Za izvijanje pri savijanju štap je pri promeni ravnoteže savijen u jednoj glavnoj ravni.
Ali ima i takvih slučajeva stabilnosti kod kojih štap, odn. greda pri promeni ravnoteže bivaju ne samo savijeni već i uvijeni (sl. 60a). Kod nosača ova pojava zove se bočno izvijanje, kod pritisnutih štapova, koji su prilikom izvijanja izloženi takođe torziji, govori se o izvijanju pri torziji.
Za obe pojave je od odlučujućeg značaja veličina krutosti protiv torzije C, odn. otpor krivljenju C*. Na promenu ravnoteže spojenu sa torzijom može stoga u prvom redu da se utiče merama koje povećavaju krutost protiv uvijanja (odgovarajući oblik preseka, poprečni okviri, bočno podupiranje itd.). S druge strane, štapovi u obliku trake sa otvorenim presekom naročito su osetljivi na izvijanje pri torziji.
Diferencijalna jednačina za bočno izvijanje
Sl. 1a
Neka prava greda ima konstantne momente inercije vrlo nejednake veličine Ix >> Iy. Opterećenje leži u y-z-ravni tako da će greda biti savijena u ovoj glavnoj ravni (u=ϑ=0). Iskustvo kao i teorija pokazuju da je ovaj ravnotežni položaj prvo stabilan, ali da za veća opterećenja postaje labilan. Ovaj drugi ravnotežni položaj je vezan sa poprečnim savijanjem u i sa torzijom ϑ.
Niže će biti izvedena diferencijalna jednačina za bočno izvijanje. Jednačine za u i ϑ su homogene. Ako su i konturni uslovi homogeni onda je bočno izvijanje grede mogućno samo za sopstvene vrednosti problema, tj. u i ϑ ostaju prvo nula kod gore opisane grede bez poremećaja. Uslov bočnog izvijanja se dobija – slično kao kod izvijanja štapa – ako se stavi da je jednaka nuli determinanta koeficijenta homogenih uslovnih jednačina za integracione konstante. Videćemo da i pri bočnom izvijanju postoji prava tačka račvanja elastične ravnoteže.
Sl. 1b
Na sl. 1b predstavljen je element grede dužine dz. Rezultante napona N1, Q1, M1, kao i krivina κ__1 zavise od opterećenja i konačne su veličine. Q, M, MD su nula u prvobitnom ravnotežnom položaju, a razlikovaće se od nule tek kad nastupi bočno izvijanje. Krajnje veličine, koje se odnose na početak bočnog izvijanja, beskonačno su male, kao i odgovarajuće deformacije κ i d__ϑ/dz.
Oba krajnja preseka elementa dz leže u normalnoj ravni na dvojno zakrivljenu osu štapa i biće uvijene u ovim normalnim ravnima.
Pošto nas – kao i kod izvijanja štapa – u prvoj liniji interesuje veličina kritičnog opterećenja, dakle početak bočnog izvijanja, a manje veličina deformacija, to možemo proizvode veličina Q, M, MD sa κ ili ϑ’ da zanemarimo kao male veličine drugog reda. Stoga ćemo radi daljeg uprošćenja i glavnu krivinu κ1 da pretpostavimo kao beskonačno malu i biće tretirana kao κ i ϑ’.
Napomena: Uticaj od κ__1 ima i teorijski da se proceni u jednostavnom specijalnom slučaju (konstantni moment savijanja M kao opterećenje). U većini potreba građevinske tehnike može da se zanemari κ__1. Može, recimo, da zamislimo kao da je greda za dotični slučaj opterećenja tako „nadvišena“ da je za kritično opterećenje baš κ__1=0.
Iz ravnoteže komponenata sila u pravcima ξ, η, ζ i momentnim uslovima u odnosu na iste te ose dobija se posle spomenutih zanemarivanja
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Iz jedn. (1c, d i b) dobija se
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminisanjem Q1 iz jedn. (1a) dobija se
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Iz jedn. (1e) biće time eliminisano Q, zatim u ’’ putem u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Da se dobije diferencijalna jednačina za ϑ uvešće se sledeći odnosi između momenata i deformacija
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
gde označava B1=EIx i B=EIy krutosti protiv savijanja grede, C krutost protiv uvijanja, a C* otpor krivljenju. Kod naših daljih računa izostavićemo članove sa C* radi uporšćenja. Trebaju li jednačine da se primene npr. na I-profile, onda je potrebno dopuniti ih na odgovarajući način. Zanemarenje člana v’’ znači isto što i pretpostavka B1=∞.
Ako se eliminišu M i MD pomoću jedn. 4 dobija se diferencijalna jednačina za bočno izvijanje grede konstantnog preseka
Diferencijalna jednačina (5) je homogena i četvrtog reda po ϑ. M1 je poznata funkcija od z u zavisnosti od opterećenja.
Greda sa konstantnim momentom savijanja
Neka bude p=N1=0, osim toga Mx=ɱ=const. Presek je bez flanše (zbijen) i greda dugačka u odnosu na dimenzije poprečnog preseka, tako da možemo staviti da je C*=0. Tada se uprošćava jedn. (5), zbog M1=ɱ, pa je:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
ili sa kraćenicom λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Greda sa viljuškastim osloncem na oba kraja
Sl. 2
Oslanjanje kod z=0 i z=l je u vidu viljuški (sl. 2), koje omogućuju ugibe u i v, ali sprečavaju okretanje krajnjih preseka; ϑ=0. Pošto u pravcu x nema uklještenja (tj. M=0, ili prema jedn. (4) takođe u’’=0), proizilazi iz jedn. za u’’: MD’=0 i time iz jedn. (4c) kao drugi konturni uslov ϑ’’=0.
Opšte rešenje jedn. (6a) je
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Iz konturnih uslova se dobije
Ovaj homogeni sistem jednačina ima:
- Trivijalno rešenje A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, čemu odgovara ϑ=0, u’’=0 ili u=0, pri čemu se greda bočno ne izvija.
- Sopstvena rešenja prema Δ=0 ili sin λ__l=0. Koreni ovog uslova bočnog izvijanja su λ__l=n__π (sa n=1,2,3,∙∙∙) i odgovarajuća kritična momentna opterećenja
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Najmanji moment bočnog izvijanja
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
nastaje na n=1. Odgovarajuće rešenje je primenom jedn. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Ostalli slučajevi bočnog izvijanja
c) Bočno izvijanje usled momenta savijanja i pritiskajuće sile
Za primer pokazan na sl. 3 je N1=-D (pritisak), p=0, zatim je stavljeno C*=0. Tada se diferencijalna jedn. (5) uprošćava i glasi
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
gde je λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Rešenje diferencijalne jednačine (9) dato je opet jedn. (8), samo sada λ označava drugu vrednost.
Sl. 3
Za primer sl. 3 važe kao i za a) konturni uslovi ϑ=0 i ϑ’’=0 za z=0 i z=l. Prema tome su i uslovne jednačine za A1 formalno iste a takođe i uslov bočnog izvijanja Δ=sin λl=0. Kritično opterećenje zadovoljava odnos λl=nπ (n=1,2,3) i najmanja vrednost je
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Za D=0 dobija se odatle moment bočnog izvijanja prema jedn. (8c) i za čisto pritiskajuće opterećenje (ɱ=0) Euler-ova sila izvijanja _DK=B(π/l)_2.
Na sl. 3 predstavljeni slučaj ima da se označi kao ekscentrično savijanje u ravni y-z. Napred posmatrani slučaj stabilnosti je, dakle, krivljenje iz ravni savijanja vezano sa bočnim savijanjem u i torzijom ϑ.
Ako su oba kraja uklještena (ϑ=0 i ϑ’=0) onda se iz konturnih uslova, pomoću Δ=0, dobija uslov bočnog izvijanja
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
sa korenima λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) i silama bočnog izvijanja
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.