Fyrir útsveigju við beygju er stöngin við breytingu á jafnvægi sveigð í einu aðalplani.
En það eru líka slík stöðugleikatilvik þar sem stöng, þ.e. bjálki, við breytingu á jafnvægi beygist ekki aðeins heldur einnig snýst (mynd 60a). Hjá burðarbitum kallast þetta fyrirbæri hliðarhnykking, en hjá þrýstum stöngum, sem við hnykkingu verða einnig fyrir snúningsálagi, er talað um hnykkingu við snúning.
Fyrir bæði fyrirbærin skiptir stífni gegn snúningi C, þ.e. beygjuviðnám C*, úrslitaþýðingu. Breyting á jafnvægi sem tengist snúningi er því fyrst og fremst hægt að hafa áhrif á með aðgerðum sem auka stífleika gegn snúningi (viðeigandi þversniðsform, þvergrindur, hliðarstuðningur o.s.frv.). Aftur á móti eru stönglaga bitar með opnu þversniði sérstaklega viðkvæmir fyrir sveigju við snúning.
Diferential jöfnu fyrir hliðarsveigju
Mynd 1a
Gerum ráð fyrir að beinn biti hafi fasta tregðuvægi af mjög mismunandi stærð Ix >> Iy. Álagið liggur í y-z-planinu þannig að bitinn beygist í þessu aðalplani (u=ϑ=0). Reynslan og kenningin sýna að þetta jafnvægisástand er fyrst stöðugt, en verður óstöðugt við meiri álag. Þetta seinna jafnvægisástand tengist þversveigju í og snúningi ϑ.
Hér á eftir verður sett fram diffurjöfnan fyrir hliðarbeygju. Jöfnurnar fyrir u og ϑ eru einsleitar. Ef jaðarskilyrðin eru einnig einsleit, þá er hliðarbeygja bjálkans möguleg aðeins fyrir eiginlýsingar vandans, þ.e. u og ϑ haldast í fyrstu núll hjá fyrrnefndum óröskuðum bjálka. Skilyrðið fyrir hliðarbeygju fæst – svipað og við stöngbeygju – með því að setja að determinant stuðlanna í einsleitum skilyrðisjöfnum fyrir heildunarfastana sé jafnt núll. Við munum sjá að jafnvel við hliðarbeygju er til réttur klofningspunktur teygjanlegs jafnvægis.
Mynd 1b
Á mynd 1b er sýndur burðarþáttur af lengd dz. Jafngildiskraftar spennanna N1, Q1, M1, sem og sveigjan κ__1 ráðast af álaginu og eru endanlegar stærðir. Q, M, MD eru núll í upphaflegu jafnvægisástandi og verða aðeins ójöfn núlli þegar hliðarbeygja hefst. Endanlegu stærðirnar, sem tengjast upphafi hliðarbeygju, eru óendanlega litlar, eins og samsvarandi aflögun κ og d__ϑ/dz.
Báðir endaskurðir þáttarins dz liggja í normalfleti á tvíbugðaðan ás stangarinnar og verða snúnir í þessum normalflötum.
Þar sem okkur - eins og við hliðarbeygju stangar - er fyrst og fremst annt um stærð gagnálagsins, þ.e. upphaf hliðarbeygju, en síður stærð aflögunar, getum við talið margfeldi stærðanna Q, M, MD með κ eða ϑ’ sem lítil stærð annars stigs og hunsað þau. Því munum við til frekari einföldunar einnig gera ráð fyrir að aðalbeygjan κ1 sé óendanlega lítil og verði meðhöndluð sem κ og ϑ’.
Athugasemd: Áhrifin af κ__1 þarf einnig að meta fræðilega í einföldu sértilviki (fast beygjumóment M sem álag). Í flestum þörfum byggingatækninnar má hunsa κ__1. Við getum til dæmis ímyndað okkur að bjálkinn sé fyrir viðkomandi álagstilvik svo „upphækkaður“ að fyrir markálagið sé einmitt κ__1=0.
Úr jafnvægi kraftþátta í stefnum ξ, η, ζ og út frá momentaskilyrðum gagnvart sömu ásum fæst eftir fyrrnefndar einfaldanir
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Úr jöf. (1c, d og b) fæst
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Með því að fella út Q1 úr jöfnu (1a) fæst
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Úr jöfnu (1e) verður þannig eytt Q, síðan u ’’ með u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Til að fá diffurjafnu fyrir ϑ verða sett fram eftirfarandi tengsl milli nóments og aflögunar
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
þar sem B1=EIx og B=EIy tákna beygjustífleika bitans, C snúningsstífleika, og C* viðnáms gegn sveigju. Í okkar áframhaldandi útreikningum munum við sleppa liðum með C* til einföldunar. Ef jöfnurnar eiga að vera notaðar t.d. á I-prófíla, þarf að bæta þeim við á viðeigandi hátt. Að vanrækja liðin v’’ er hið sama og að gera ráð fyrir B1=∞.
Ef M og MD eru felld út með hjálp jöfnu 4 fæst differentialjafnan fyrir hliðarbeygju bjálka með stöðugum þversniði
Diffrunarjafnan (5) er einsleit og fjórðu gráðu með tilliti til ϑ. M1 er þekkt fall af z eftir álagi.
Bjálki með stöðugu beygjumómenti
Látum vera p=N1=0, auk þess Mx=ɱ=const. Þversniðið er án flans (þjappað) og bjálkinn er langur miðað við stærðir þversniðsins, þannig að við getum sett að C*=0. Þá einfaldast jöfn. (5), vegna M1=ɱ, og þá er:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
eða með skammstöfuninni λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Bjálki með gaffallaga stuðningi á báðum endum
Mynd. 2
Stoðunin við z=0 og z=l er í formi gafla (mynd 2), sem leyfa sveigjur u og v, en koma í veg fyrir snúning endasniðanna; ϑ=0. Þar sem engin innspenning er í x-stefnu (þ.e. M=0, eða samkvæmt jöfnu (4) einnig u’’=0), leiðir af jöfnunni fyrir u’’: MD’_=0 og þannig af jöfnu (4c) sem annað jaðarskilyrði ϑ’’=0.
Almenna lausnin á jfn. (6a) er
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Úr jaðarskilyrðunum fæst
Þetta einsleita jafnanakerfi hefur:
- Hið einfaldasta svar A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, sem samsvarar ϑ=0, u’’=0 eða u=0, þar sem bitinn beygist ekki til hliðar.
- Eigin lausnir samkvæmt Δ=0 eða sin λ__l=0. Ræturnar á þessu hliðarbugunarviðmiði eru λ__l=n__π (með n=1,2,3,∙∙∙) og tilheyrandi gagnrýninn beygjumóment
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Minnsta hornbeygjumómentið
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
fáist við n=1. Samsvarandi lausn fæst með notkun jöf. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Aðrar tilvik hliðarhnykkingar
c) Hliðarbugða vegna beygjumóments og þrýstikrafts
Fyrir dæmið sem sýnt er á mynd 3 er N1=-D (þrýstingur), p=0, síðan var sett C*=0. Þá einfaldast diffurjafnan (5) og er
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
þar sem λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Lausn diffurjöfnunnar (9) er aftur gefin með jöfn. (8), aðeins nú táknar λ annað gildi.
Mynd 3
Fyrir dæmið á mynd 3 gilda, eins og fyrir a), jaðarskilyrðin ϑ=0 og ϑ’’=0 fyrir z=0 og z=l. Samkvæmt því eru skilyrtu jöfnurnar fyrir A1 einnig formlega eins, og einnig skilyrðið fyrir hliðarbeygju Δ=sin λl=0. Gagnrýna álagið uppfyllir sambandið λl=nπ (n=1,2,3) og minnsta gildið er
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Fyrir D=0 fæst þar af leiðandi hliðarbeygjumómentið samkvæmt jöfnu (8c) og fyrir hreint þrýstiálag (ɱ=0) Euler-beygjuaflið _DK=B(π/l)_2.
Á sl. 3 verður að lýsa tilvikinu sem sérvöldu beygjuástandi í planinu y-z. Fyrirframskoðað tilvik stöðugleikans er því sveigja út úr beygjuplaninu tengd hliðarbeygju u og snúningi ϑ.
Ef báðir endar eru klemmdir (ϑ=0 og ϑ’=0) þá fæst, út frá jaðarskilyrðunum, með hjálp Δ=0, skilyrði fyrir hliðarhnykkingu
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
með rótunum λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) og hliðarbeygjuöflunum
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.