Az elhajlás hajlítás közben esetén a rúd egyensúlyállapotának megváltozásakor egy fő síkban meghajlik.
De vannak olyan stabilitási esetek is, amelyeknél a rúd, illetve a gerenda az egyensúly változásakor nemcsak meghajlik, hanem el is csavarodik (á. 60a). Tartóknál ezt a jelenséget oldalirányú kihajlásnak, nyomott rudaknál, amelyek kihajlás közben szintén torziónak vannak kitéve, torziós kihajlásnak nevezik.
Mindkét jelenség szempontjából döntő jelentőségű a csavarási merevség C, illetve a hajlítási ellenállás C*. A csavarodással összefüggő egyensúlyváltozásra ezért elsősorban olyan intézkedésekkel lehet hatni, amelyek növelik a csavarási merevséget (megfelelő keresztmetszeti alak, keresztirányú keretek, oldalsó megtámasztás stb.). Másrészt a nyitott keresztmetszetű, szalagszerű rudak különösen érzékenyek a csavarási kihajlásra.
Képlet a keresztirányú kihajláshoz
Ábra 1a
Tegyük fel, hogy egy egyenes gerenda tehetetlenségi nyomatékai állandók és igen különböző nagyságúak: Ix >> Iy. A terhelés a y-z-síkban hat, így a gerenda ebben a fő síkban hajlik meg (u=ϑ=0). A tapasztalat és az elmélet is azt mutatja, hogy ez az egyensúlyi helyzet először stabil, de nagyobb terhelések esetén labilissá válik. Ez a második egyensúlyi helyzet keresztirányú hajlítással és ϑ torzióval kapcsolódik össze.
Az alábbiakban levezetjük a differenciálegyenletet a oldalirányú kihajlásra. Az u és ϑ egyenletek homogének. Ha a peremfeltételek is homogének, akkor a gerenda oldalirányú kihajlása csak a probléma sajátereire lehetséges, vagyis u és ϑ a fent leírt, zavarásmentes gerenda esetében továbbra is zérus maradnak. Az oldalirányú kihajlás feltétele – hasonlóan a rúd kihajlásához – úgy adódik, hogy a homogén feltételi egyenletek integrációs állandóira vonatkozó együtthatómátrix determinánsát nullával egyenlővé tesszük. Látni fogjuk, hogy oldalirányú kihajlás esetén is létezik az elasztikus egyensúly valódi elágazási pontja.
Á. 1b
Az ábrán 1b a dz hosszúságú gerendaelem látható. A N1, Q1, M1 feszültségek eredői, valamint a κ__1 görbület a terheléstől függenek, és véges nagyságúak. Q, M, MD a kezdeti egyensúlyi helyzetben zérusak, és csak akkor térnek el nullától, amikor bekövetkezik az oldalirányú kihajlás. Az oldalirányú kihajlás kezdetére vonatkozó végső mennyiségek végtelenül kicsik, akárcsak a megfelelő κ és d__ϑ/dz alakváltozások.
Az elem dz mindkét végkeresztmetszete a rúd kettősen görbült tengelyére merőleges síkban fekszik, és ezekben a merőleges síkokban lesznek megcsavarodva.
Mivel – akárcsak a rúd kihajlásánál – elsősorban a kritikus terhelés nagysága, tehát az oldalirányú kihajlás kezdete, és kevésbé a deformációk nagysága érdekel bennünket, a Q, M, MD mennyiségek és a κ vagy ϑ’ szorzatait elhanyagolhatjuk mint másodrendű kis mennyiségeket. Ezért a további egyszerűsítés érdekében a fő görbületet, κ1-et is végtelenül kicsinek tekintjük, és azt κ-ként és ϑ’-ként kezeljük.
Megjegyzés: a κ__1 hatását elméletileg egyszerű speciális esetben is célszerű megbecsülni (állandó hajlítónyomaték M mint terhelés). Az építőipar legtöbb gyakorlati esetében a κ__1 elhanyagolható. Elképzelhetjük például úgy, mintha a gerenda az adott terhelési esetre annyira „fel volt ívelve”, hogy a kritikus terhelés éppen κ__1=0.
Az ξ, η, ζ irányú erőkomponensek egyensúlyából és az ugyanezen tengelyekre vonatkozó nyomatéki feltételekből a fent említett elhanyagolások után megkapjuk
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Az egyenlőkből (1c, d és b) adódik
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
A Q1 kiküszöbölésével az egyenl. (1a) kapjuk
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Az egyenl. (1e) ebből kiküszöbölődik Q, majd u ’’ az u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ összefüggés útján
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Ahhoz, hogy a ϑ differenciálegyenletét megkapjuk, a következő összefüggéseket vezetjük be a nyomatékok és a deformációk között
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
ahol B1=EIx és B=EIy jelöli a gerenda hajlítással szembeni merevségeit, C a csavarással szembeni merevséget, míg C* a görbüléssel szembeni ellenállást. További számításainkban az egyszerűsítés érdekében a C* tagokat elhagyjuk. Ha az egyenleteket pl. I-szelvényekre kell alkalmazni, akkor azokat megfelelően ki kell egészíteni. A v’’ tag elhanyagolása ugyanazt jelenti, mint a B1=∞ feltevés.
Ha az M és MD mennyiségeket a 4 egyenlet segítségével kiküszöböljük, megkapjuk az állandó keresztmetszetű gerenda oldalirányú kihajlásának differenciálegyenletét
A differenciálegyenlet (5) homogén, és a ϑ szerint negyedrendű. A M1 a terheléstől függően ismert függvénye a z-nek.
Rúd állandó hajlítónyomatékkal
Legyen p=N1=0, továbbá Mx=ɱ=állandó. A keresztmetszet borda nélküli (tömör), és a gerenda a keresztmetszeti méretekhez képest hosszú, ezért feltehetjük, hogy C*=0. Ekkor az (5) egyenlet egyszerűsödik az M1=ɱ miatt, így:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
vagy a rövidítéssel λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Gerenda villás alátámasztással mindkét végén
ábra. 2
Az z=0 és z=l helyeken a megtámasztás villaszerű (ábr. 2), amely lehetővé teszi az u és v lehajlásokat, de megakadályozza a végszelvények elfordulását; ϑ=0. Mivel az x irányban nincs befogás (azaz M=0, vagy az (4) egyenlet szerint szintén u’’=0), az u’’ egyenletből következik: MD’_=0, és ebből az (4c) egyenletből második peremfeltételként ϑ’’=0.
Az egyenlet (6a) általános megoldása
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
A kontúrfeltételekből kapjuk meg
Ennek a homogén egyenletrendszernek van:
- Triviális megoldás A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, amelyhez ϑ=0, u’’=0 vagy u=0 tartozik, miközben a gerenda oldalirányban nem hajlik ki.
- Saját megoldások a Δ=0 vagy a λ__l=0 sin szerint. Ennek a kifordulási feltételnek a gyökei λ__l=n__π (ahol n=1,2,3,∙∙∙), és a hozzájuk tartozó kritikus nyomatéki terhelések
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
A legkisebb oldalirányú kihajlási nyomaték
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
n=1-nél áll elő. A megfelelő megoldás az egyenlet (1f) alkalmazásával adódik:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Egyéb oldalirányú kihajlási esetek
c) Oldalkibillenés hajlítónyomaték és nyomóerő hatására
A 3 ábrán bemutatott példára N1=-D (nyomás), p=0, majd C*=0 lett beállítva. Ekkor a differenciálegyenlet (5) leegyszerűsödik, és így szól
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
ahol λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
A differenciálegyenlet (9) megoldása ismét az egyenlet (8) szerint adódik, csak most λ egy másik értéket jelöl.
Ábra 3
A 3 ábrára példaként ugyanazok a kontúrfeltételek érvényesek, mint az a) esetre: ϑ=0 és ϑ’’=0 a z=0 és a z=l esetén. Ennek megfelelően a A1 feltételi egyenletek is formálisan azonosak, és az oldalirányú kihajlás feltétele is Δ=sin λl=0. A kritikus terhelésre λl=nπ (n=1,2,3) teljesül, és a legkisebb érték az
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0 esetén innen a keresztirányú kihajlási nyomatékot a (8c) egyenlet szerint kapjuk, és tisztán nyomó terhelésnél (ɱ=0) az Euler-féle kihajlási erő _DK=B(π/l)_2.
A 3 ábrán bemutatott esetet a y-z síkban végbemenő excentrikus hajlításnak kell nevezni. A korábban tárgyalt stabilitási eset tehát a hajlítás síkjából való kihajlás, amely az oldalsó u hajlítással és a ϑ torzióval kapcsolódik össze.
Ha mindkét vég be van fogva (ϑ=0 és ϑ’=0), akkor a peremfeltételekből, Δ=0 segítségével, megkapjuk az oldalirányú kihajlás feltételét
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
a λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) gyökerekkel és az oldalirányú kihajlási erőkkel
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.