對於彎曲屈曲，桿件在平衡狀態改變時會在一個主平面內彎曲。
但也有這樣一些穩定性情況，即桿件，亦即樑，在平衡改變時不僅彎曲，而且還扭轉（圖 60a）。對於構件，這種現象稱為_側向屈曲_；對於受壓桿件，當其在屈曲時也受到扭轉作用時，則稱為_扭轉屈曲_。
對這兩種現象而言，抗扭剛度 C，亦即抗彎曲阻力 C*，具有決定性意義。因此，與扭轉相關的平衡變化，主要可透過提高抗扭剛度的措施來影響（適當的截面形狀、橫向框架、側向支撐等）。另一方面，開口截面的帶狀桿件對扭轉屈曲尤其敏感。
側向屈曲微分方程
圖 1a
設一根直梁的慣性矩為彼此相差極大的常數，Ix >> Iy。荷載位於 y-z-平面內，因此梁將在此主平面內彎曲（u=ϑ=0）。經驗與理論都表明，這個平衡位置起初是穩定的，但在較大荷載下會變成不穩定。這第二個平衡狀態與橫向彎曲及扭轉 ϑ 有關。
下文將推導側向屈曲的微分方程。u 與 ϑ 的方程為齊次方程。若邊界條件也是齊次的，則梁的側向屈曲只能在問題的特徵值下發生，也就是說，在上述無擾動的梁中，u 與 ϑ 仍保持最初的零值。側向屈曲條件的求取——與桿件屈曲類似——是令齊次條件方程組對積分常數的係數行列式等於零。可以看到，即使在側向屈曲時，也存在彈性平衡的真正分岔點。
圖 1b
在圖 1b 中，顯示長度為 dz 的梁元件。應力合力 N1、Q1、M1 以及曲率 κ__1 取決於載荷，且為有限值。Q、M、MD 在原始平衡位置為零，只有在發生側向屈曲時才會偏離零。對應於開始側向屈曲的極限值是無限小的，相應變形 κ 和 d__ϑ/dz 亦然。
元件 dz 的兩個端截面位於垂直於桿件雙曲線軸的平面內，並將在這些垂直平面內扭轉。
由於我們——如同桿件屈曲一樣——首先關心的是臨界載荷的大小，也就是側向屈曲的開始，而較少關心變形量，因此可將 Q、M、MD 與 κ 或 ϑ’ 的乘積視為二階小量而忽略。為了進一步簡化，我們也將主曲率 κ1 視為無窮小，並把它當作 κ 與 ϑ’ 處理。
註：κ__1 的影響在一個簡單的特例中（以恆定彎矩 M 作為載荷）也可以從理論上加以評估。在大多數結構工程需求中，κ__1 可予以忽略。例如，我們可以想像，對於該載荷情況，樑已被如此「上拱」，以致臨界載荷時恰好有 κ__1=0。
由 ξ, η, ζ 方向的力分量平衡以及相對於同一各軸的力矩條件，在前述忽略之後可得
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
由方程式 (1c, d i b) 可得
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
由方程 (1a) 中消去 Q1，可得
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
由方程 (1e) 可因此消去 Q，然後由 u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ 求得 u’’
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
為了得到 ϑ 的微分方程，將採用以下力矩與變形之間的關係
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
其中 B1=EIx 與 B=EIy 表示梁抗彎剛度，C 表示抗扭剛度，而 C* 表示抗翹曲能力。在後續計算中，為簡化起見將省略含 C* 的項。若方程需例如應用於工字鋼截面，則必須作相應補充。忽略 v’’ 項，與假設 B1=∞ 相同。
若利用式 4 消去 M 和 MD，則可得_等截面梁側向屈曲_的微分方程
微分方程式 (5) 是齊次且關於 ϑ 的四階方程。M1 是 z 的已知函數，取決於載荷。
具有恆定彎矩的梁
設 p=N1=0，此外 Mx=ɱ=const.。該截面無翼緣（緊湊），且梁相對於橫截面尺寸較長，因此可取 C*=0。此時，方程 (5) 因 M1=ɱ 而簡化，故：
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
或以簡寫 λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) 兩端均為叉形支承的梁
圖2
在 z=0 與 z=l 處的支承形式為叉形支座（圖 2），可允許撓度 u 與 v，但阻止端截面轉動； ϑ=0。由於在 x 方向上沒有固定（即 M=0，或依式 (4) 亦即 u’’=0），可由 u’’ 的方程得出：MD’_=0，因此依式 (4c) 可得第二個邊界條件 ϑ’’=0。
方程的一般解 (6a) 為
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
可由邊界條件求得
這個齊次方程組具有：
- 平凡解 A1 = A2 = ∙∙∙ = 0，對應 ϑ=0、u’’=0 或 u=0，此時梁不會發生側向屈曲。
- 特徵解依據 Δ=0 或 sin λ__l=0。此側向屈曲條件的根為 λ__l=n__π（其中 n=1,2,3，∙∙∙），以及相應的臨界彎矩載荷
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
最小側向屈曲彎矩
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
發生於 n=1。相應的解可由方程式 (1f) 得到：
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) 其他側向屈曲情況
c) 由彎矩與壓力引起的側向屈曲
以圖 3 所示的例子為例，N1=-D（壓力），p=0，然後取 C*=0。此時微分方程（5）可化簡為
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
其中 λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
微分方程的解（9）仍由式（8）給出，只是此時 λ 表示另一個值。
圖 3
對於圖 3 的示例，與 a) 相同的邊界條件為 ϑ=0 和 ϑ’’=0，適用於 z=0 和 z=l。因此，A1 的條件方程也形式相同，側向屈曲條件 Δ=sin λl=0 亦然。臨界荷載滿足關係 λl=nπ（n=1,2,3），且最小值為
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
對於 D=0，可由式 (8c) 得到側向屈曲彎矩；而對於純受壓荷載 (ɱ=0)，Euler- 屈曲力為 _DK=B(π/l)_2。
圖 3 所示的情況稱為 y-z 平面內的偏心彎曲。因此，前述穩定性情況，乃是與側向彎曲 u 及扭轉 ϑ 相關的平面外彎曲。
若兩端皆為固結支承（ϑ=0 且 ϑ’=0），則由邊界條件，藉由 Δ=0，可得側向屈曲條件
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
具有根 λ__l=m__π（m=2,4,∙∙∙）及側向屈曲力
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.