Барои каҷшавӣ ҳангоми хамшавӣ, чӯб ҳангоми тағйири мувозинат дар як ҳамвори асосӣ хам мешавад.
Аммо ҳолатҳои чунин устуворӣ низ мавҷуданд, ки дар онҳо чӯб, яъне болор ҳангоми тағйири мувозинат на танҳо хам, балки печида низ мешаванд (расм 60a). Барои такягоҳҳо ин падида каҷшавии паҳлӯӣ номида мешавад, барои чӯбҳои фишурдашуда, ки ҳангоми каҷшавӣ ҳамзамон ба торсия низ дучор мешаванд, бошад, аз каҷшавӣ ҳангоми торсия сухан меравад.
Барои ҳар ду падида андозаи сахтӣ нисбат ба торсия C, яъне муқовимат ба каҷшавӣ C* аҳамияти ҳалкунанда дорад. Ба тағйири мувозинате, ки бо торсия пайваст аст, аз ин рӯ пеш аз ҳама бо чораҳое таъсир расондан мумкин аст, ки сахтӣ ба печишро зиёд мекунанд (шакли мувофиқи буриш, чорчӯбаҳои уфуқӣ, такяи паҳлӯӣ ва ғ.). Аз тарафи дигар, стерженьҳо дар шакли тасма бо буриши кушода махсусан ба хамшавӣ ҳангоми торсия ҳассос мебошанд.
Муодилаи дифференсиалӣ барои хамшавии паҳлӯӣ
Расм. 1а
Фарз мекунем, ки як болори рост моментҳои инерсияи доимии хеле нобаробар дошта бошад Ix >> Iy. Бор дар ҳамвории y-z ҷойгир аст, бинобар ин болор дар ҳамин ҳамвории асосӣ хам мешавад (u=ϑ=0). Таҷриба ва ҳамчунин назария нишон медиҳанд, ки ин ҳолати мувозинат аввал устувор аст, вале барои борҳои калонтар ноустувор мегардад. Ин ҳолати дуюми мувозинат бо хамшавии поперсионӣ дар u ва бо торсияи ϑ вобаста аст.
Дар поён муодилаи дифференсиалӣ барои каҷшавии паҳлӯӣ оварда мешавад. Муодилаҳои u ва ϑ ҳамгенаанд. Агар шартҳои контурӣ низ ҳамгена бошанд, он гоҳ каҷшавии паҳлӯии болор танҳо барои қиматҳои хусусии масъала мумкин аст, яъне u ва ϑ барои болори бевайроншудаи дар боло тавсифшуда ибтидо сифр мемонанд. Шарти каҷшавии паҳлӯӣ — монанди каҷшавии сутун — ҳосил мешавад, агар муайянкунандаи коэффисиенти муодилаҳои шартии ҳамгена барои доимии интегралӣ ба сифр баробар гирифта шавад. Мо хоҳем дид, ки ҳангоми каҷшавии паҳлӯӣ низ нуқтаи ҳақиқии шохашавии мувозинати чандирӣ вуҷуд дорад.
Тас. 1b
Дар рас. 1b элементи болор бо дарозии dz нишон дода шудааст. Результантҳои напряженияҳои N1, Q1, M1, инчунин каҷии κ__1 аз боркунӣ вобастаанд ва бузургии ниҳоӣ мебошанд. Q, M, MD дар ҳолати мувозинати ибтидоӣ ба сифр баробаранд ва танҳо ҳангоми ба амал омадани каҷшавии паҳлӯӣ аз сифр фарқ мекунанд. Бузургиҳои ниҳоӣ, ки ба оғози каҷшавии паҳлӯӣ дахл доранд, беандоза хурданд, инчунин деформатсияҳои мувофиқ κ ва d__ϑ/dz.
Ҳар ду қитъаи охирини элементи dz дар рӯйи амудӣ ба меҳвари дукарата каҷшудаи чӯб ҷой гирифтаанд ва дар ҳамин рӯйҳои амудӣ печида мешаванд.
Азбаски моро — чун дар мавриди хамшавии чӯб — пеш аз ҳама бузургии борбардории критикӣ, яъне оғози хамшавии паҳлӯӣ, ва камтар бузургии деформатсияҳо таваҷҷуҳ дорад, мо метавонем ҳосилаҳои бузургиҳои Q, M, MD бо κ ё _ϑ’_ро ҳамчун бузургиҳои хурди дараҷаи дуюм сарфи назар кунем. Аз ин рӯ, барои соддагардонии минбаъда мо каҷии асосӣ κ1 -ро низ ниҳоят хурд фарз мекунем ва он ҳамчун κ ва ϑ’ баррасӣ мешавад.
Эзоҳ: Таъсири κ__1 низ бояд ба таври назариявӣ дар ҳолати махсуси содда арзёбӣ шавад (моменти доимии хамиш M ҳамчун бор). Дар аксари ниёзҳои техникаи сохтмонӣ κ__1-ро нодида гирифтан мумкин аст. Масалан, метавон тасаввур кард, ки гӯё барои ҳолати мазкури борбардорӣ болор чунон «болоро» дода шудааст, ки барои борбардории ҳудудӣ маҳз κ__1=0.
Аз мувозинати ҷузъҳои қувваҳо дар самтҳои ξ, η, ζ ва аз шартҳои лаҳзавӣ нисбат ба ҳамон меҳварҳо, пас аз соддакуниҳои зикршуда ҳосил мешавад
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Аз муод. (1c, d ва b) ба даст меояд
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Бо ҳазфи Q1 аз муод. (1a) ба даст меояд
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Аз муод. (1e) ба ин васила Q хориҷ мешавад, сипас u ’’ тавассути u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Барои ба даст овардани муодилаи дифференсиалӣ барои ϑ муносибатҳои зерини байни моментҳо ва деформатсияҳо ҷорӣ карда мешаванд
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
ки дар он B1=EIx ва B=EIy сахтии муқобили хамшавии болорро, C сахтии муқобили тобишро ва C* муқовимати каҷшавиро нишон медиҳад. Дар ҳисобҳои минбаъдаи мо барои соддагӣ аъзои дорои C* ро ҳазф мекунем. Агар муодилаҳо, масалан, ба I-профилҳо татбиқ шаванд, онҳоро ба таври мувофиқ пурра кардан лозим аст. Нодида гирифтани аъзои v’’ ҳамон маъно дорад, ки фарзияи B1=∞.
Агар M ва MD бо ёрии муод. 4 бартараф карда шаванд, муодилаи дифференсиалӣ барои каҷшавии паҳлӯии болори буриши собит ба даст меояд
Муодилаи дифференсиалӣ (5) ҳамҷинс ва аз рӯи ϑ дараҷаи чорум аст. M1 функсияи маълум аз z вобаста ба борбардорӣ мебошад.
Тири дорои моменти доимии хамшавӣ
Бигзор p=N1=0, инчунин Mx=ɱ=const. Буриш бе фланец (фишурда) аст ва болор нисбат ба андозаҳои буриши арз дароз аст, бинобар ин метавонем гузорем, ки C*=0. Он гоҳ муод. (5) содда мешавад, аз сабаби M1=ɱ, пас:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
ё бо кӯтоҳнависии λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Болор бо такягоҳи вилкашакл дар ҳар ду канор
Расм. 2
Такя дар z=0 ва z=l дар шакли чанголҳо мебошад (рас. 2), ки хамшавии u ва v-ро иҷозат медиҳанд, аммо чархидани буришҳои охириро манъ мекунанд; ϑ=0. Азбаски дар самти x маҳкамкунӣ нест (яъне M=0, ё мувофиқи муод. (4) ҳамчунин u’’=0), аз муод. барои u’’ ҳосил мешавад: MD’_=0 ва ба ин тартиб аз муод. (4c) ҳамчун шарти дуюми канорӣ ϑ’’=0.
Ҳалли умумии муод. (6a) ин аст
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Аз шартҳои контурӣ ҳосил мешавад
Ин системаи муодилаҳои ҳамҷинс дорои:
- Ҳалли тривиалӣ A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ки ба он ϑ=0, u’’=0 ё u=0 мувофиқ аст, дар ҳоле ки болор ба паҳлӯ каҷ намешавад.
- Ҳаллиҳои худӣ мувофиқи Δ=0 ё sin λ__l=0. Решаҳои ин шарти каҷшавии паҳлӯӣ λ__l=n__π (бо n=1,2,3,∙∙∙) ва лаҳзаҳои интиқодии мувофиқ
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Лаҳзаи хурдтарини каҷшавии паҳлӯӣ
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
ба вуҷуд меояд дар n=1. Ҳалли мувофиқ бо истифодаи муод. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Ҳолатҳои дигари каҷшавии паҳлӯӣ
c) Ҷунбиши паҳлӯӣ дар натиҷаи моменти хамиш ва қувваи фишор
Барои мисоли дар рас. 3 нишон додашуда N1=-D (фишор), p=0, сипас C*=0 гузошта шудааст. Он гоҳ муодилаи дифференсиалӣ (5) содда мешавад ва чунин аст
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
где је λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Ҳалли муодилаи дифференсиалӣ (9) боз бо муод. (8) дода мешавад, танҳо ҳоло λ қимати дигарро ифода мекунад.
Рас. 3
Барои намунаи расм. 3 ҳамон тавре ки барои а) шароити контурӣ ϑ=0 ва ϑ’’=0 барои z=0 ва z=l амал мекунанд. Бинобар ин, муодилаҳои шартӣ барои A1 низ расман якхелаанд ва ҳамчунин шарти каҷшавии паҳлӯӣ Δ=sin λl=0. Боркунии критикӣ муносибати λl=nπ (n=1,2,3)-ро қонеъ мекунад ва хурдтарин қимат ин аст
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Барои D=0 аз он ҷо моменти каҷшавии паҳлӯӣ мувофиқи муод. (8c) ва барои бори комилан фишоровар (ɱ=0) қувваи каҷшавии Euler -и _DK=B(π/l)_2 ба даст меояд.
Дар рас. 3 ҳолати нишон додашуда бояд ҳамчун хамшавии эксцентрикӣ дар ҳамвори y-z номида шавад. Ҳолати устувории пештар баррасишуда, пас, каҷшавӣ аз ҳамвори хамшавӣ мебошад, ки бо хамшавии паҳлӯии u ва торсияи ϑ вобаста аст.
Агар ҳар ду нӯг маҳкам карда шуда бошанд (ϑ=0 ва ϑ’=0), пас аз шартҳои контурӣ, бо ёрии Δ=0, шарти хамшавии паҳлӯӣ ҳосил мешавад
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
бо решаҳои λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) ва қувваҳои каҷшавии паҳлӯӣ
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.