Para pandeo por flexión, la barra, al cambiar el equilibrio, se flexiona en un único plano principal.
Pero también hay casos de estabilidad en los que la barra, es decir, la viga, al cambiar el equilibrio se dobla y además se retuerce (fig. 60a). En los soportes, este fenómeno se denomina pandeo lateral; en las barras comprimidas, que durante el pandeo también están sometidas a torsión, se habla de pandeo por torsión.
Para ambos fenómenos, la magnitud de la rigidez frente a la torsión C, es decir, la resistencia al alabeo C*, es de importancia decisiva. Por ello, el cambio del equilibrio asociado a la torsión puede influirse en primer lugar mediante medidas que aumentan la rigidez frente al retorcimiento (forma adecuada de la sección, marcos transversales, arriostramiento lateral, etc.). Por otra parte, las barras en forma de cinta con sección abierta son especialmente sensibles al pandeo por torsión.
Ecuación diferencial para el pandeo lateral
Fig. 1a
Supongamos que una viga recta tiene momentos de inercia constantes de magnitudes muy desiguales Ix >> Iy. La carga actúa en el plano y-z-de modo que la viga se flectará en este plano principal (u=ϑ=0). La experiencia, así como la teoría, muestran que esta posición de equilibrio es primero estable, pero que para cargas mayores se vuelve inestable. Esta segunda posición de equilibrio está vinculada con la flexión transversal en u y con la torsión ϑ.
A continuación se derivará la ecuación diferencial para el pandeo lateral. Las ecuaciones para u y ϑ son homogéneas. Si además las condiciones de contorno son homogéneas, entonces el pandeo lateral de la viga es posible solo para los valores propios del problema; es decir, u y ϑ permanecen primero nulos en la viga sin perturbaciones antes descrita. La condición de pandeo lateral se obtiene —de forma similar a como ocurre con el pandeo de una barra— si se impone que el determinante de los coeficientes de las ecuaciones homogéneas de condición para las constantes de integración sea igual a cero. Veremos que también en el pandeo lateral existe un verdadero punto de bifurcación del equilibrio elástico.
Fig. 1b
En la fig. 1b se representa un elemento de viga de longitud dz. Las resultantes de las tensiones N1, Q1, M1, así como la curvatura κ__1 dependen de la carga y son magnitudes finitas. Q, M, MD son cero en la posición de equilibrio inicial, y solo se diferenciarán de cero cuando se produzca el pandeo lateral. Las magnitudes finales, que se refieren al inicio del pandeo lateral, son infinitamente pequeñas, al igual que las deformaciones correspondientes κ y d__ϑ/dz.
Ambas secciones extremas del elemento dz se encuentran en el plano normal al eje doblemente curvado de la barra y estarán retorcidas en estos planos normales.
Como en el pandeo de una barra, en primera línea nos interesa la magnitud de la carga crítica, es decir, el inicio del pandeo lateral, y menos la magnitud de las deformaciones, podemos despreciar los productos de las magnitudes Q, M, MD con κ o ϑ’ como cantidades pequeñas de segundo orden. Por ello, para una mayor simplificación, también supondremos la curvatura principal κ1 como infinitesimal y será tratada como κ y ϑ’.
Nota: El efecto de κ__1 también debe evaluarse teóricamente en el caso especial simple (momento flector constante M como carga). En la mayoría de las necesidades de la técnica de la construcción puede despreciarse κ__1. Podemos, por ejemplo, imaginar que la viga, para el caso de carga correspondiente, está tan «sobreelevada» que para la carga crítica precisamente κ__1=0.
Del equilibrio de las componentes de las fuerzas en las direcciones ξ, η, ζ y de las condiciones de momento respecto de esos mismos ejes se obtiene, después de las simplificaciones mencionadas
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
De la ec. (1c, d y b) se obtiene
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminando Q1 de la ec. (1a) se obtiene
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
De la ecuación (1e) quedará así eliminado Q, luego u ’’ mediante u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Para obtener la ecuación diferencial para ϑ, se introducirán las siguientes relaciones entre momentos y deformaciones
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
donde representa B1=EIx y B=EIy la rigidez a la flexión de la viga, C la rigidez a la torsión, y C* la resistencia al alabeo. En nuestros cálculos posteriores omitiremos los términos con C* para simplificar. Si las ecuaciones han de aplicarse, por ejemplo, a perfiles en I, entonces es necesario completarlas de forma adecuada. Omitir el término v’’ equivale a suponer B1=∞.
Si se eliminan M y MD mediante la ecuación 4 se obtiene la ecuación diferencial para el pandeo lateral de una viga de sección constante
La ecuación diferencial (5) es homogénea y de cuarto orden respecto a ϑ. M1 es una función conocida de z en función de la carga.
Viga con momento flector constante
Sea p=N1=0, además Mx=ɱ=const. La sección es sin ala (maciza) y la viga es larga en relación con las dimensiones de la sección transversal, de modo que podemos poner C*=0. Entonces se simplifica la ecuación (5), debido a M1=ɱ, y queda:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
o con la abreviatura λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Viga con apoyo de horquilla en ambos extremos
Fig. 2
El apoyo en z=0 y z=l es en forma de horquillas (fig. 2), que permiten las flechas u y v, pero impiden la rotación de las secciones extremas; ϑ=0. Como en la dirección x no hay empotramiento (es decir, M=0, o según la ec. (4) también u’’=0), se desprende de la ec. para u’’: MD’=0 y, por tanto, de la ec. (4c) como segunda condición de contorno ϑ’’=0.
La solución general de la ec. (6a) es
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
De las condiciones de contorno se obtiene
Este sistema homogéneo de ecuaciones tiene:
- Solución trivial A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, a la que corresponde ϑ=0, u’’=0 o u=0, sin que la viga se pandee lateralmente.
- Soluciones propias según Δ=0 o sin λ__l=0. Las raíces de esta condición de pandeo lateral son λ__l=n__π (con n=1,2,3,∙∙∙) y las correspondientes cargas críticas de momento
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Momento mínimo de pandeo lateral
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
se produce en n=1. La solución correspondiente se obtiene mediante la ec. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Otros casos de pandeo lateral
c) Pandeo lateral debido al momento flector y a la fuerza de compresión
Para el ejemplo mostrado en la fig. 3 se tiene N1=-D (compresión), p=0, y luego se toma C*=0. Entonces la ecuación diferencial (5) se simplifica y queda
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
donde λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
La solución de la ecuación diferencial (9) viene dada de nuevo por la ec. (8), solo que ahora λ designa otro valor.
Fig. 3
Para el ejemplo de la fig. 3 son válidas, como en a), las condiciones de contorno ϑ=0 y ϑ’’=0 para z=0 y z=l. Por tanto, también las ecuaciones condicionales para A1 son formalmente iguales, así como la condición de pandeo lateral Δ=sin λl=0. La carga crítica satisface la relación λl=nπ (n=1,2,3) y el valor mínimo es
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Para D=0 se obtiene de ahí el momento de pandeo lateral según la ec. (8c) y para carga puramente compresiva (ɱ=0) la fuerza de pandeo de Euler- _DK=B(π/l)_2.
En la fig. 3 el caso representado debe designarse como flexión excéntrica en el plano y-z. El caso de estabilidad considerado anteriormente es, por tanto, pandeo fuera del plano de flexión, relacionado con la flexión lateral u y la torsión ϑ.
Si ambos extremos están empotrados (ϑ=0 y ϑ’=0) entonces, a partir de las condiciones de contorno, mediante Δ=0, se obtiene la condición de pandeo lateral
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
con raíces λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) y fuerzas de pandeo lateral
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.