се изложени и на торзија, се зборува за извиткување при торзија.
За двата појави од одлучувачко значење е големината на крутоста против торзија C, одн. отпорот на виткање C*. На промената на рамнотежата поврзана со торзија може, затоа, пред сè да се влијае со мерки што ја зголемуваат крутоста против извртување (соодветен облик на пресекот, попречни рамки, странично потпирање итн.). Од друга страна, прачките во форма на лента со отворен пресек се особено чувствителни на извивање при торзија.
Диференцијална равенка за странично извиткување
Сл. 1а
Нека права греда има константни моменти на инерција со многу нееднакви големини Ix >> Iy. Оптоварувањето лежи во y-z-рамнината така што гредата ќе биде свиткана во оваа главна рамнина (u=ϑ=0). Искуството, како и теоријата, покажуваат дека оваа рамнотежна положба најпрво е стабилна, но за поголеми оптоварувања станува лабилна. Оваа втора рамнотежна положба е поврзана со попречно свиткување во u и со торзија ϑ.
Подолу ќе биде изведена диференцијалната равенка за странично извикување. Равенките за u и ϑ се хомогени. Ако и контурните услови се хомогени, тогаш страничното извикување на гредата е возможно само за сопствените вредности на проблемот, т.е. u и ϑ прво остануваат нула кај горе опишаната греда без нарушување. Условот за странично извикување се добива – слично како кај извикувањето на прачка – ако се постави дека детерминантата на коефициентите на хомогените условни равенки за интеграциските константи е еднаква на нула. Ќе видиме дека и при страничното извикување постои вистинска точка на разгранување на еластичната рамнотежа.
Сл. 1b
На сл. 1б е прикажан елемент на греда со должина dz. Резултантите на напрегањата N1, Q1, M1, како и закривеноста κ__1 зависат од оптоварувањето и се конечни големини. Q, M, MD се нула во првобитната рамнотежна положба, а ќе се разликуваат од нула дури кога ќе настапи странично извивање. Крајните величини, што се однесуваат на почетокот на страничното извивање, се бесконечно мали, како и соодветните деформации κ и d__ϑ/dz.
Двата крајни пресека на елементот dz лежат во нормална рамнина на двојно закривената оска на прачката и ќе бидат извиткани во овие нормални рамнини.
Бидејќи нас – како и кај извивањето на прачка – првенствено нè интересира големината на критичното оптоварување, значи почетокот на страничното извивање, а помалку големината на деформациите, можеме производите на величините Q, M, MD со κ или ϑ’ да ги занемариме како мали величини од втор ред. Затоа, заради натамошно поедноставување, и главната закривеност κ1 ќе ја претпоставиме како бескрајно мала и ќе се третира како κ и ϑ’.
Напомена: Влијанието од κ__1 треба и теоретски да се процени во едноставен специјален случај (константен момент на свиткување M како оптоварување). Во повеќето потреби на градежната техника може да се занемари κ__1. Може, на пример, да си замислиме како гредата за конкретниот случај на оптоварување е толку „надвисната“ што за критичното оптоварување токму κ__1=0.
Од рамнотежата на компонентите на силите во насоките ξ, η, ζ и моментните услови во однос на истите тие оски, по споменатите занемарувања се добива
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Од рав. (1c, d и b) се добива
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Со елиминирање на Q1 од рав. (1a) се добива
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Од равн. (1e) со тоа ќе биде елиминирано Q, потоа u ’’ преку u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
За да се добие диференцијална равенка за ϑ ќе се воведат следниве односи меѓу моментите и деформациите
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
каде што означува B1=EIx и B=EIy крутост против свиткување на гредата, C крутост против извртување, а C* отпорност на искривување. Во нашите понатамошни пресметки ќе ги изоставиме членовите со C* заради поедноставување. Доколку равенките треба да се применат, на пр. на I-профили, тогаш е потребно да се дополнат на соодветен начин. Занемарувањето на членот v’’ значи исто што и претпоставката B1=∞.
Ако се елиминираат M и MD со помош на едн. 4 се добива диференцијална равенка за странично извивање на греда со константен пресек
Диференцијалната равенка (5) е хомогена и од четврт ред по ϑ. M1 е позната функција од z во зависност од оптоварувањето.
Греда со константен момент на свиткување
Нека биде p=N1=0, освен тоа Mx=ɱ=const. Пресекот е без фланша (збиен) и гредата е долга во однос на димензиите на попречниот пресек, така што можеме да ставиме дека C*=0. Тогаш се поедноставува рав. (5), поради M1=ɱ, па е:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
или со кратенката λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Greda so viljuškast oslonac na dvata kraja
Сл. 2
Потпирањето кај z=0 и z=l е во вид на вилушки (сл. 2), кои овозможуваат прогиби u и v, но го спречуваат вртењето на крајните пресеци; ϑ=0. Бидејќи во правец x нема вклештување (т.е. M=0, или според рав. (4) исто така u’’=0), следува од рав. за u’’: MD’=0 и со тоа од рав. (4c) како втор граничен услов ϑ’’=0.
Општото решение на равн. (6a) е
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Од контурните услови се добива
Овој хомоген систем равенки има:
- Тривијално решение A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, на што одговара ϑ=0, u’’=0 или u=0, при што гредата не се извива странично.
- Сопствени решенија според Δ=0 или sin λ__l=0. Корените на овој услов за странично извивање се λ__l=n__π (со n=1,2,3,∙∙∙) и соодветните критични моментни оптоварувања
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Најмал момент на странично искривување
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
настанува на n=1. Соодветното решение се добива со примена на рав. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Други случаи на странично искривување
c) Странично извивање поради момент на свиткување и притискачка сила
За примерот прикажан на сл. 3 е N1=-D (притисок), p=0, потоа е ставено C*=0. Тогаш диференцијалната једн. (5) се поедноставува и гласи
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
каде што λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Решението на диференцијалната равенка (9) е дадено повторно со рав. (8), само што λ сега означува друга вредност.
Сл.3
За примерот од сл. 3 важат, како и за а), контурните услови ϑ=0 и ϑ’’=0 за z=0 и z=l. Според тоа и условните равенки за A1 се формално исти, а исто така и условот на странично извивање Δ=sin λl=0. Критичното оптоварување го задоволува односот λl=nπ (n=1,2,3) и најмалата вредност е
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
За D=0 се добива оттаму момент на странично извикување според рав. (8c) и за чисто притисно оптоварување (ɱ=0) Euler-овата сила на извикување _DK=B(π/l)_2.
На сл. 3 прикажаниот случај треба да се означи како ексцентрично свиткување во рамнината y-z. Претходно разгледуваниот случај на стабилност е, значи, искривување надвор од рамнината на свиткување поврзано со странично свиткување u и торзија ϑ.
Ако се двата краја вклештени (ϑ=0 и ϑ’=0) тогаш од контурните услови, со помош на Δ=0, се добива условот на странично извивање
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
со корени λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) и сили на странично извивање
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.