Għal buckling minħabba liwi, il-virga fil-bidla tal-ekwilibriju titgħawweġ f’wieħed mill-pjani prinċipali.
Imma hemm ukoll każijiet bħal dawn ta’ stabbiltà fejn il-virga, jiġifieri t-travu, meta tinbidel l-ekwilibriju, ma jkunux biss mgħawġa iżda wkoll imdawra (fig. 60a). Fil-każ ta’ elementi taħt kompressjoni dan il-fenomenu jissejjaħ buckling laterali, u fil-każ ta’ vireg kompressi li waqt il-buckling ikunu wkoll esposti għat-torsjoni, wieħed jitkellem dwar buckling taħt torsjoni.
Għaż-żewġ fenomeni, ta’ importanza deċiżiva hija l-valur tar-riġidità kontra t-torsjoni C, jew l-oppożizzjoni għall-liwja C*. Għalhekk, fil-bidla tal-bilanċ marbuta mat-torsjoni jista’ qabel kollox jiġi influwenzat permezz ta’ miżuri li jżidu r-riġidità kontra l-brim (forma xierqa tal-qsim, frejms trasversali, appoġġ laterali, eċċ.). Min-naħa l-oħra, il-vireg f’forma ta’ strixxa b’qasma miftuħa huma speċjalment sensittivi għall-buckling fit-torsjoni.
L-ekwazzjoni differenzjali għall-buckling laterali
Fig. 1a
Ejjew nassumu travu dritt b’mumenti ta’ inerzja kostanti ta’ daqsijiet ferm mhux ugwali Ix >> Iy. It-tagħbija tinsab fil-pjan y-z-hekk li t-travu jkun milwi f’dan il-pjan prinċipali (u=ϑ=0). L-esperjenza kif ukoll it-teorija juru li dan il-pożizzjon ta’ ekwilibriju għall-ewwel hu stabbli, iżda għal tagħbijiet akbar isir instabbli. Dan it-tieni pożizzjoni ta’ ekwilibriju hija marbuta ma’ liwi trasversali u u ma’ torsjoni ϑ.
Hawn taħt se tiġi derivata l-ekwazzjoni differenzjali għat-tgħawwiġ laterali. L-ekwazzjonijiet għal u u ϑ huma omoġenji. Jekk il-kundizzjonijiet tal-kontorn ikunu wkoll omoġenji, allura t-tgħawwiġ laterali tal-itravu huwa possibbli biss għall-valuri proprji tal-problema, jiġifieri u u ϑ jibqgħu l-ewwel żero għall-itravu deskritt hawn fuq mingħajr disturb. Il-kundizzjoni tat-tgħawwiġ laterali tinkiseb – bħalma jiġri fit-tgħawwiġ ta’ virga – billi tpoġġi d-determinant tal-koeffiċjent tal-ekwazzjonijiet kundizzjonali omoġenji għall-kostanti ta’ integrazzjoni ugwali għal żero. Se naraw li anke fit-tgħawwiġ laterali teżisti punt veru ta’ fergħat tal-ekwilibriju elastiku.
Fig. 1b
Fil-fig. 1b huwa ppreżentat element ta’ beam b’tul dz. Ir-riżultanti tal-istressi N1, Q1, M1, kif ukoll il-kurvatura κ__1 jiddependu mit-tagħbija u huma kwantitajiet finit. Q, M, MD huma żero fil-pożizzjoni ta’ bilanċ inizjali, u jiddevjaw minn żero biss meta jseħħ buckling laterali. Il-kwantitajiet limitanti, li jirreferu għall-bidu tal-buckling laterali, huma infinitament żgħar, kif ukoll id-deformazzjonijiet korrispondenti κ u d__ϑ/dz.
Iż-żewġ sezzjonijiet tat-tarf tal-element dz jinsabu f’pjan normali għall-assi doppjament mgħawġa tal-virga u jkunu mibruma f’dawn il-pjani normali.
Peress li – bħalma jiġri fil-ksewżjoni ta’ virga – fl-ewwel lok jinteressana l-kobor tat-tagħbija kritika, jiġifieri l-bidu tal-ksewżjoni laterali, u inqas il-kobor tad-deformazzjonijiet, nistgħu nħallu barra bħala kbar tat-tieni ordni l-prodotti tal-kobor Q, M, MD ma’ κ jew ϑ’. Għalhekk, għal aktar simplifikazzjoni, se nassumu wkoll li l-kurvatura prinċipali κ1 hi infinitament żgħira u se tiġi ttrattata bħal κ u ϑ’.
Nota: L-influwenza ta’ κ__1 għandha tiġi evalwata wkoll teoretikament f’każ speċjali sempliċi (mument tal-liwi kostanti M bħala tagħbija). Għall-biċċa l-kbira tal-ħtiġijiet tat-teknika tal-bini κ__1 tista’ tiġi injorata. Nistgħu, pereżempju, nimmaġinaw li l-travi għall-każ ta’ tagħbija inkwistjoni huma tant “mgħollija” li għat-tagħbija kritika proprju κ__1=0.
Mill-bilanċ tal-komponenti tal-forzi fid-direzzjonijiet ξ, η, ζ u mill-kundizzjonijiet tal-mumenti fir-rigward tal-istess assi, wara l-ommissjonijiet imsemmija, tinkiseb
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Mill-ekw. (1c, d u b) tinkiseb
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Billi jiġi eliminat Q1 mill-ekwazzjoni (1a) tinkiseb
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Mill-ekw. (1e) b’dan se jiġi eliminat Q, imbagħad u ’’ permezz ta’ u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Sabiex tinkiseb l-ekwazzjoni differenzjali għal ϑ se jiġu introdotti r-relazzjonijiet li ġejjin bejn il-mumenti u d-deformazzjonijiet
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
fejn jindika B1=EIx u B=EIy ir-riġidità kontra t-tgħawwiġ tat-travu, C ir-riġidità kontra t-torsjoni, u C* ir-reżistenza għall-imbuttar laterali. Fil-kalkoli ulterjuri tagħna se nħallu barra t-termini b’C* sabiex nissimplifikaw. Jekk l-ekwazzjonijiet għandhom jiġu applikati, pereżempju, għal profili I, ikun meħtieġ li jiġu ssupplimentati b’mod xieraq. L-injorar tat-terminu v’’ ifisser l-istess bħall-assunzjoni B1=∞.
Jekk jiġu eliminati M u MD permezz tal-eq. 4 tinkiseb l-ekwazzjoni differenzjali għat-tkebbib laterali ta’ trave b’sezzjoni kostanti
L-ekwazzjoni differenzjali (5) hija omogena u tat-tielet qawwa skont ϑ. M1 hija funzjoni magħrufa ta’ z skont it-tagħbija.
Travu b’mument ta’ liwi kostanti
Ħa jkun p=N1=0, barra minn hekk Mx=ɱ=const. Is-sezzjoni hija bla flanġ (kompatta) u l-beam hija twila meta mqabbla mad-dimensjonijiet tas-sezzjoni trasversali, għalhekk nistgħu nqisu li C*=0. Imbagħad l-ekw. (5) tissimplifika, minħabba M1=ɱ, u għalhekk:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
jew bl-abbrevjazzjoni λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Travu b’appoġġ bil-furketta fiż-żewġt itruf
Fig. 2
L-appoġġ f’z=0 u z=l ikun fil-forma ta’ furketti (fig. 2), li jippermettu t-tgħawwiġ u u v, iżda jimpedixxu r-rotazzjoni tas-sezzjonijiet tat-tarf; ϑ=0. Peress li fid-direzzjoni x m’hemmx twaħħil riġidu (jiġifieri M=0, jew skont il-form. (4) ukoll u’’=0), jirriżulta mill-form. għall-u’’: MD’=0 u b’hekk mill-form. (4c) bħala t-tieni kundizzjoni ta’ kuntorn ϑ’’=0.
Is-soluzzjoni ġenerali tal-ekw. (6a) hija
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Mill-kundizzjonijiet ta’ kontorn tinkiseb
Din is-sistema omoġenja ta’ ekwazzjonijiet għandha:
- Soluzzjoni trivjali A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, li għaliha jikkorrispondi ϑ=0, u’’=0 jew u=0, filwaqt li l-beam ma jiċċaqlaqx lateralment.
- Soluzzjonijiet proprji skont Δ=0 jew sin λ__l=0. L-għeruq ta’ dan il-kundizzjoni ta’ imbarar laterali huma λ__l=n__π (bi n=1,2,3,∙∙∙) u t-tagħbijiet kritiċi korrispondenti tal-mument
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
L-iżgħar moment tat-tgħawwiġ laterali
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
isseħħ għal n=1. Is-soluzzjoni xierqa tinkiseb bl-użu tal-ekw. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Każijiet oħra ta’ liwi laterali
c) Tgħawwiġ laterali minħabba mument ta’ liwi u forza kompressiva
Għall-eżempju muri fil-fig. 3 hemm N1=-D (pressjoni), p=0, imbagħad tpoġġa C*=0. Imbagħad l-ekw. differenzjali (5) tissimplifika u tgħid
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
fejn λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Is-soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali (9) tingħata mill-ġdid bħala ekw. (8), iżda issa λ tindika valur ieħor.
Fig. 3
Għall-eżempju fil-fig. 3 japplikaw, bħalma japplikaw ukoll għal a), il-kundizzjonijiet tal-kontorn ϑ=0 u ϑ’’=0 għal z=0 u z=l. Għaldaqstant l-ekwazzjonijiet kundizzjonali għal A1 huma formalment l-istess u wkoll il-kundizzjoni ta’ bokkla laterali Δ=sin λl=0. It-tagħbija kritika tissodisfa r-relazzjoni λl=nπ (n=1,2,3) u l-iżgħar valur huwa
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Għal D=0 minn hemm jinkiseb il-mument ta’ buckling laterali skont l-ekw. (8c) u għal tagħbija purament ta’ kompressjoni (ɱ=0) il-forza ta’ buckling ta’ Euler _DK=B(π/l)_2.
Fil-fig. 3 il-każ muri għandu jissejjaħ liwi eċċentriku fil-pjan y-z. Il-każ ta’ stabbiltà eżaminat qabel, għalhekk, huwa t-tgħawwiġ barra mill-pjan tal-liwi marbut ma’ liwi laterali u u t-torsjoni ϑ.
Jekk iż-żewġt itruf ikunu mżammna sew (ϑ=0 u ϑ’=0) allura mill-kundizzjonijiet tal-kontorn, permezz ta’ Δ=0, tinkiseb il-kundizzjoni ta’ ibbuljar laterali
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
bil-għeruq λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) u forzi ta’ tkebbib laterali
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.