Đối với uốn dọc do uốn, thanh ở trạng thái cân bằng thay đổi bị uốn trong một mặt phẳng chính.
Nhưng cũng có những trường hợp ổn định như vậy mà thanh, tức dầm, khi mất cân bằng không chỉ bị uốn mà còn bị xoắn (hình 60a). Đối với kết cấu chịu lực, hiện tượng này gọi là oằn ngang, còn đối với các thanh bị nén, khi oằn cũng đồng thời chịu xoắn, thì gọi là oằn do xoắn.
Đối với cả hai hiện tượng, độ cứng chống xoắn C, tức là khả năng chống cong vênh C*, có ý nghĩa quyết định. Vì vậy, sự thay đổi trạng thái cân bằng gắn với xoắn trước hết có thể được tác động bằng các biện pháp làm tăng độ cứng chống xoắn (hình dạng tiết diện thích hợp, khung ngang, chống đỡ bên, v.v.). Mặt khác, các thanh dạng băng có tiết diện hở đặc biệt nhạy cảm với sự mất ổn định khi xoắn.
Phương trình vi phân cho sự oằn ngang
Hình. 1a
Giả sử một dầm thẳng có mômen quán tính không đổi với độ chênh lệch rất lớn Ix >> Iy. Tải trọng nằm trong mặt phẳng y-z- nên dầm sẽ bị uốn trong mặt phẳng chính này (u=ϑ=0). Kinh nghiệm cũng như lý thuyết cho thấy vị trí cân bằng này ban đầu ổn định, nhưng với tải trọng lớn hơn thì trở nên mất ổn định. Trạng thái cân bằng thứ hai này gắn với uốn ngang theo u và với xoắn ϑ.
Dưới đây sẽ trình bày phương trình vi phân cho hiện tượng oằn ngang. Các phương trình cho u và ϑ là đồng nhất. Nếu cả điều kiện biên cũng đồng nhất thì hiện tượng oằn ngang của dầm chỉ có thể xảy ra đối với các giá trị riêng của bài toán, tức là u và ϑ trước hết vẫn bằng không đối với dầm không bị nhiễu loạn đã mô tả ở trên. Điều kiện oằn ngang được thu nhận – tương tự như trường hợp oằn của thanh – khi đặt định thức của các hệ số trong các phương trình điều kiện đồng nhất đối với các hằng số tích phân bằng không. Ta sẽ thấy rằng ngay cả trong hiện tượng oằn ngang cũng tồn tại một điểm phân nhánh thực sự của cân bằng đàn hồi.
Hình 1b
Ở hình 1b trình bày phần tử dầm có chiều dài dz. Các hợp lực của ứng suất N1, Q1, M1, cũng như độ cong κ__1 phụ thuộc vào tải trọng và là các đại lượng hữu hạn. Q, M, MD bằng không ở vị trí cân bằng ban đầu, và chỉ khác không khi xảy ra mất ổn định uốn ngang. Các đại lượng hữu hạn, liên quan đến sự bắt đầu của uốn ngang, là vô cùng nhỏ, cũng như các biến dạng tương ứng κ và d__ϑ/dz.
Cả hai mặt cắt đầu của phần tử dz đều nằm trong mặt phẳng pháp tuyến với trục kép cong của thanh và sẽ bị xoắn trong các mặt phẳng pháp tuyến này.
Vì vậy, giống như trong hiện tượng uốn cong của thanh, điều chúng ta quan tâm trước hết là giá trị của tải trọng tới hạn, tức là sự bắt đầu của hiện tượng uốn bên, còn giá trị biến dạng thì ít quan trọng hơn, nên chúng ta có thể bỏ qua tích của các đại lượng Q, M, MD với κ hoặc ϑ’ như là các đại lượng nhỏ bậc hai. Do đó, để đơn giản hóa thêm, chúng ta cũng giả thiết độ cong chính κ1 là vô cùng nhỏ và sẽ được xử lý như κ và ϑ’.
Lưu ý: Ảnh hưởng của κ__1 cũng có thể được đánh giá về mặt lý thuyết trong một trường hợp đặc biệt đơn giản (mô men uốn không đổi M làm tải trọng). Trong phần lớn các nhu cầu của kỹ thuật xây dựng, κ__1 có thể bỏ qua. Chẳng hạn, có thể hình dung rằng dầm cho trường hợp tải trọng này được “độ vồng” như vậy, đến mức đối với tải trọng tới hạn thì chính κ__1=0.
Từ cân bằng các thành phần lực theo các phương ξ, η, ζ và từ các điều kiện mômen đối với chính các trục đó, sau những bỏ qua đã nêu ta thu được
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Từ các pt. (1c, d i b) thu được
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Bằng cách khử Q1 khỏi phương trình (1a) thu được
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Từ phương trình (1e) sẽ loại bỏ được Q, sau đó u ’’ thông qua u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Để thu được phương trình vi phân cho ϑ sẽ đưa vào các mối quan hệ sau giữa mômen và biến dạng
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
trong đó biểu thị B1=EIx và B=EIy là độ cứng chống uốn của dầm, C là độ cứng chống xoắn, còn C* là sức kháng uốn vênh. Trong các tính toán tiếp theo, chúng ta sẽ bỏ qua các hạng tử chứa C* để đơn giản hóa. Nếu các phương trình được áp dụng chẳng hạn cho các tiết diện chữ I thì cần hiệu chỉnh chúng cho phù hợp. Việc bỏ qua hạng tử v’’ cũng có nghĩa như giả thiết B1=∞.
Nếu khử M và MD bằng phương trình 4 thì thu được phương trình vi phân cho uốn ngang của dầm có tiết diện không đổi
Phương trình vi phân (5) là đồng nhất và bậc bốn theo ϑ. M1 là hàm đã biết của z phụ thuộc vào tải trọng.
Dầm có mômen uốn không đổi
Giả sử p=N1=0, ngoài ra Mx=ɱ=const. Tiết diện không có bản cánh (nén chặt) và dầm dài so với kích thước của tiết diện ngang, vì vậy có thể đặt C*=0. Khi đó phương trình (5) được đơn giản hóa, do M1=ɱ, nên:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
hoặc với ký hiệu rút gọn λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Dầm có gối chạc ở cả hai đầu
Hình 2
Liên kết tại z=0 và z=l là dạng càng (hình 2), cho phép độ võng u và v, nhưng ngăn không cho các tiết diện đầu quay; ϑ=0. Vì theo phương x không có ngàm (tức là M=0, hoặc theo công thức (4) cũng u’’=0), suy ra từ công thức cho u’’: MD’=0 và do đó từ công thức (4c) với tư cách là điều kiện biên thứ hai ϑ’’=0.
Nghiệm tổng quát của pt. (6a) là
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Từ các điều kiện biên thu được
Hệ phương trình đồng nhất này có:
- Nghiệm tầm thường A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, tương ứng với ϑ=0, u’’=0 hoặc u=0, trong đó dầm không bị uốn ngang.
- Nghiệm riêng theo Δ=0 hoặc sin λ__l=0. Các nghiệm của điều kiện mất ổn định bên là λ__l=n__π (với n=1,2,3,∙∙∙) và các mômen tới hạn tương ứng
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Mômen uốn ngang nhỏ nhất
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
xảy ra tại n=1. Nghiệm tương ứng thu được bằng cách áp dụng pt. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Các trường hợp khác của hiện tượng oằn ngang
c) Oằn ngang do mômen uốn và lực nén
Với ví dụ được trình bày ở hình 3, thì N1=-D (nén), p=0, sau đó đặt C*=0. Khi đó phương trình vi phân (5) được đơn giản hóa và có dạng
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
trong đó λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Lời giải của phương trình vi phân (9) lại được cho bởi pt. (8), nhưng lúc này λ biểu thị một giá trị khác.
Hình 3
Đối với ví dụ ở hình 3 cũng như ở mục a), các điều kiện biên là ϑ=0 và ϑ’’=0 đối với z=0 và z=l. Vì vậy, các phương trình điều kiện cho A1 về mặt hình thức cũng giống nhau, và điều kiện oằn ngang Δ=sin λl=0. Tải trọng tới hạn thỏa mãn quan hệ λl=nπ (n=1,2,3) và giá trị nhỏ nhất là
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Đối với D=0 suy ra mômen uốn ngang theo công thức (8c) và đối với tải trọng nén thuần túy (ɱ=0) lực mất ổn định Euler-ova _DK=B(π/l)_2.
Ở hình 3 trường hợp được trình bày cần được gọi là uốn lệch tâm trong mặt phẳng y-z. Trường hợp ổn định đã xét ở trên, do đó, là hiện tượng cong khỏi mặt phẳng uốn, kết hợp với uốn ngang u và xoắn ϑ.
Nếu cả hai đầu đều bị ngàm cứng (ϑ=0 và ϑ’=0) thì từ các điều kiện biên, thông qua Δ=0, thu được điều kiện oằn ngang
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
với các nghiệm λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) và các lực uốn ngang
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.