eğilmede burkulma için çubuk, denge değişimi sırasında bir ana düzlemde eğilir.
Ancak öyle stabilite durumları da vardır ki, bu durumlarda çubuk, yani kiriş denge değişimi sırasında yalnızca eğilmekle kalmaz, aynı zamanda burulur da (şek. 60a). Taşıyıcılarda bu olaya yan burkulma, basınç altındaki çubuklarda ise burkulma sırasında ayrıca burulmaya da maruz kaldıklarından burulmalı burkulma denir.
Her iki olay için de burulmaya karşı rijitlik C değeri, yani eğrilmeye karşı direnç C* belirleyicidir. Bu nedenle burulma ile bağlantılı denge değişimi öncelikle burulmaya karşı rijitliği artıran önlemlerle (uygun kesit şekli, enine çerçeveler, yanal destekleme vb.) etkilenebilir. Öte yandan, açık kesitli şerit biçimindeki çubuklar burulma sırasında burkulmaya özellikle duyarlıdır.
Yan burkulma için diferansiyel denklem
Şek. 1a
Düz bir kirişin atalet momentleri sabit ve çok farklı büyüklükte olsun Ix >> Iy. Yük y-z-düzleminde yer aldığından kiriş bu asal düzlem içinde eğilecektir (u=ϑ=0). Deneyim de teori de bu denge konumunun başlangıçta kararlı olduğunu, ancak daha büyük yüklerde kararsız hale geldiğini göstermektedir. Bu ikinci denge konumu enine eğilme u ve burulma ϑ ile ilişkilidir.
Aşağıda yanal burkulma için diferansiyel denklem türetilecektir. u ve ϑ denklemleri homojendir. Eğer sınır koşulları da homojen ise, kirişin yanal burkulması yalnızca problemin özdeğerleri için mümkündür; yani yukarıda tanımlanan bozulsuz kirişte u ve ϑ başlangıçta sıfır kalır. Yanal burkulma koşulu, çubuk burkulmasında olduğu gibi, integrasyon sabitleri için homojen koşul denklemlerinin katsayı determinantının sıfıra eşit alınmasıyla elde edilir. Yanal burkulmada da elastik denge için gerçek bir çatallanma noktası bulunduğunu göreceğiz.
Şek. 1b
Şek. 1b’de dz uzunluğunda bir kiriş elemanı gösterilmiştir. Gerilme bileşkeleri N1, Q1, M1 ile eğrilik κ__1 yüke bağlıdır ve sonlu büyüklüklerdir. Q, M, MD ilk denge konumunda sıfırdır ve ancak yanal burkulma meydana geldiğinde sıfırdan farklı olacaktır. Yanal burkulmanın başlangıcına karşılık gelen sonlu büyüklükler sonsuz küçüktür; buna karşılık gelen şekil değişimleri κ ve d__ϑ/dz de böyledir.
Elemanın dz olan iki uç kesiti, çubuğun çift eğrili eksenine normal düzlemde yer alır ve bu normal düzlemlerde burulacaktır.
Çubuğun burkulmasında olduğu gibi, burada da öncelikle kritik yükün büyüklüğü, yani yanal burkulmanın başlangıcı, deformasyonların büyüklüğünden daha çok ilgimizi çektiğinden, Q, M, MD büyüklüklerinin κ veya ϑ’ ile çarpımlarını ikinci dereceden küçük büyüklükler olarak ihmal edebiliriz. Bu nedenle, daha fazla basitleştirme amacıyla ana eğrilik κ1’i de sonsuz küçük kabul edeceğiz ve bu, κ ve ϑ’ gibi ele alınacaktır.
Not: κ__1’nin etkisi, basit bir özel durumda (yük olarak sabit eğilme momenti M) teorik olarak da değerlendirilmelidir. Yapı tekniğinin çoğu uygulamasında κ__1 ihmal edilebilir. Örneğin, kirişi ilgili yükleme durumu için öyle “kabarıklaştırılmış” olarak düşünebiliriz ki kritik yük için tam κ__1=0 olur.
ξ, η, ζ doğrultularındaki kuvvet bileşenlerinin dengesi ve aynı eksenlere göre moment koşullarından, yukarıda belirtilen ihmalden sonra elde edilir
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Denk. (1c, d ve b) den elde edilir
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Q1 elimine edilerek denk. (1a) elde edilir
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Buradan denk. (1e) içindeki Q elenecektir, ardından u ’’ ise u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ yoluyla bulunacaktır.
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
ϑ için diferansiyel denklemi elde etmek üzere momentler ve deformasyonlar arasındaki aşağıdaki ilişkiler kurulacaktır
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
burada B1=EIx ve B=EIy kirişin eğilmeye karşı rijitliğini, C burulmaya karşı rijitliği, C* ise eğrilmeye karşı direnci belirtir. Sonraki hesaplarımızda sadeleştirme amacıyla C* terimli ifadeleri çıkaracağız. Denklemler örneğin I profillerine uygulanacaksa, bunların uygun biçimde tamamlanması gerekir. v’’ teriminin ihmal edilmesi, B1=∞ varsayımıyla aynıdır.
M ve MD, 4 denklemi yardımıyla elimine edilirse, sabit kesitli kirişin yatay burkulması için diferansiyel denklem elde edilir
Diferansiyel denklem (5) ϑ bakımından homojen ve dördüncü derecedendir. M1, yüke bağlı olarak z’nin bilinen bir fonksiyonudur.
Sabit eğilme momentli kiriş
p=N1=0 olsun; ayrıca Mx=ɱ=const. Kesit flanşsız (kompakt) ve kiriş de enine kesit boyutlarına göre uzun olduğundan C*=0 kabul edebiliriz. O zaman denk. (5), M1=ɱ nedeniyle basitleşir ve:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
veya kısaltmasıyla λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Her iki uçta çatal mesnetli kiriş
Şek. 2
z=0 ve z=l noktalarındaki mesnetleme çatal biçimindedir (şek. 2), bu da u ve v eğilmelerine izin verir, ancak uç kesitlerin dönmesini engeller; ϑ=0. x yönünde ankastreleme olmadığından (yani M=0, ya da denklem (4)’e göre u’’=0), u’’ için denklemden: MD’_=0 ve böylece denklem (4c)’den ikinci sınır koşulu olarak ϑ’’=0 elde edilir.
Denklem (6a)’nın genel çözümü şöyledir
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Kontur koşullarından elde edilir
Bu homojen denklem sistemi şunlara sahiptir:
- Trivial çözüm A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, buna karşılık ϑ=0, u’’=0 ya da u=0, bu durumda kiriş yana doğru burkulmaz.
- Δ=0 ya da sin λ__l=0. Bu yanal burkulma koşulunun kökleri λ__l=n__π’dir ( n=1,2,3,∙∙∙ ile) ve buna karşılık gelen kritik moment yükleri
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Yanal burkulmanın en küçük momenti
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
n=1 değerinde ortaya çıkar. Uygun çözüm denk. (1f) kullanılarak elde edilir:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Diğer yanal burkulma durumları
c) Eğilme momenti ve basınç kuvveti nedeniyle yanal burkulma
Şek. 3’de gösterilen örnek için N1=-D (basınç), p=0, ardından C*=0 alınmıştır. O zaman diferansiyel denk. (5) sadeleşir ve şöyle olur
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
burada λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Diferansiyel denklemin çözümü (9) yine denk. (8) ile verilmiştir, yalnız burada λ başka bir değeri göstermektedir.
Şek. 3
Şek. 3 örneği için, a) durumundaki gibi, ϑ=0 ve ϑ’’=0 kontur koşulları z=0 ve z=l için geçerlidir. Buna göre A1 için koşul denklemleri de biçimsel olarak aynıdır; yan burkulma koşulu da Δ=sin λl=0 şeklindedir. Kritik yük, λl=nπ (n=1,2,3) ilişkisini sağlar ve en küçük değer
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0 için buradan yan burkulma momenti, denklem (8c) uyarınca elde edilir ve yalnız basınç yükü için (ɱ=0) Euler-burkulma kuvveti _DK=B(π/l)_2.
Şek. 3’de gösterilen durum, y-z düzleminde eksantrik eğilme olarak adlandırılmalıdır. Daha önce ele alınan stabilite durumu ise, dolayısıyla, u yan eğilmesi ve ϑ burulması ile bağlantılı eğilme düzlemi dışına burkulmadır.
Her iki uç ankastre ise (ϑ=0 ve ϑ’=0), o zaman kontur koşullarından, Δ=0 yardımıyla, yan burkulma koşulu elde edilir
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
m=2,4,∙∙∙) kökleri ve yatay burkulma kuvvetleriyle
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.