Kwa kupinda kwa kukunjamana fimbo, wakati usawaziko unabadilika, hupinda katika ndege moja kuu.
Lakini pia kuna visa vya uthabiti ambavyo kwao fimbo, yaani boriti, wakati wa mabadiliko ya usawa hupindika tu bali pia hupindishwa (kielelezo 60a). Kwa vihimili jambo hili huitwa kupinda kwa upande, kwa vijiti vilivyo chini ya shinikizo ambavyo wakati wa kupinda pia huathiriwa na msokoto, huzungumziwa kupinda kwa msokoto.
Kwa matukio yote mawili, umuhimu wa kiwango cha ugumu dhidi ya msokoto C, yaani upinzani dhidi ya kupinda C*, ni wa maamuzi. Mabadiliko ya usawaziko yanayohusiana na msokoto yanaweza kwa hiyo kuathiriwa kwanza kabisa kwa hatua zinazoongeza ugumu dhidi ya kukunjuka (umbo linalofaa la sehemu, fremu za msalaba, kuhimili kwa upande, n.k.). Kwa upande mwingine, fimbo zenye umbo la utepe zenye sehemu wazi ni nyeti hasa kwa kupinda wakati wa msokoto.
Mlinganyo wa tofauti kwa kujikunja kwa upande
Mch. 1a
Tuchukulie boriti ya moja kwa moja yenye moments za ajizi zisizo sawa sana kwa ukubwa Ix >> Iy. Mzigo uko katika ndege y-z-hivyo kwamba boriti itapinda katika ndege hii kuu (u=ϑ=0). Uzoefu na pia nadharia zinaonyesha kwamba hali hii ya msawazo mwanzoni ni thabiti, lakini kwa mizigo mikubwa inakuwa dhaifu. Hali hii ya pili ya msawazo inahusiana na kupinda kwa upande na na torsheni ϑ.
Hapa chini litatolewa tena mlinganyo wa tofauti kwa ajili ya kupinda pembeni. Milinganyo ya u na ϑ ni ya homojeni. Iwapo pia masharti ya mpaka ni ya homojeni, basi kupinda pembeni kwa boriti kunawezekana tu kwa thamani mahususi za tatizo, yaani u na ϑ hubaki awali sifuri kwa boriti isiyovurugwa iliyoelezwa hapo juu. Sharti la kupinda pembeni hupatikana – sawa na ilivyo kwa kupinda kwa fimbo – ikiwa determinant ya mgawo wa milinganyo ya masharti ya homojeni kwa ajili ya thabiti za ujumuishaji inawekwa sawa na sifuri. Tutaona kwamba hata katika kupinda pembeni pia kuna nukta halisi ya matawi ya uwiano-elastiki.
Kielelezo 1b
Kwenye sl. 1b imeonyeshwa kipengele cha boriti chenye urefu dz. Vipokezi vya mivutano N1, Q1, M1, pamoja na mkunjo κ__1 hutegemea mzigo na ni viwango vya mwisho. Q, M, MD ni sifuri katika nafasi ya awali ya usawa, na vitakuwa tofauti na sifuri tu wakati kupinda kwa pembeni kutatokea. Viwango vya mwisho vinavyohusiana na mwanzo wa kupinda kwa pembeni ni vidogo mno, pamoja na mabadiliko yanayolingana κ na d__ϑ/dz.
Sehemu zote mbili za mwisho za kipengele dz ziko katika ndege ya kawaida kwenye mhimili uliopinda maradufu wa fimbo na zitapindishwa katika ndege hizi za kawaida.
Kwa kuwa – kama ilivyo kwa kupinda kwa kijiti – kimsingi kinachotuvutia ni ukubwa wa mzigo wa kikomo, yaani mwanzo wa kupinda kando, na si sana ukubwa wa mabadiliko, basi tunaweza kupuuza bidhaa za ukubwa Q, M, MD na κ au ϑ’ kama viwango vidogo vya daraja la pili. Kwa hiyo, kwa ajili ya urahisishaji zaidi, pia tutachukulia mkunjo mkuu κ1 kuwa mdogo mno na utashughulikiwa kama κ na ϑ’.
Kumbuka: Athari ya κ__1 inapaswa pia kutathminiwa kikanuni katika hali rahisi maalum (momenti ya kupinda ya kudumu M kama mzigo). Katika mahitaji mengi ya uhandisi wa ujenzi κ__1 inaweza kupuuzwa. Tunaweza, kwa mfano, kufikiria kana kwamba boriti kwa kesi husika ya mzigo ilikuwa imeinuliwa hivyo kwamba kwa mzigo wa kikomo ni hasa κ__1=0.
Kutokana na usawaziko wa vipengele vya nguvu katika mwelekeo ξ, η, ζ na masharti ya momenti kuhusiana na mhimili huohuo, baada ya kupuuza zilizotajwa hupatikana
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Kutokana na milinganyo (1c, d na b) hupatikana
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Kwa kuondoa Q1 kutoka katika eq. (1a) hupatikana
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Kutoka kwa mlinganyo. (1e) Q itaondolewa hivyo, kisha u ’’ kupitia u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Ili kupata mlinganyo wa tofauti kwa ϑ, uhusiano ufuatao kati ya momenti na mgeuko utawekwa
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
ambapo inaashiria B1=EIx na B=EIy ugumu dhidi ya kupinda kwa boriti, C ugumu dhidi ya kukunjuka, na C* upinzani dhidi ya kupinda. Katika hesabu zetu za baadaye tutaacha istilahi zenye C* kwa ajili ya kurahisisha. Je, ikiwa milinganyo inapaswa kutumika, kwa mfano, kwa profaili za I, basi ni lazima ziongezwe kwa njia inayofaa. Kupuuza istilahi v’’ kunamaanisha sawa na dhana ya B1=∞.
Ikiwa M na MD vitaondolewa kwa kutumia eq. 4 hupatikana mlinganyo tofauti wa kupinduka kwa upande wa boriti yenye sehemu ya msalaba isiyobadilika
Mlinganyo wa tofauti (5) ni wa aina ya homojeni na wa daraja la nne kwa ϑ. M1 ni kazi inayojulikana ya z kutegemea na mzigo.
Bore lenye momenti ya kudumu ya kupinda
Acheni p=N1=0, zaidi ya hayo Mx=ɱ=const. Sehemu ya msalaba haina flanji (imebana) na boriti ni ndefu ikilinganishwa na vipimo vya sehemu ya msalaba, hivyo tunaweza kuweka kuwa C*=0. Kisha mlinganyo (5) unarahisishwa, kwa sababu ya M1=ɱ, basi ni:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
au kwa ufupisho λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Boriti yenye tegemeo la uma kwenye ncha zote mbili
Mtini. 2
Utegemeaji katika z=0 na z=l uko katika mfumo wa uma (mchoro 2), unaowezesha miondoko ya u na v, lakini unaozuia kuzunguka kwa sehemu za mwisho; ϑ=0. Kwa kuwa katika mwelekeo wa x hakuna kubanwa (yaani M=0, au kulingana na us. (4) pia u’’=0), inafuata kutoka kwenye us. kwa u’’: MD’_=0 na hivyo kutoka kwenye us. (4c) kama hali ya pili ya mpaka ϑ’’=0.
Suluhisho la jumla la eq. (6a) ni
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Kutoka katika hali za mipaka hupatikana
Mfumo huu wa milinganyo huru una:
- Suluhisho la kawaida A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ambalo linalingana na ϑ=0, u’’=0 au u=0, ambapo boriti halipinduki kando.
- Suluhisho za kibinafsi kulingana na Δ=0 au sin λ__l=0. Mizizi ya hali hii ya kupinda pembeni ni λ__l=n__π (na n=1,2,3,∙∙∙) na mizigo muhimu ya wakati inayolingana
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Momenti ndogo zaidi ya kupinda upande
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
hutokea kwa n=1. Suluhisho linalolingana hupatikana kwa kutumia mil. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Matukio mengine ya kupinda kwa upande
c) Kupinda kwa upande kutokana na momenti ya kupinda na nguvu ya kubana
Kwa mfano ulioonyeshwa kwenye mch. 3 ni N1=-D (shinikizo), p=0, kisha iliwekwa C*=0. Kisha mlinganyo wa tofauti. (5) hurahisishwa na huwa
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
ambapo λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Suluhisho la equation ya difrensiali (9) limetolewa tena na eq. (8), ila sasa λ inaashiria thamani nyingine.
Kielelezo 3
Kwa mfano katika mt. 3 masharti ya kontua kama ilivyo kwa a) ni ϑ=0 na ϑ’’=0 kwa z=0 na z=l. Kwa hiyo pia milinganyo ya masharti kwa A1 ni ile ile kwa upande wa umbo, na pia sharti la kupinda kando Δ=sin λl=0. Mzigo kritikali hutimiza uwiano λl=nπ (n=1,2,3) na thamani ndogo zaidi ni
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Kwa D=0 hupatikana kutoka hapo momenti ya kupinda upande wa kutengeuka kulingana na us. (8c) na kwa mzigo wa kubana tu (ɱ=0) nguvu ya Euler ya kutengeuka _DK=B(π/l)_2.
Kwenye kielelezo 3 hali iliyowasilishwa inapaswa kuitwa kuinama kwa eksenti katika ndege y-z. Hivyo, hali ya uthabiti iliyochunguzwa hapo awali ni kupinda kutoka kwenye ndege ya kuinama kulichounganishwa na kuinama kwa upande u na msokoto ϑ.
Iwapo ncha zote mbili zimebanwa (ϑ=0 na ϑ’=0) basi kutokana na masharti ya mpaka, kwa msaada wa Δ=0, hupatikana sharti la kupinda kwa upande
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
yenye mizizi λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) na nguvu za kupinduka upande
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.