పక్కకు వంగడం మరియు టోర్షన్ సమయంలో వంగడం

వంగింపు ద్వారా బక్లింగ్ కోసం, సమతుల్య స్థితి మారినప్పుడు రాడ్ ఒక ప్రధాన సమతలంలో వంగుతుంది.

కానీ స్థిరత్వానికి సంబంధించిన ఇలాంటి సందర్భాలు కూడా ఉన్నాయి, అందులో దండ, అంటే బీము, సమతుల్యత మార్పు సమయంలో వంగడమే కాక మెలిపడుతుంది కూడా (చిత్రం 60a). మద్దతు దండల విషయంలో ఈ సంఘటనను పార్శ్వ వంకరత అంటారు; వంకరపడే సమయంలో టార్షన్‌కూ లోనయ్యే పీడిత దండల విషయంలో టార్షన్‌తో వంకరత అని అంటారు.

ఈ రెండు ఘటనలకూ మలుపు నిరోధక కాఠిన్యం C, లేదా వంకరపరచే నిరోధం C* పరిమాణం నిర్ణయాత్మకమైనది. కాబట్టి టోర్షన్‌తో కూడిన సమతుల్య మార్పుపై ప్రధానంగా మలుపు నిరోధక కాఠిన్యాన్ని పెంచే చర్యల ద్వారా ప్రభావం చూపవచ్చు (తగిన అడ్డ విభాగ ఆకారం, అడ్డ ఫ్రేములు, పక్క మద్దతు మొదలైనవి). మరోవైపు, తెరిచిన విభాగం గల పట్టీ ఆకార దండాలు టోర్షన్ సమయంలో వంచుకుపోవడానికి ప్రత్యేకంగా సున్నితమైనవి.

పక్కకు వంగుదలకు వ్యత్యాస సమీకరణ

చిత్రం 1a

ఒక నేరుగా ఉన్న బీమ్‌కు స్థిరమైన, పరస్పరం చాలా భిన్నమైన జడత్వ ఘనాలు Ix >> Iy ఉన్నాయని భావించండి. లోడ్ y-z-సమతలంలో ఉంటుంది, అందువల్ల బీమ్ ఈ ప్రధాన సమతలంలో వంగుతుంది (u=ϑ=0). అనుభవం మరియు సిద్ధాంతం రెండూ ఈ సమతుల్య స్థితి మొదట స్థిరంగా ఉంటుందని, కానీ ఎక్కువ లోడ్‌ల వద్ద అస్థిరంగా మారుతుందని చూపుతాయి. ఈ రెండవ సమతుల్య స్థితి అడ్డంగా వంగడం మరియు ϑ టార్షన్‌తో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.

క్రింద పార్శ్వ వంగింపు కోసం డిఫరెన్షియల్ సమీకరణను導ించబడుతుంది. u మరియు ϑ కు సంబంధించిన సమీకరణలు హోమోజీనియస్‌గా ఉంటాయి. సరిహద్దు షరతులు కూడా హోమోజీనియస్ అయితే, గిర్డర్ యొక్క పార్శ్వ వంగింపు సమస్య యొక్క స్వీయ విలువలకే సాధ్యం, అంటే పైగా వివరించిన అంతరాయం లేని గిర్డర్‌లో u మరియు ϑ మొదట సున్నా గానే ఉంటాయి. పార్శ్వ వంగింపు షరతు - దండం వంగింపులో ఉన్నట్లే - సమీకరణ స్థిరాంకాల కోసం హోమోజీనియస్ షరతు సమీకరణాల గుణాంక నిర్ధారకం సున్నా అని తీసుకుంటే లభిస్తుంది. పార్శ్వ వంగింపులో కూడా స్థితిస్థాపక సమతుల్యత యొక్క నిజమైన శాఖా బిందువు ఉందని చూద్దాం.

చిత్రం 1b

చిత్రం 1bలో పొడవు dz గల గిర్డర్ మూలకం చూపబడింది. ఒత్తిడుల ఫలితాలు N1, Q1, M1, అలాగే వక్రత κ__1 లోడ్‌పై ఆధారపడి, పరిమిత పరిమాణాలుగా ఉంటాయి. Q, M, MD మొదటి సమతుల్యత స్థితిలో శూన్యం, కానీ పక్కకు వంగింపు ప్రారంభమైనప్పుడు మాత్రమే శూన్యం నుంచి భిన్నంగా మారతాయి. పక్కకు వంగింపు ఆరంభానికి సంబంధించిన పరిమిత విలువలు అనంతంగా చిన్నవి, అలాగే అనుబంధ రూపాంతరాలు κ మరియు d__ϑ/dz కూడా.

అంశం dz యొక్క రెండు చివరి విభాగాలు ద్విగుణ వంకర అక్షం కలిగిన కడ్డీకి సాధారణ సమతలంలో ఉంటాయి మరియు ఈ సాధారణ సమతలాల్లో వంకరగా ఉంటాయి.

బార్డర్ రాడ్ వంకరపోవడంలో ఉన్నట్లే, ఇక్కడ కూడా ప్రధానంగా మనకు కీలక లోడింగ్ పరిమాణం, అంటే పార్శ్వ వంకర ప్రారంభం, ఆసక్తికరం; వక్రీభావ పరిమాణం అంతగా కాదు. అందువల్ల Q, M, MD లను κ లేదా ϑ’ తో గుణించిన పదాలను రెండో క్రమంలోని చిన్న పరిమాణాలుగా విస్మరించవచ్చు. కాబట్టి మరింత సరళీకరణ కోసం ప్రధాన వక్రత κ1 ను కూడా అనంతంగా చిన్నదిగా ఊహిస్తాము మరియు దానిని κ మరియు ϑ’ గా పరిగణిస్తాము.

గమనిక: κ__1 యొక్క ప్రభావాన్ని సిద్దాంతపరంగా కూడా ఒక సరళ ప్రత్యేక సందర్భంలో (స్థిర వంగింపు ఘడియ M లోడుగా) అంచనా వేయవచ్చు. నిర్మాణ ఇంజనీరింగ్‌లో ఎక్కువ అవసరాల కోసం κ__1 ను నిర్లక్ష్యం చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, సంబంధిత లోడ్ సందర్భానికి గాను గర్డర్‌ను అలా “ఎత్తుగా వంపు ఇచ్చినట్లు” ఊహించవచ్చు, అంతగా కీలక లోడుకు ఖచ్చితంగా κ__1=0.

బలాల భాగాల సమతుల్యం ξ, η, ζ దిశలలో మరియు అదే అక్షాల పట్ల క్షణ సమీకరణాల నుండి, పై పేర్కొన్న నిర్లక్షణల తరువాత పొందబడుతుంది

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

సమీకరణం (1c, d మరియు b) నుండి పొందబడుతుంది

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

_Q1_ని సమీకరణ (1a) నుండి తొలగించడం ద్వారా పొందబడుతుంది

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

సమీకరణ (1e) నుండి ఈ విధంగా Q తొలగించబడుతుంది, తరువాత u ’’ ను u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ ద్వారా పొందుతారు

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

ϑ కోసం భిన్న సమీకరణాన్ని పొందడానికి, మోమెంట్‌లు మరియు వికృతుల మధ్య ఈ క్రింది సంబంధాలను ప్రవేశపెడతారు

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

ఇక్కడ B1=EIx మరియు B=EIy లు బీమ్ వంపుకు వ్యతిరేక కఠినతను సూచిస్తాయి, C మలుపు తిప్పడంపై కఠినతను, మరియు C* వక్రీభావ నిరోధాన్ని సూచిస్తుంది. మా తదుపరి లెక్కల్లో సరళీకరణ కోసం C* ఉన్న పదాలను వదిలివేస్తాము. ఉదాహరణకు ఈ సమీకరణాలను I-ప్రొఫైల్‌లకు వర్తింపజేయాలంటే, వాటిని తగిన విధంగా పూరించాలి. v’’ పదాన్ని విస్మరించడం అంటే B1=∞ అన్న ఊహతో సమానం.

M మరియు _MD_లను సమీకరణ 4 ద్వారా తొలగిస్తే, స్థిర విభాగం గల గడ్డెకు పార్శ్వ వంకరత కోసం డిఫరెన్షియల్ సమీకరణ లభిస్తుంది

భిన్న సమీకరణ (5) ϑ పట్ల సమానజాతి మరియు నాలుగో క్రమానికి చెందినది. M1 అనేది భారం మీద ఆధారపడి ఉండే z యొక్క తెలిసిన ఫంక్షన్.

స్థిర వంగింపు ఘడియంతో ఉన్న బీమ్

p=N1=0 గా ఉండనివ్వండి, అదనంగా Mx=ɱ=const. క్రాస్-సెక్షన్ ఫ్లాంజ్ లేకుండా (సాంద్ర) ఉంది మరియు బీమ్ క్రాస్-సెక్షన్ పరిమాణాలతో పోలిస్తే పొడవుగా ఉంది, అందువల్ల C*=0 అని తీసుకోవచ్చు. అప్పుడు సమీకరణ (5) M1=ɱ కారణంగా సరళమవుతుంది, అందువల్ల:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

లేదా సంక్షిప్త రూపంలో λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) రెండు చివరలలో ఫోర్క్-ఆధారిత గల గిర్డర్

చిత్రం 2

z=0 మరియు z=l వద్ద ఆధారం ఫోర్క్‌ల రూపంలో ఉంటుంది (చిత్రం 2), ఇవి u మరియు v వంగింపులను అనుమతిస్తాయి, కానీ చివరి విభాగాల భ్రమణాన్ని నిరోధిస్తాయి; ϑ=0. x దిశలో క్లాంపింగ్ లేకపోవడం వల్ల (అంటే M=0, లేదా సమీకరణ (4) ప్రకారం u’’=0 కూడా), u’’ కోసం ఉన్న సమీకరణ నుండి: MD’_=0 మరియు అట్లా సమీకరణ (4c) నుండి రెండవ సరిహద్దు షరతుగా ϑ’’=0.

సమీకరణ (6a) యొక్క సాధారణ పరిష్కారం

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

సరిహద్దు పరిస్థితుల నుండి పొందబడుతుంది

ఈ సమాన సమీకరణల వ్యవస్థకు:

• తృణమైన పరిష్కారం A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, దీనికి ϑ=0, u’’=0 లేదా u=0 అనుగుణంగా ఉంటాయి, కాగా బీమ్ పక్కకు వంగదు.
• స్వీయ పరిష్కారాలు Δ=0 లేదా sin λ__l=0. ఈ పార్శ్వ వంకర పరిస్థితి యొక్క మూలాలు λ__l=n__π (తో n=1,2,3,∙∙∙) మరియు సంబంధిత క్రిటికల్ మోమెంట్ లోడ్లు

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

పార్శ్వ మోకరింపు యొక్క కనిష్ఠ మోమెంట్

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

n=1 వద్ద ఏర్పడుతుంది. తగిన పరిష్కారం సమీకరణం (1f) ను ఉపయోగించడం ద్వారా పొందబడుతుంది:

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) పక్కవైపు వంగుదల యొక్క ఇతర సందర్భాలు

c) వంగింపు మోమెంట్ మరియు నొక్కే బలం వల్ల పక్కకు వంగడం

Sl. 3 లో చూపిన ఉదాహరణకు N1=-D (ఒత్తిడి), p=0, ఆపై C*=0_ను ఉంచారు. అప్పుడు డిఫరెన్షియల్ సమీకరణ (5) సరళమై ఇలా ఉంటుంది

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

ఇక్కడ λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

అంతర సమీకరణ పరిష్కారం (9) మళ్లీ సమీకరణ (8) ద్వారా ఇవ్వబడింది; అయితే ఇప్పుడు λ వేరొక విలువను సూచిస్తుంది.

చిత్రం 3

ఉదాహరణ చిత్రం 3 కు, అలాగే a) లో ఉన్నట్లే, కాంటూర్ పరిస్థితులు ϑ=0 మరియు ϑ’’=0 కు z=0 మరియు z=l వద్ద వర్తిస్తాయి. అందువల్ల A1 కు సంబంధించిన షరతు సమీకరణాలు కూడా రూపపరంగా ఒకేలా ఉంటాయి, అలాగే పక్క వంకరపడటానికి షరతు Δ=sin λl=0. కీలక లోడు λl=nπ (n=1,2,3) సంబంధాన్ని తీరుస్తుంది మరియు కనిష్ఠ విలువ

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

D=0 కోసం అక్కడి నుండి సమీకరణ (8c) ప్రకారం పక్కకు వంకరపడే మోమెంట్ లభిస్తుంది, మరియు పూర్తిగా సంకోచ లోడ్ (ɱ=0) కోసం Euler-వంకరపడే బలం _DK=B(π/l)_2.

చిత్రం 3లో చూపిన సందర్భాన్ని y-z సమతలంలో అసమకేంద్ర వంగింపు అని సూచించాలి. ముందుగా పరిశీలించిన స్థిరత్వ సందర్భం, కాబట్టి, వంగింపు సమతలానికి బయటకు జరిగే వక్రీభవనం, పక్క వంగింపు u మరియు టార్షన్ _ϑ_తో సంబంధించి ఉంటుంది.

రెండు చివరలు కూడా స్థిరంగా బిగించబడి ఉంటే (ϑ=0 మరియు ϑ’=0) అప్పుడు సరిహద్దు షరతుల నుండి, Δ=0 సహాయంతో, పార్శ్వ వంగింపు షరతు లభిస్తుంది

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) అనే మూలాలతో మరియు పార్శ్వ వంకరత బలాలతో

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.