សម្រាប់ buckling due to bending ដងនៅពេលស្ថានភាពសមតុល្យផ្លាស់ប្តូរ ត្រូវបានបត់នៅក្នុងប្លង់មេមួយ។
ប៉ុន្តែ ក៏មានករណីស្ថិរភាពដូច្នេះផងដែរ ដែលដំបង ឬធ្នឹម ពេលមានការប្រែប្រួលសមតុល្យ មិនត្រឹមតែពត់ប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងបត់បែនជុំវិញផងដែរ (រូប 60a)។ ចំពោះសសរ បាតុភូតនេះហៅថា ការបត់ខាងចំហៀង ខណៈពេលចំពោះដំបងដែលទទួលសំពាធ ហើយក្នុងពេលបត់ក៏ទទួលតូរ្ស្យុងផងដែរ គេនិយាយថាជា ការបត់ក្រោមតូរ្ស្យុង។
សម្រាប់បាតុភូតទាំងពីរ ទំហំភាពរឹងទប់នឹងតอร์ស្យុង C គឺមានសារៈសំខាន់ជាខ្លាំង ផងដែរ ការទប់ទល់នឹងការកោង C*. ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរសមតុល្យដែលពាក់ព័ន្ធនឹងត័រស្យុង អាចត្រូវបានមានឥទ្ធិពលជាដំបូងតាមរយៈវិធានការដែលបង្កើនភាពរឹងទប់នឹងការបត់បែនដោយបង្វិល (ទម្រង់ផ្ទៃកាត់សមស្រប ស៊ុមឆ្លងកាត់ ការទ្រាំទ្រចំហៀង ជាដើម)។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើមទ្រង់ទ្រាយជាបន្ទះ ដែលមានផ្ទៃកាត់បើក មានភាពងាយរងការវិលខ្លាំងជាពិសេសនៅពេលត័រស្យុង។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ការបែកបាក់ចំហៀង
រូប 1a
សន្មត់ថា ធ្នឹមត្រង់មួយមានម៉ូម៉ង់អ៊ីនឺរស្យាថេរ ដែលមានតម្លៃខុសគ្នាខ្លាំងណាស់ Ix >> Iy. បន្ទុកស្ថិតនៅក្នុងផ្ទៃ y-z- ដូច្នេះធ្នឹមនឹងកោងនៅក្នុងផ្ទៃមេនេះ (u=ϑ=0). បទពិសោធន៍ក៏ដូចជាទ្រឹស្តីបង្ហាញថា ទីតាំងសមតុល្យនេះដំបូងមានស្ថេរភាព ប៉ុន្តែនៅពេលបន្ទុកកាន់តែធំ វាក្លាយជាមិនស្ថេរភាព។ ទីតាំងសមតុល្យទីពីរនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការបត់បែនឆ្លងកាត់ក្នុង និងការបង្វិល ϑ។
ខាងក្រោមនឹងបង្ហាញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ការពត់ខ្ទង់ចំហៀង។ សមីការសម្រាប់ u និង ϑ ជាសមីការស្មើសូន្យ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌព្រំដែនក៏ជាសូន្យដែរ នោះការពត់ខ្ទង់ចំហៀងនៃធ្នឹមអាចកើតឡើងបានតែសម្រាប់តម្លៃផ្ទាល់ខ្លួននៃបញ្ហាប៉ុណ្ណោះ មានន័យថា u និង ϑ នៅតែដំបូងសូន្យ សម្រាប់ធ្នឹមដែលបានពិពណ៌នាខាងលើដោយគ្មានការរំខាន។ លក្ខខណ្ឌនៃការពត់ខ្ទង់ចំហៀងត្រូវបានទទួល - ស្រដៀងនឹងករណីការពត់ដំបង - ដោយដាក់ឲ្យឌីតឺម៉ង់នង់ត៍នៃមេគុណនៃសមីការលក្ខខណ្ឌស្មើសូន្យសម្រាប់អថេរចម្រុះ មានតម្លៃសូន្យ។ យើងនឹងឃើញថា ទោះបីក្នុងការពត់ខ្ទង់ចំហៀង ក៏មានចំណុចបែងចែកពិតប្រាកដនៃតុល្យភាពអេលាស្ទិកផងដែរ។
រូប 1b
នៅក្នុងរូប. 1b បង្ហាញធាតុនៃធ្នឹមប្រវែង dz។ ផលបូកសរុបនៃសម្ពាធ N1, Q1, M1, ក៏ដូចជាកោង κ__1 អាស្រ័យលើបន្ទុក និងជាទំហំចុងក្រោយ។ Q, M, MD ស្មើសូន្យនៅក្នុងទីតាំងតុល្យភាពដើម ហើយនឹងខុសពីសូន្យតែនៅពេលការខ្ទប់ចំហៀងកើតឡើងប៉ុណ្ណោះ។ ទំហំចុងក្រោយដែលទាក់ទងនឹងការចាប់ផ្តើមនៃការខ្ទប់ចំហៀង គឺតូចអនន្តដូចគ្នាជាមួយនឹងការប្រែប្រួលពាក់ព័ន្ធ κ និង d__ϑ/dz។
ផ្នែកកាត់ចុងទាំងពីរនៃធាតុ dz ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ធម្មតាទៅនឹងអ័ក្សដំបងដែលកោងទ្វេ និងនឹងត្រូវបានបត់នៅក្នុងប្លង់ធម្មតាទាំងនេះ។
ដោយសារយើង – ដូចក្នុងករណីការងើបដំបង – ជាចម្បងយើងចាប់អារម្មណ៍លើទំហំបន្ទុកវិបត្តិ នោះគឺការចាប់ផ្តើមនៃការងើបចំហៀង ហើយមិនសូវលើទំហំការប្រែរូប ទេ ដូច្នេះយើងអាចមើលរំលងផលគុណរវាងទំហំ Q, M, MD ជាមួយ κ ឬ ϑ’ ដោយចាត់ទុកវាជាទំហំលំដាប់ទីពីរតូច។ ដូច្នេះ ដើម្បីឲ្យកាន់តែងាយស្រួលបន្តទៀត យើងក៏នឹងសន្មត់ភាពកោងសំខាន់ κ1 ថាជាតូចអនន្ត និងនឹងត្រូវបានគេចាត់ទុកដូចជា κ និង ϑ’។
កំណត់ចំណាំ៖ ឥទ្ធិពលពី κ__1 ក៏ត្រូវបានវាយតម្លៃតាមទ្រឹស្តីក្នុងករណីពិសេសងាយស្រួលមួយផងដែរ (មូម៉ង់បត់កោងថេរ M ជាបន្ទុក)។ សម្រាប់តម្រូវការភាគច្រើននៃវិស្វកម្មសំណង់ អាចមើលរំលង κ__1 បាន។ ឧទាហរណ៍ យើងអាចស្រមៃថា ធ្នឹមសម្រាប់ករណីបន្ទុកនោះ ត្រូវបាន «លើកឲ្យខ្ពស់» ដូច្នេះសម្រាប់បន្ទុកវិគ្រោះ គឺ κ__1=0។
ពីតុល្យភាពនៃអង្គធាតុកម្លាំងតាមទិស ξ, η, ζ និងលក្ខខណ្ឌម៉ូម៉ង់ចំពោះអ័ក្សដូចគ្នា ក្រោយការមើលរំលងដែលបានលើកឡើង គេទទួលបាន
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
ពីសមីការ (1c, d និង b) ទទួលបាន
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
ដោយការលុប Q1 ចេញពីសមីការ (1a) ទទួលបាន
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
ពីសមីការ (1e) នឹងត្រូវលុបចេញ Q ដូច្នេះ u ’’ តាមរយៈ u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
ដើម្បីទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ ϑ នឹងបញ្ចូលទំនាក់ទំនងខាងក្រោមរវាងម៉ូម៉ង់ និងការប្រែរូប
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
ដែលបង្ហាញថា B1=EIx និង B=EIy គឺជាភាពរឹងទ្រាំប្រឆាំងនឹងការកោងរបស់ធ្នឹម, C ជាភាពរឹងទ្រាំប្រឆាំងនឹងការបង្វិល, ហើយ C* ជាភាពធន់ទ្រាំប្រឆាំងនឹងការបែកកោង។ ក្នុងការគណនាបន្តរបស់យើង យើងនឹងលុបចោលសមាសធាតុដែលមាន C* ដើម្បីងាយស្រួល។ ប្រសិនបើត្រូវអនុវត្តសមីការទៅលើឧ. I-profile នោះ ចាំបាច់ត្រូវបន្ថែមវាឲ្យសមស្រប។ ការមិនគិតសមាសធាតុ v’’ មានន័យដូចគ្នានឹងសន្មត់ថា B1=∞។
បើ M និង MD ត្រូវបានលុបចោលដោយប្រើសមីការ 4 នោះទទួលបាន សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ការកោងបត់ទៅចំហៀង នៃធ្នឹមដែលមានផ្នែកកាត់ថេរ
Диференцијална једначина (5) је хомогена и четвртог реда по ϑ. M1 је позната функција од z у зависности од оптерећења.
ធ្នឹមដែលមានម៉ូម៉ង់ពត់ថេរ
ឲ្យ p=N1=0 ហើយម្យ៉ាងទៀត Mx=ɱ=const។ ផ្នែកកាត់គ្មានផ្លាំង (បង្រួម) ហើយធ្នឹមវែងទាក់ទងនឹងវិមាត្រនៃផ្នែកកាត់ ដូច្នេះយើងអាចដាក់ថា C*=0។ បន្ទាប់មក សមីការ (5) ត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ដោយសារ M1=ɱ ដូច្នេះ៖
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
ឬជាមួយអក្សរកាត់ λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) ធ្នឹមមានទ្រនាប់សម្របជាសមិត្រនៅចុងទាំងពីរ
រូបភាព។ 2
ការទ្រទ្រាយនៅ z=0 និង z=l គឺក្នុងទម្រង់ជាសម (ស. 2), ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមានការបត់បែន u និង v, ប៉ុន្តែរារាំងការបង្វិលនៃផ្នែកកាត់ចុងក្រោយ; ϑ=0. ដោយសារតែក្នុងទិស x មិនមានការចាប់ជាប់ (មានន័យថា M=0, ឬតាមសមីការ (4) ក៏ u’’=0), ដូច្នេះពីសមីការសម្រាប់ u’’: MD’=0 និងហេតុនេះពីសមីការ (4c) ជាលក្ខខណ្ឌព្រំដែនទីពីរ ϑ’’=0.
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ (6a) គឺ
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
ពីលក្ខខណ្ឌគែមទទួលបាន
ប្រព័ន្ធសមីការឯកសណ្ឋាននេះមាន៖
- ដំណោះស្រាយសាមញ្ញ A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ដែលសមស្របនឹង ϑ=0, u’’=0 ឬ u=0, ដោយធ្នឹមមិនបត់ចេញទៅខាងចំហៀង។
- ដំណោះស្រាយផ្ទាល់ខ្លួន តាម Δ=0 ឬ sin λ__l=0. ឫសនៃលក្ខខណ្ឌបត់ចំហៀងនេះ គឺ λ__l=n__π (ដោយមាន n=1,2,3,∙∙∙) ហើយបន្ទុកម៉ូម៉ង់វិបត្តិដែលសមស្រប
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
ម៉ូម៉ង់តូចបំផុតនៃការបត់ចំហៀង
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
កើតឡើងនៅ n=1។ ដំណោះស្រាយសមស្របគឺដោយប្រើសមីការ (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) ករណីផ្សេងទៀតនៃការទ្រេតចំហៀង
c) ការបាក់បែកទៅចំហៀង ដោយសារម៉ូម៉ង់បត់ និងកម្លាំងបង្ហាប់
សម្រាប់ឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប 3 គឺ N1=-D (សម្ពាធ), p=0, បន្ទាប់មកបានដាក់ C*=0។ បន្ទាប់មក សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (5) ត្រូវបានធ្វើឲ្យសាមញ្ញ ហើយមានទម្រង់
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
នៅទីនេះ λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (9) ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (8) ម្តងទៀត ប៉ុន្តែពេលនេះ λ បង្ហាញតម្លៃទីពីរ។
រូប 3
ឧទាហរណ៍ សូមមើលរូបភាព 3 ដូចគ្នានឹង a) លក្ខខណ្ឌជុំវិញ ϑ=0 និង ϑ’’=0 សម្រាប់ z=0 និង z=l។ ដូច្នេះ សមីការលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ A1 ក៏មានទម្រង់ដូចគ្នាផងដែរ ហើយលក្ខខណ្ឌនៃការពត់ចំហៀង Δ=sin λl=0 ក៏ដូចគ្នា។ បន្ទុកសំខាន់បំផុតបំពេញទំនាក់ទំនង λl=nπ (n=1,2,3) ហើយតម្លៃតូចបំផុតគឺ
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
សម្រាប់ D=0 ពីទីនោះទទួលបានម៉ូម៉ង់នៃការបែកបាក់ចំហៀង តាមសមីការ (8c) ហើយសម្រាប់បន្ទុកបង្ហាប់សុទ្ធ (ɱ=0) កម្លាំងបែកបាក់របស់ Euler _DK=B(π/l)_2.
នៅក្នុងរូប. 3 ករណីដែលបានបង្ហាញ ត្រូវតែសម្គាល់ថាជាការបត់អេសសង់ទ្រីកនៅក្នុងប្លង់ y-z។ ដូច្នេះ ករណីស្ថេរភាពដែលបានពិនិត្យមុន គឺការកោងចេញពីប្លង់បត់ ដែលភ្ជាប់ជាមួយការបត់ខាងចំហៀង u និងការបង្វិល ϑ។
ប្រសិនបើចុងទាំងពីរត្រូវបានចាក់ជាប់ (ϑ=0 និង ϑ’=0) នោះពីលក្ខខណ្ឌខ្សែព្រំ ដោយប្រើ Δ=0 នឹងទទួលបានលក្ខខណ្ឌនៃការរមួលខាងឆ្វេង
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
ដែលមានឫស λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) និងកម្លាំងបត់ទៅចំហៀង
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.