Untuk membengkok akibat lenturan, batang pada perubahan keseimbangan dibengkokkan dalam satu satah utama.
Namun terdapat juga kes kestabilan seperti itu, di mana batang, iaitu rasuk, apabila keseimbangan berubah, bukan sahaja dibengkokkan tetapi juga dipintal (raj. 60a). Pada anggota pembawa, fenomena ini dipanggil lengkokan sisi, dan pada batang yang dimampatkan, yang semasa melengkung juga terdedah kepada tork, ia disebut lengkokan akibat tork.
Bagi kedua-dua fenomena, tahap kekakuan terhadap torsi C, atau ketahanan terhadap pembengkokan C*, adalah sangat penting. Oleh itu, perubahan keseimbangan yang berkaitan dengan torsi pada asasnya boleh dipengaruhi melalui langkah-langkah yang meningkatkan kekakuan terhadap kilasan (bentuk keratan yang sesuai, rangka melintang, sokongan sisi, dan sebagainya). Sebaliknya, batang berbentuk jalur dengan keratan terbuka amat terdedah kepada lengkukan semasa torsi.
Persamaan pembezaan untuk lenturan sisi
Raj. 1a
Andaikan satu rasuk lurus mempunyai momen inersia malar yang sangat berbeza saiznya Ix >> Iy. Beban terletak dalam satah y-z- sehingga rasuk akan dibengkokkan dalam satah utama ini (u=ϑ=0). Pengalaman serta teori menunjukkan bahawa kedudukan keseimbangan ini pada mulanya stabil, tetapi untuk beban yang lebih besar ia menjadi labil. Kedudukan keseimbangan kedua ini berkaitan dengan lenturan melintang dalam u dan dengan kilasan ϑ.
Di bawah ini akan diterbitkan persamaan diferensial untuk tekukan sisi. Persamaan untuk u dan ϑ adalah homogen. Jika syarat sempadan juga homogen, maka tekukan sisi rasuk hanya mungkin untuk nilai eigen masalah, iaitu u dan ϑ pada mulanya kekal sifar bagi rasuk tanpa gangguan yang diterangkan di atas. Syarat tekukan sisi diperoleh – serupa seperti pada tekukan batang – jika ditetapkan bahawa determinan pekali bagi persamaan syarat homogen untuk pemalar integrasi adalah sama dengan sifar. Kita akan melihat bahawa walaupun pada tekukan sisi terdapat titik cabang sebenar keseimbangan elastik.
Raj. 1b
Pada raj. 1b ditunjukkan unsur rasuk dengan panjang dz. Resultan tegasan N1, Q1, M1, serta kelengkungan κ__1 bergantung pada beban dan merupakan kuantiti terhingga. Q, M, MD adalah sifar dalam kedudukan keseimbangan asal, dan hanya akan berbeza daripada sifar apabila berlaku lenturan sisi. Kuantiti terhingga, yang merujuk kepada permulaan lenturan sisi, adalah sangat kecil, begitu juga ubah bentuk yang sepadan κ dan d__ϑ/dz.
Kedua-dua keratan hujung unsur dz terletak dalam satah normal pada paksi batang yang melengkung dua kali dan akan mengalami putaran dalam satah-satah normal ini.
Oleh sebab kita – seperti dalam pengakuran batang – terutamanya berminat pada magnitud beban kritikal, iaitu permulaan pengakuran sisi, dan kurang pada magnitud ubah bentuk, maka hasil darab magnitud Q, M, MD dengan κ atau ϑ’ boleh kita abaikan sebagai kuantiti kecil tertib kedua. Oleh itu, demi penyederhanaan lanjut, kita juga akan menganggap lengkungan utama κ1 sebagai amat kecil dan ia akan diperlakukan sebagai κ dan ϑ’.
Catatan: Pengaruh κ__1 juga perlu dinilai secara teori dalam kes khas yang mudah (momen lentur malar M sebagai beban). Dalam kebanyakan keperluan kejuruteraan binaan, κ__1 boleh diabaikan. Kita boleh, misalnya, membayangkan bahawa untuk kes beban tersebut galang telah “dinaikkan” sedemikian rupa sehingga bagi beban kritikal tepat κ__1=0.
Daripada keseimbangan komponen daya dalam arah ξ, η, ζ dan syarat momen terhadap paksi yang sama, selepas pengabaian yang disebutkan di atas diperoleh
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Daripada persamaan (1c, d dan b) diperoleh
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Dengan menyingkirkan Q1 daripada pers. (1a) diperoleh
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Daripada pers. (1e) dengan itu Q akan dihapuskan, kemudian u ’’ melalui u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Untuk mendapatkan persamaan pembezaan bagi ϑ, hubungan berikut antara momen dan deformasi akan diperkenalkan
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
di mana B1=EIx dan B=EIy menandakan kekakuan terhadap lenturan rasuk, C kekakuan terhadap kilasan, dan C* rintangan terhadap melengkung. Dalam pengiraan seterusnya, kami akan mengabaikan terma dengan C* bagi memudahkan. Jika persamaan hendak digunakan, contohnya pada profil I, maka ia perlu dilengkapkan dengan sewajarnya. Mengabaikan terma v’’ bermaksud sama seperti andaian B1=∞.
Jika M dan MD disingkirkan dengan bantuan pers. 4 diperoleh persamaan pembezaan bagi lenturan sisi rasuk keratan rentas tetap
Persamaan pembezaan (5) adalah homogen dan berorde keempat terhadap ϑ. M1 ialah fungsi yang diketahui bagi z bergantung pada beban.
Rasuk dengan momen lentur tetap
Ambil bahawa p=N1=0, selain itu Mx=ɱ=const. Keratan adalah tanpa flange (padat) dan rasuknya panjang berbanding dimensi keratan rentas, sehingga kita boleh menganggap C*=0. Maka pers. (5) menjadi lebih mudah, kerana M1=ɱ, maka:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
atau dengan singkatan λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Rasuk dengan sokongan garpu pada kedua-dua hujung
Gamb. 2
Sokongan pada z=0 dan z=l adalah dalam bentuk garpu (raj. 2), yang membolehkan lenturan u dan v, tetapi menghalang putaran keratan hujung; ϑ=0. Oleh sebab dalam arah x tiada kekangan (iaitu M=0, atau menurut pers. (4) juga u’’=0), maka daripada pers. bagi u’’: MD’=0 dan dengan itu daripada pers. (4c) sebagai syarat sempadan kedua ϑ’’=0.
Penyelesaian umum pers. (6a) ialah
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Daripada syarat kontur diperoleh
Sistem persamaan homogen ini mempunyai:
- Penyelesaian remeh A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, yang sepadan dengan ϑ=0, u’’=0 atau u=0, di mana rasuk tidak membengkok ke sisi.
- Penyelesaian sendiri menurut Δ=0 atau sin λ__l=0. Akar bagi syarat lenturan sisi ini ialah λ__l=n__π (dengan n=1,2,3,∙∙∙) dan beban momen kritikal yang sepadan
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Momen lenturan sisi yang paling kecil
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
terjadi pada n=1. Penyelesaian yang sesuai diperoleh dengan penggunaan pers. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Kes-kes lain pembengkokan sisi
c) Penyelengan sisi akibat momen lentur dan daya mampatan
Untuk contoh yang ditunjukkan pada raj. 3 ialah N1=-D (mampatan), p=0, kemudian C*=0 dimasukkan. Maka persamaan pembezaan (5) dipermudahkan dan berbunyi
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
di mana λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Penyelesaian persamaan diferensial (9) diberikan lagi oleh pers. (8), cuma sekarang λ menandakan nilai yang lain.
Raj. 3
Bagi contoh raj. 3 adalah sah seperti pada a) syarat kontur ϑ=0 dan ϑ’’=0 untuk z=0 dan z=l. Oleh itu, persamaan syarat untuk A1 juga secara formal sama dan begitu juga syarat lenturan sisi Δ=sin λl=0. Beban kritikal memenuhi hubungan λl=nπ (n=1,2,3) dan nilai minimum ialah
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Untuk D=0 dari situ diperoleh momen lingkuran sisi menurut pers. (8c) dan untuk beban mampatan tulen (ɱ=0) daya lingkuran Euler _DK=B(π/l)_2.
Pada raj. 3 kes yang ditunjukkan harus ditandakan sebagai lenturan eksentrik dalam satah y-z. Oleh itu, kes kestabilan yang diperhatikan sebelum ini ialah kelengkungan keluar dari satah lenturan yang berkaitan dengan lenturan sisi u dan torsion ϑ.
Jika kedua-dua hujung dikapit (ϑ=0 dan ϑ’=0) maka daripada syarat kontur, dengan bantuan Δ=0, diperoleh syarat lengkokan sisi
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
dengan akar λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) dan daya lenturan sisi
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.