Pour le flambement par flexion, la barre est, lors du changement d’équilibre, fléchie dans un seul plan principal.
Mais il existe aussi de tels cas de stabilité dans lesquels la tige, respectivement la poutre, lors du changement d’équilibre, ne sont pas seulement fléchies mais aussi vrillées (fig. 60a). Pour les porteurs, ce phénomène s’appelle flambement latéral, tandis que pour les barres comprimées, qui lors du flambement sont également soumises à la torsion, on parle de flambement par torsion.
Pour les deux phénomènes, la grandeur déterminante est la rigidité en torsion C, respectivement la résistance au gauchissement C*. Le changement d’équilibre associé à la torsion peut donc être influencé en premier lieu par des mesures qui augmentent la rigidité à la torsion (forme appropriée de la section, cadres transversaux, contreventement latéral, etc.). D’autre part, les barres en forme de bande à section ouverte sont particulièrement sensibles au flambage en torsion.
Équation différentielle du flambement latéral
Fig. 1a
Supposons qu’une poutre droite ait des moments d’inertie constants de valeurs très inégales Ix >> Iy. La charge se trouve dans le plan y-z-, de sorte que la poutre se courbera dans ce plan principal (u=ϑ=0). L’expérience comme la théorie montrent que cet état d’équilibre est d’abord stable, mais qu’il devient instable pour des charges plus élevées. Ce second état d’équilibre est lié à la flexion transversale de u et à la torsion ϑ.
Ci-dessous sera établie l’équation différentielle du flambement latéral. Les équations pour u et ϑ sont homogènes. Si les conditions aux contours sont elles aussi homogènes, alors le flambement latéral de la poutre n’est possible que pour les valeurs propres du problème, c’est-à-dire que u et ϑ restent d’abord nuls pour la poutre non perturbée décrite ci-dessus. La condition de flambement latéral s’obtient — de même que pour le flambement d’une barre — en posant égale à zéro le déterminant des coefficients des équations conditionnelles homogènes pour les constantes d’intégration. Nous verrons qu’en cas de flambement latéral existe également un véritable point de bifurcation de l’équilibre élastique.
Fig. 1b
Sur la fig. 1b est représenté l’élément de poutre de longueur dz. Les résultantes des contraintes N1, Q1, M1, ainsi que la courbure κ__1 dépendent de la charge et sont de grandeur finie. Q, M, MD sont nuls dans la position d’équilibre initiale et ne deviendront différents de zéro que lorsque le flambement latéral se produira. Les grandeurs limites, qui se rapportent au début du flambement latéral, sont infiniment petites, tout comme les déformations correspondantes κ et d__ϑ/dz.
Les deux sections extrêmes de l’élément dz se trouvent dans des plans normaux à l’axe à double courbure de la barre et seront tordues dans ces plans normaux.
Comme, de même que pour le flambement d’une barre, ce qui nous intéresse au premier chef est la valeur de la charge critique, c’est-à-dire le début du flambement latéral, et moins la grandeur des déformations, nous pouvons négliger les produits des grandeurs Q, M, MD avec κ ou ϑ’ comme de petites grandeurs du second ordre. Nous supposerons donc, afin de simplifier encore, que la courbure principale κ1 est infinitésimale et qu’elle sera traitée comme κ et ϑ’.
Remarque : l’influence de κ__1 doit également être évaluée théoriquement dans un cas particulier simple (moment de flexion constant M comme charge). Dans la plupart des applications de la technique du bâtiment, κ__1 peut être négligé. On peut, par exemple, imaginer que la poutre, pour le cas de charge considéré, est tellement « cambrée » que, pour la charge critique, κ__1=0.
À partir de l’équilibre des composantes des forces selon les directions ξ, η, ζ et des conditions de moment par rapport à ces mêmes axes, on obtient, après les simplifications mentionnées
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
À partir des équations (1c, d et b), on obtient
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
En éliminant Q1 de l’équation (1a), on obtient
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
De l’équation (1e), Q sera ainsi éliminé, puis u ’’ au moyen de u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Pour obtenir l’équation différentielle de ϑ, on introduira les relations suivantes entre les moments et les déformations
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
où désigne B1=EIx et B=EIy les rigidités en flexion de la poutre, C la rigidité en torsion, et C* la résistance au gauchissement. Dans nos calculs ultérieurs, nous omettrons les termes avec C* afin de simplifier. Si les équations doivent être appliquées, par exemple, à des profilés en I, il faut alors les compléter de manière appropriée. Négliger le terme v’’ revient à supposer B1=∞.
Si l’on élimine M et MD au moyen de l’équ. 4, on obtient l’équation différentielle du flambement latéral d’une poutre à section constante
L’équation différentielle (5) est homogène et du quatrième ordre par rapport à ϑ. M1 est une fonction connue de z en fonction de la charge.
Poutre à moment de flexion constant
Soit p=N1=0, en outre Mx=ɱ=const. La section est sans semelle (compacte) et la poutre est longue par rapport aux dimensions de la section transversale, de sorte que nous pouvons poser C*=0. L’équation (5) se simplifie alors, en raison de M1=ɱ, et l’on a :
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
ou avec l’abréviation λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Poutre avec appui à chape aux deux extrémités
Fig. 2
L’appui en z=0 et en z=l est réalisé sous forme de fourches (fig. 2), qui permettent les flèches u et v, mais empêchent la rotation des sections d’extrémité ; ϑ=0. Comme il n’y a aucun encastrement dans la direction x (c.-à-d. M=0, ou, selon l’équ. (4), également u’’=0), il résulte de l’équation pour u’’ : MD’=0 et donc, d’après l’équ. (4c), comme deuxième condition aux limites ϑ’’=0.
La solution générale de l’équation (6a) est
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
On obtient à partir des conditions de contour
Ce système homogène d’équations a :
- Solution triviale A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, à laquelle correspondent ϑ=0, u’’=0 ou u=0, la poutre ne flambant pas latéralement.
- Solutions propres selon Δ=0 ou sin λ__l=0. Les racines de cette condition de flambage latéral sont λ__l=n__π (avec n=1,2,3,∙∙∙) et les charges critiques de moment correspondantes
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Moment minimal de flambement latéral
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
se produit pour n=1. La solution correspondante s’obtient par l’utilisation de l’équation (1f) :
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Autres cas de flambement latéral
c) Flambement latéral dû au moment fléchissant et à l’effort de compression
Pour l’exemple montré à la fig. 3, N1=-D (compression), p=0, puis C*=0 a été posé. Alors l’équation différentielle (5) se simplifie et s’écrit
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
où λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
La solution de l’équation différentielle (9) est de nouveau donnée par l’équation (8), mais λ désigne maintenant une autre valeur.
Fig. 3
Pour l’exemple de la fig. 3, les conditions de contour sont, comme pour a), ϑ=0 et ϑ’’=0 pour z=0 et z=l. En conséquence, les équations conditionnelles pour A1 sont également formellement identiques, de même que la condition de flambement latéral Δ=sin λl=0. La charge critique satisfait la relation λl=nπ (n=1,2,3) et la plus petite valeur est
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Pour D=0, on obtient de là le moment de flambement latéral selon l’équation (8c) et, pour une charge purement comprimante (ɱ=0), la force de flambement d’Euler _DK=B(π/l)_2.
Dans la fig. 3, le cas représenté doit être désigné comme une flexion excentrée dans le plan y-z. Le cas de stabilité examiné ci-dessus est donc un déversement hors du plan de flexion lié à la flexion latérale u et à la torsion ϑ.
Si les deux extrémités sont encastrées (ϑ=0 et ϑ’=0), alors, à partir des conditions de contour, à l’aide de Δ=0, on obtient la condition de flambement latéral
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
avec des racines λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) et des forces de flambement latéral
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.