Pentru încovoierea la flambaj, bara este, la schimbarea echilibrului, îndoită într-un singur plan principal.
Dar există și astfel de cazuri de stabilitate în care bara, respectiv grinda, la schimbarea echilibrului, nu numai că se îndoaie, ci și se răsucesc (fig. 60a). La elementele portante acest fenomen se numește flambaj lateral, iar la barele comprimate, care în timpul flambajului sunt expuse și torsiunii, se vorbește despre flambaj la torsiune.
Pentru ambele fenomene este de importanță decisivă valoarea rigidității la torsiune C, respectiv rezistența la curbarea deformațională C*. Prin urmare, asupra modificării echilibrului asociate cu torsiunea se poate acționa în primul rând prin măsuri care sporesc rigiditatea la răsucire (formă corespunzătoare a secțiunii, cadre transversale, sprijinire laterală etc.). Pe de altă parte, barele în formă de bandă cu secțiune deschisă sunt deosebit de sensibile la flambaj la torsiune.
Ecuația diferențială pentru flambajul lateral
Fig. 1a
Să presupunem că o grindă dreaptă are momente de inerție constante, foarte diferite ca mărime, Ix >> Iy. Încărcarea se află în planul y-z-, astfel încât grinda va fi încovoiată în acest plan principal (u=ϑ=0). Experiența, la fel ca și teoria, arată că această poziție de echilibru este la început stabilă, dar pentru încărcări mai mari devine labilă. Această a doua poziție de echilibru este legată de încovoierea transversală în și de torsiunea ϑ.
Mai jos va fi dedusă ecuația diferențială pentru flambajul lateral. Ecuațiile pentru u și ϑ sunt omogene. Dacă și condițiile de contur sunt omogene, atunci flambajul lateral al grinzii este posibil numai pentru valorile proprii ale problemei, adică u și ϑ rămân întâi nule pentru grinda fără perturbări descrisă mai sus. Condiția de flambaj lateral se obține – asemenea cazului flambajului unei bare – dacă se impune ca determinantul coeficienților ecuațiilor condițiilor omogene pentru constantele de integrare să fie egal cu zero. Vom vedea că și la flambajul lateral există un adevărat punct de ramificare al echilibrului elastic.
Fig. 1b
În fig. 1b este prezentat elementul grinzii de lungime dz. Rezultantele tensiunilor N1, Q1, M1, precum și curbura κ__1 depind de încărcare și au mărimi finite. Q, M, MD sunt nule în poziția de echilibru inițial și vor deveni diferite de zero abia când apare flambajul lateral. Mărimile limită, care se referă la începutul flambajului lateral, sunt infinit de mici, la fel ca deformațiile corespunzătoare κ și d__ϑ/dz.
Ambele secțiuni finale ale elementului dz se află în planul normal pe axa dublu curbată a barei și vor fi răsucite în aceste plane normale.
Deoarece ne interesează în primul rând, ca și la flambajul barei, mărimea încărcării critice, deci începutul flambajului lateral, și mai puțin mărimea deformațiilor, putem neglija produsele mărimilor Q, M, MD cu κ sau ϑ’ ca mărimi mici de ordinul al doilea. Prin urmare, pentru o simplificare suplimentară, vom presupune și curbura principală κ1 ca infinit de mică și ea va fi tratată ca κ și ϑ’.
Notă: Influența de la κ__1 trebuie evaluată și teoretic în cazul special simplu (moment de încovoiere constant M ca încărcare). În majoritatea aplicațiilor tehnicii construcțiilor, κ__1 poate fi neglijat. Putem, de exemplu, să ne imaginăm că grinda pentru cazul de încărcare respectiv este atât de „suprainălțată” încât pentru încărcarea critică tocmai κ__1=0.
Din echilibrul componentelor forțelor pe direcțiile ξ, η, ζ și din condițiile de moment față de aceleași axe se obține, după neglijările menționate
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Din ecuațiile (1c, d și b) se obține
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Prin eliminarea Q1 din ecuația (1a) se obține
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Din ecuația (1e) va fi astfel eliminat Q, apoi u ’’ prin u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Pentru a obține ecuația diferențială pentru ϑ, se vor introduce următoarele relații între momente și deformări
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
unde B1=EIx și B=EIy reprezintă rigiditățile la încovoiere ale grinzii, C rigiditatea la răsucire, iar C* rezistența la curbare. În calculele noastre ulterioare vom omite termenii cu C* pentru simplificare. Dacă ecuațiile trebuie aplicate, de exemplu, la profile I, atunci este necesar să fie completate în mod corespunzător. Neglijarea termenului v’’ înseamnă același lucru cu presupunerea B1=∞.
Dacă se elimină M și MD cu ajutorul ec. 4, se obține ecuația diferențială pentru flambajul lateral al grinzii cu secțiune constantă
Ecuația diferențială (5) este omogenă și de ordinul al patrulea în ϑ. M1 este o funcție cunoscută de z, în funcție de încărcare.
Grinda cu moment de încovoiere constant
Fie p=N1=0, iar în plus Mx=ɱ=const. Secțiunea este fără flanșă (compactă), iar grinda este lungă în raport cu dimensiunile secțiunii transversale, astfel că putem pune C*=0. Atunci ecuația (5) se simplifică, din cauza M1=ɱ, și rezultă:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
sau cu abrevierea λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Grindă cu reazem cu furcă la ambele capete
Fig. 2
Reazemul la z=0 și la z=l este de tip furcă (fig. 2), care permite încovoierea u și v, dar împiedică rotirea secțiunilor terminale; ϑ=0. Deoarece pe direcția x nu există încastrare (adică M=0, sau, conform ec. (4), de asemenea u’’=0), rezultă din ec. pentru u’’: MD’=0 și, astfel, din ec. (4c) ca a doua condiție de contur ϑ’’=0.
Soluția generală a ec. (6a) este
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Din condițiile de contur se obține
Acest sistem omogen de ecuații are:
- Soluție trivială A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, căreia îi corespunde ϑ=0, u’’=0 sau u=0, iar grinda nu se răsucește lateral.
- Soluții proprii conform Δ=0 sau sin λ__l=0. Rădăcinile acestei condiții de flambaj lateral sunt λ__l=n__π (cu n=1,2,3,∙∙∙) și momentele critice corespunzătoare
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Cel mai mic moment de flambaj lateral
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
se obține pentru n=1. Soluția corespunzătoare se obține prin aplicarea ec. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Alte cazuri de flambaj lateral
c) flambaj lateral din cauza momentului de încovoiere și a forței de compresiune
Pentru exemplul prezentat în fig. 3 este N1=-D (compresiune), p=0, apoi s-a pus C*=0. Atunci ecuația diferențială (5) se simplifică și devine
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
unde λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Soluția ecuației diferențiale (9) este dată din nou prin ec. (8), numai că acum λ desemnează o altă valoare.
Fig. 3
Pentru exemplul din fig. 3 sunt valabile, ca și pentru a), condițiile de contur ϑ=0 și ϑ’’=0 pentru z=0 și z=l. Prin urmare, și ecuațiile condiționale pentru A1 sunt formal identice, la fel și condiția de flambaj lateral Δ=sin λl=0. Încărcarea critică satisface relația λl=nπ (n=1,2,3) și cea mai mică valoare este
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Pentru D=0 se obține de aici momentul flambajului lateral conform ec. (8c) și, pentru o încărcare pur compresivă (ɱ=0), forța critică Euler de flambaj _DK=B(π/l)_2.
În fig. 3 cazul prezentat trebuie notat ca încovoiere excentrică în planul y-z. Cazul de stabilitate analizat mai sus este, așadar, flambaj în afara planului de încovoiere, asociat cu încovoierea laterală u și torsiunea ϑ.
Dacă ambele capete sunt încastrate (ϑ=0 și ϑ’=0) atunci, din condițiile de contur, cu ajutorul Δ=0, se obține condiția de flambaj lateral
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
cu rădăcinile λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) și forțele de flambaj lateral
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.