पार्श्व बकलन और मरोड़ में बकलन

मोड़ द्वारा बकलिंग के लिए, संतुलन में परिवर्तन पर तना एक प्रमुख समतल में मुड़ जाता है।

लेकिन स्थिरता के ऐसे भी मामले होते हैं जिनमें छड़, अर्थात् बीम, संतुलन बदलने पर न केवल मुड़ते हैं बल्कि मरोड़ भी खाते हैं (आकृति 60a)। बीमों के लिए इस घटना को पार्श्व बकलिंग कहते हैं; दाबित छड़ों में, जो बकलिंग के समय मरोड़ के भी अधीन होते हैं, इसे मरोड़ सहित बकलिंग कहा जाता है।

इन दोनों घटनाओं के लिए मरोड़ के विरुद्ध कठोरता C, अथवा मुड़ने के प्रतिरोध C* का मान निर्णायक महत्व रखता है। इसलिए मरोड़ से जुड़ी संतुलन-परिवर्तन को मुख्यतः उन उपायों से प्रभावित किया जा सकता है जो मरोड़ के विरुद्ध कठोरता बढ़ाते हैं (उचित अनुप्रस्थ काट-आकार, अनुप्रस्थ फ्रेम, पार्श्व सहारा आदि)। दूसरी ओर, खुले अनुप्रस्थ काट वाले पट्टी-आकृति के बार मरोड़ के दौरान बकलिंग के प्रति विशेष रूप से संवेदनशील होते हैं।

पार्श्व बकलिंग के लिए अवकल समीकरण

आकृति 1a

मान लें कि किसी सीधे बीम के जड़त्व आघूर्ण Ix और Iy के मान बहुत असमान हैं, अर्थात् Ix >> Iy। भार y-z-समतल में स्थित है, इसलिए बीम इसी मुख्य समतल में मुड़ेगी (u=ϑ=0). अनुभव तथा सिद्धांत दोनों से यह ज्ञात होता है कि यह संतुलन अवस्था पहले स्थिर होती है, किंतु अधिक भार पर अस्थिर हो जाती है। यह दूसरी संतुलन अवस्था अनुप्रस्थ झुकाव u तथा मरोड़ ϑ से संबंधित है।

नीचे पार्श्व बकलिंग के लिए अवकल समीकरण निकाला जाएगा। u और ϑ के समीकरण समजात हैं। यदि सीमांत स्थितियाँ भी समजात हों, तो गर्डर की पार्श्व बकलिंग केवल समस्या के स्वमानों के लिए ही संभव है, अर्थात् ऊपर वर्णित बिना विक्षोभ वाली गर्डर के लिए u और ϑ पहले से ही शून्य रहते हैं। पार्श्व बकलिंग की शर्त—ठीक वैसे ही जैसे छड़ के बकलिंग में—तब प्राप्त होती है जब समजात शर्तीय समीकरणों के समाकलन स्थिरांकों के गुणांक निर्धारक को शून्य माना जाए। हम देखेंगे कि पार्श्व बकलिंग में भी प्रत्यास्थ संतुलन का वास्तविक शाखन-बिंदु मौजूद होता है।

चित्र 1b

चित्र 1b में लंबाई dz वाला बीम-तत्व दिखाया गया है। तनावों के परिणामी N1, Q1, M1, तथा वक्रता κ__1 भार पर निर्भर करते हैं और सीमित परिमाण के होते हैं। Q, M, MD प्रारंभिक संतुलन अवस्था में शून्य होते हैं, और वे केवल पार्श्व बकलिंग होने पर ही शून्य से भिन्न होंगे। पार्श्व बकलिंग की शुरुआत से संबंधित सीमित परिमाण अनंततः छोटे होते हैं, साथ ही संबंधित विकृतियाँ κ और d__ϑ/dz भी।

तत्व dz के दोनों अंतिम अनुप्रस्थ काट दंड की द्विवक्र धुरी के लंबवत तल में स्थित होते हैं और इन्हीं लंबवत तलों में मरोड़े जाएंगे।

चूँकि—जैसे दंड के बकलने में—हम मुख्यतः निर्णायक भार के परिमाण, अर्थात पार्श्व बकलने की शुरुआत, में रुचि रखते हैं, और विकृतियों के परिमाण में कम, इसलिए हम Q, M, MD के मानों के κ या ϑ’ के साथ गुणनों को द्वितीय क्रम के छोटे मान मानकर उपेक्षित कर सकते हैं। अतः आगे की सरलता के लिए हम मुख्य वक्रता κ1 को भी अनंत रूप से छोटी मानेंगे और इसे κ तथा ϑ’ की तरह माना जाएगा।

नोट: κ__1 के प्रभाव का सैद्धांतिक मूल्यांकन एक सरल विशेष मामले में भी किया जा सकता है (स्थिर मोड़ आघूर्ण M को भार मानकर)। निर्माण-तकनीक की अधिकांश आवश्यकताओं में κ__1 की उपेक्षा की जा सकती है। उदाहरण के लिए, हम यह मान सकते हैं कि संबंधित भार-अवस्था के लिए बीम को इतना “ऊँचा उठाया” गया है कि आलोचनात्मक भार के लिए ठीक κ__1=0.

ξ, η, ζ दिशाओं में बल अवयवों के संतुलन तथा इन्हीं अक्षों के सापेक्ष आघूर्ण शर्तों से, उपर्युक्त उपेक्षाओं के बाद प्राप्त होता है

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

समीकरणों (1c, d और b) से प्राप्त होता है

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

Q1 को समीकरण (1a) से हटाने पर प्राप्त होता है

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

समी. (1e) से इस प्रकार Q समाप्त हो जाएगा, फिर u ’’ को u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ के माध्यम से प्राप्त किया जाएगा

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

ϑ के लिए अवकल समीकरण प्राप्त करने हेतु, आघूर्णों और विकृतियों के बीच निम्न संबंध स्थापित किए जाएँगे

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

जहाँ B1=EIx और B=EIy बीम के मोड़ के विरुद्ध दृढ़ता को दर्शाते हैं, C मरोड़ के विरुद्ध दृढ़ता को, और C* वक्रण के प्रतिरोध को। आगे की हमारी गणनाओं में सरलता के लिए C* वाले पदों को छोड़ दिया जाएगा। यदि इन समीकरणों को उदाहरण के लिए I-प्रोफाइलों पर लागू करना हो, तो उन्हें उपयुक्त रूप से पूरक करना आवश्यक है। v’’ पद की उपेक्षा का अर्थ वही है जो B1=∞ मानने के बराबर है।

यदि M और MD को समी. 4 की सहायता से समाप्त किया जाए, तो स्थिर अनुप्रस्थ काट वाली बीम के पार्श्व बकलिंग के लिए अवकल समीकरण प्राप्त होता है

अवकल समीकरण (5) ϑ के सापेक्ष समांगी और चौथे क्रम का है। M1 भार के अनुसार z का ज्ञात फलन है।

स्थिर मोड़ आघूर्ण वाली बीम

मान लें p=N1=0, इसके अतिरिक्त Mx=ɱ=const. अनुप्रस्थ काट पर फ्लैंज नहीं है (सघन है) और गर्डर अनुप्रस्थ काट के आयामों की तुलना में लंबी है, इसलिए हम मान सकते हैं कि C*=0_. तब समी. (5) सरल हो जाती है, क्योंकि M1=ɱ, इसलिए:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

या संक्षेप में λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) दोनों सिरों पर कांटे जैसे सहारे वाली बीम

चित्र। 2

z=0 और z=l पर सहारा कांटे के रूप में है (चित्र 2), जो u और v विचलनों की अनुमति देते हैं, लेकिन अंतिम अनुप्रस्थ काटों के घुमाव को रोकते हैं; ϑ=0. चूँकि x दिशा में कोई स्थिर जकड़न नहीं है (अर्थात् M=0, या समीकरण (4) के अनुसार भी u’’=0), इसलिए u’’ के लिए समीकरण से: MD’_=0 और इस प्रकार समीकरण (4c) से दूसरे सीमा-शर्त के रूप में ϑ’’=0।

समीकरण (6a) का सामान्य हल है

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

सीमा-शर्तों से प्राप्त होता है

इस समजातीय समीकरणों की प्रणाली में है:

• तुच्छ हल A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, जिसके अनुरूप ϑ=0, u’’=0 या u=0, जबकि गर्डर पार्श्विक रूप से बकल नहीं करती।
• स्वतःिक हल Δ=0 या sin λ__l=0. इस पार्श्व बकलन शर्त की जड़ें λ__l=n__π हैं (जहाँ n=1,2,3,∙∙∙) और संबंधित क्रांतिक आघूर्ण भार

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

पार्श्व मोड़न का न्यूनतम आघूर्ण

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

यह n=1 पर प्राप्त होता है। उपयुक्त समाधान समीकरण (1f) के प्रयोग से है:

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) पार्श्व बकलिंग के अन्य मामले

c) बंकन आघूर्ण और संपीड़क बल के कारण पार्श्व बकलन

चित्र में दिखाए गए उदाहरण के लिए 3 N1=-D (संपीड़न), p=0, फिर C*=0 रखा गया है। तब अवकल समीकरण (5) सरल हो जाता है और इस प्रकार होता है

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

जहाँ λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

अवकल समीकरण (9) का हल फिर से समीकरण (8) द्वारा दिया गया है, केवल अब λ एक दूसरा मान दर्शाता है।

क्र.सं.3

उदाहरण के लिए आकृति 3 के लिए भी, जैसे a) में, कंटूर शर्तें ϑ=0 और ϑ’’=0 z=0 तथा z=l के लिए लागू होती हैं। अतः A1 के लिए शर्तीय समीकरण भी औपचारिक रूप से समान हैं, और पार्श्व बकलिंग की शर्त Δ=sin λl=0 भी समान है। क्रांतिक भार संबंध λl=nπ (n=1,2,3) को संतुष्ट करता है और न्यूनतम मान है

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

D=0 के लिए वहाँ से समीकरण (8c) के अनुसार पार्श्व बकलिंग आघूर्ण प्राप्त होता है, और केवल दाबीय भार (ɱ=0) के लिए Euler- का बकलिंग बल _DK=B(π/l)_2।

आकृति 3 में प्रस्तुत मामला y-z तल में विकेन्द्रीय मोड़ के रूप में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। अतः पहले विचारित स्थिरता का मामला मोड़-तल से बाहर का मुड़ना है, जो पार्श्व मोड़ u और मरोड़ ϑ से संबद्ध है।

यदि दोनों सिरे जकड़े हुए हों (ϑ=0 और ϑ’=0) तो परिधीय स्थितियों से, Δ=0 की सहायता से, पार्श्व बकलन की शर्त प्राप्त होती है

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) की जड़ों के साथ और पार्श्व बकलिंग बलों के साथ

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.