Fir Béiinstabilitéit bei Béiung ass de Staf bei Ännerung vum Gläichgewiicht an enger Haaptplang gebéit.
Awer et ginn och esou Stabilitéitsfäll, bei deenen d’Staang, resp. de Balken, bei enger Ännerung vum Gläichgewiicht net nëmmen gebéit, mee och verdréint ginn (Abb. 60a). Bei Trägere nennt een dëst Phänomen säitlecht Ausknéien, bei gedrückte Staangen, déi beim Ausknéien och der Torsioun ausgesat sinn, schwätzt een vun Ausknéie bei Torsioun.
Fir béid Phänomener ass d’Gréisst vun der Steifegkeet géint Dréimoment C, bzw. de Widderstand géint Verdrillung C*, vun entscheedender Bedeitung. Op d’Verännerung vum Gläichgewiicht, déi mat Torsioun verbonnen ass, kann dofir virun allem mat Moossnamen agegraff ginn, déi d’Steifegkeet géint Verdrillung erhéijen (entspriechend Form vum Querschnëtt, Querrahmen, Säitestuetzung asw.). Op der anerer Säit sinn Staangen a Bandform mat oppenem Querschnëtt besonnesch empfindlech géint Ausknécke bei Torsioun.
Differentialgleichung fir d’Béie säitlech
Abb. 1a
Ugeholl, e geraden Träger huet konstant Inertiémomenter mat staark ënnerschiddleche Wäerter Ix >> Iy. D’Belaaschtung läit an der y-z-Plaz, sou datt den Träger an dëser Haaptplaz gebéit gëtt (u=ϑ=0). D’Erfahrung wéi och d’Theorie weisen, datt dës Gläichgewiichtslagerung am Ufank stabil ass, mee bei méi grousse Belaaschtungen labill gëtt. Dës zweet Gläichgewiichtslagerung ass mat enger transversal Béie an mat der Torsioun ϑ verbonnen.
Hei ënnen gëtt d’differenzial Gläichung fir d’Säitknicken ofgeleet. D’Gläichunge fir u an ϑ sinn homogen. Wann och d’Randbedéngungen homogen sinn, da ass d’Säitknicken vum Träger nëmmen fir d’Eegenwäerter vum Problem méiglech, dat heescht u an ϑ bleiwen als éischt null beim hei beschriwwene stéierungsfräie Träger. D’Bedingung fir d’Säitknicken ergëtt sech – ähnlech wéi beim Knicken vum Staf – wann een d’Determinant vum Koeffizient vun den homogenen Bedéngungsgläichunge fir d’Integratiounskonstanten als null setzt. Mir wäerte gesinn, datt och beim Säitknicken e richtege Verzweigungspunkt vum elastesche Gläichgewiicht besteet.
Abb. 1b
Op Abb. 1b ass e Greefelement mat der Längt dz duergestallt. D’Resultante vun de Spannungen N1, Q1, M1, souwéi d’Krommung κ__1 hänke vun der Belaaschtung of a si endlech Gréissten. Q, M, MD sinn null an der ursprénglecher Gläichgewiichtspositioun, an eréischt wann dat säitlecht Ausknicke geschitt, wäerte si vu Null ofwäichen. Déi endlech Gréissten, déi den Ufank vum säitlechten Ausknicke betreffen, sinn onendlech kleng, grad wéi déi entspriechend Verformungen κ an d__ϑ/dz.
Béid Ennquerschnëtter vum Element dz leien an enger normaler Ebene op der duebel gebéiter Achs vun der Staang a ginn an dësen normalen Ebene verdréint.
Well eis - wéi beim Knicken vun enger Staang - an éischter Linn d’Gréisst vun der kritescher Belaaschtung, also den Ufank vum Säitknicken, a manner d’Gréisst vun den Deformatiounen interesséiert, kënne mir d’Produite vun de Gréissten Q, M, MD mat κ oder ϑ’ als kleng Wäerter zweeter Reiefolleg vernoléissegen. Dofir wäerte mir fir eng weider Vereinfachung och d’Haaptkrëmmung κ1 als onendlech kleng unhuelen, an si gëtt wéi κ an ϑ’ behandelt.
Bemierkung: Den Afloss vun κ__1 soll och theoretesch am einfachen Spezialfall ageschat ginn (konstanten Bieungsmoment M als Belaaschtung). Fir déi meescht Bedierfnesser vun der Bautechnik kann κ__1 vernoléissegt ginn. Een kann sech zum Beispill virstellen, datt de Balken fir dëse Belaaschtungsfall esou „iwwerhéiert“ ass, datt fir déi kritesch Belaaschtung genee κ__1=0.
Aus dem Gläichgewiicht vun de Kraaftkomponenten an de Richtunge ξ, η, ζ an aus de Momentbedéngungen bezunn op déi selwecht Achse kritt een no de genannte Vernoléissegungen
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Aus der Gl. (1c, d a b) kritt een
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Duerch Eliminatioun vun Q1 aus der Gl. (1a) kritt een
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Aus Gl. (1e) gëtt domat Q eliminéiert, duerno u ’’ iwwer u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Fir d’differenziell Gläichung fir ϑ ze kréien, ginn déi folgend Bezéiungen tëscht de Momenter an de Verformungen agefouert
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
woubäi B1=EIx an B=EIy d’Béiestifegkeet vum Balken bedeiten, C d’Stifegkeet géint Verdréiung, an C* de Widdersand géint Krëmmung. An eise weidere Berechnunge wäerte mir d’Begrëffer mat C* ewechloossen, fir et ze vereinfachen. Sollten d’Gläichunge beispillsweis op I-Profiller applizéiert ginn, da mussen se op entspriechend Aart ergänzt ginn. D’Iwwersiich vu mam v’’ bedeit datselwecht wéi d’Virgab B1=∞.
Wa M an MD mat Hëllef vun der Gl. 4 eliminéiert ginn, kritt een d’Differenzialgläichung fir d’säitlecht Ausknéie vun engem Balken mat konstante Querschnëtt
D’Differentialgleichung (5) ass homogen an véierter Uerdnung no ϑ. M1 ass eng bekannt Funktioun vu z ofhängeg vun der Belaaschtung.
Träger mat konstantem Biegemoment
Et soll p=N1=0, ausserdem Mx=ɱ=konst. De Querschnëtt ass ouni Flansch (kompakt) an de Balken ass laang am Verglach zu den Dimensioune vum Querschnëtt, esou datt mir kënne setzen C*=0. Dann vereinfacht sech Gl. (5), wéinst M1=ɱ, an et gëllt:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
oder mat der Ofkierzung λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Balke mat Gabelënnerstëtzung op béide Säiten
Fig. 2
D’Lagere bei z=0 an z=l sinn a Form vu Gabelen (Abb. 2), déi d’Duerchbéie u an v erméiglechen, awer d’Rotatioun vun den Endquerschnëtter verhënneren; ϑ=0. Well an der x-Richtung keng Einspannung virläit (also M=0, oder no Gl. (4) och u’’=0), ergëtt sech aus der Gl. fir u’’: MD’=0 an domat aus Gl. (4c) als zweet Randbedingung ϑ’’=0.
D’Allgemengléisung vun der Gl. (6a) ass
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Aus de Randbedingunge kritt een
Dësen homogenen Eequatiounssystem huet:
- Trivial Léisung A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, woufir ϑ=0, u’’=0 oder u=0 entsprécht, woubei de Balken sech net säitlech ausbéit.
- Eigene Léisunge no Δ=0 oder sin λ__l=0. D’Wuerzele vun dëser Bedingung fir d’Säitknäipen sinn λ__l=n__π (mat n=1,2,3,∙∙∙) an déi entspriechend kritesch Momentbelaaschtungen
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Klengst Moment vum säitleche Kippen
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
ergëtt sech bei n=1. Déi entspriechend Léisung kritt een duerch d’Benotzung vun der Gl. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Aner Fäll vum Säiteknécken
c) Säitlech Ausknéckung wéinst Biegemoment an Drockkraaft
Fir dat Beispill op Fig. 3 ass N1=-D (Drock), p=0, duerno gouf C*=0 agesat. Dann vereinfacht sech d’differenziell Gl. (5) a seet
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
wou λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
D’Léisung vun der Differentialgläichung (9) ass erëm duerch d’Gl. (8) ginn, nëmmen bedeit λ elo e anere Wäert.
Bild 3
Fir d’Beispill op Fig. 3 gëllen, wéi och bei a), d’Konterbedingungen ϑ=0 an ϑ’’=0 fir z=0 an z=l. Dofir sinn och d’Bedingungsgläichungen fir A1 formell déi selwecht, an och d’Bedingung vum laterale Bocksprong Δ=sin λl=0. D’kritesch Belaaschtung erfëllt d’Relatioun λl=nπ (n=1,2,3) an de klengste Wäert ass
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Fir D=0 kritt een dovun aus de Moment vum Säitenausknicken no Gl. (8c) a fir reng dréckend Belaaschtung (ɱ=0) d’Euler-Auskniiblingskraaft _DK=B(π/l)_2.
Op Fig. 3 soll dee duergestallte Fall als exzentrescht Béiwen an der Eben y-z bezeechent ginn. De virdru betruechte Stabilitéitsfall ass also e Verkrëmme baussent der Béiungsfläch, verbonne mat der Säitebéiung u an der Torsioun ϑ.
Wann béid Enner ageklemmt sinn (ϑ=0 an ϑ’=0), da ergëtt sech aus de Konturbedéngungen, mat Hëllef vun Δ=0, d’Bedéngung fir déi lateral Knickung
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
mat de Wuerzelen λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) an de Kräfte vum säitlechen Ausknéien
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.