Ar gyfer bwlcio wrth blygu mae’r rhoden, wrth newid cydbwysedd, yn plygu mewn un prif blân.
Ond ceir hefyd achosion o sefydlogrwydd lle mae’r wialen, hynny yw’r trawst, wrth newid cydbwysedd nid yn unig yn plygu ond hefyd yn troelli (ffig. 60a). Yn achos cludwyr, gelwir y ffenomen hon yn ysgyrriad ochrol, ac yn achos gwiail cywasgedig, sydd wrth ysgyrriad hefyd yn destun troelli, sonnir am ysgyrriad dan droelli.
Ar gyfer y ddau ffenomen mae maint yr anhyblygedd yn erbyn trwchdroi C, neu’r gwrthiant i ystwytho C*, yn hollbwysig. Felly gellir effeithio’n bennaf ar newid y cydbwysedd sy’n gysylltiedig â thrwchdroi trwy fesurau sy’n cynyddu’r anhyblygedd yn erbyn troelli (siâp trawstoriad priodol, fframiau traws, cynhaliaeth ochrol ac ati). Ar y llaw arall, mae bariau ar ffurf stribed gyda thrawstoriad agored yn arbennig o agored i blygu wrth drwchdroi.
Hafaliad gwahaniaethol ar gyfer plygu ochrol
Ffig. 1a
Tybiwn fod gan drawst syth fomentau anadweithiol cyson o feintiau gwahanol iawn Ix >> Iy. Mae’r llwyth yn gorwedd yn yr awyren y-z-fel y bydd y trawst yn cael ei blygu yn y brif awyren hon (u=ϑ=0). Dengys profiad a damcaniaeth fod y sefyllfa ecwilibriwm hon yn sefydlog i ddechrau, ond ei bod yn mynd yn ansefydlog ar gyfer llwythi mwy. Mae’r ail safle ecwilibriwm hwn yn gysylltiedig â phlygu traws yn u ac â throelli ϑ.
Isod deillidir yr hafaliad differential ar gyfer bwcio ochrol. Mae’r hafaliadau ar gyfer u a ϑ yn homogenaidd. Os yw’r amodau ar y ffin yn homogenaidd hefyd, yna dim ond ar gyfer gwerthoedd eigen y broblem y mae bwcio ochrol y trawst yn bosibl, h.y. mae u a ϑ yn aros yn gyntaf yn sero ar gyfer y trawst heb aflonyddwch a ddisgrifiwyd uchod. Ceir yr amod bwcio ochrol — yn debyg i achos bwcio gwialen — os gosodir bod y determinyn o’r cyfernodau yn yr hafaliadau amodol homogenaidd ar gyfer y cysonion integreiddio yn hafal i sero. Cawn weld bod pwynt canghennu gwirioneddol ecwilibriwm elastig hefyd yn bodoli mewn bwcio ochrol.
Ffig. 1b
Ar ffig. 1b dangosir elfen trawst o hyd dz. Mae’r canlyniadau straen N1, Q1, M1, yn ogystal â’r crymedd κ__1 yn dibynnu ar y llwyth ac yn faintau terfynol. Q, M, MD yw sero yn y safle ecwilibriwm gwreiddiol, a dim ond pan ddigwydd bwciad ochrol y byddant yn wahanol i sero. Mae’r meintiau terfynol sy’n ymwneud â dechrau’r bwciad ochrol yn anfeidrol fach, fel y mae’r anffurfiannau cyfatebol κ a d__ϑ/dz.
Mae’r ddwy groestoriad terfynol o’r elfen dz yn gorwedd yn y plân arferol i echel y wialen ddwbl-grom ac fe’u troir yn y plânau arferol hyn.
Gan mai’r peth sy’n ein diddori yn y lle cyntaf – fel yn achos plygiant bar – yw maint y llwyth critigol, h.y. dechrau’r plygiant ochrol, ac yn llai maint y dadffurfiadau, gallwn esgeuluso cynhyrchion y meintiau Q, M, MD gyda κ neu ϑ’ fel meintiau bach o’r ail drefn. Felly, er mwyn symleiddio ymhellach, tybiwn hefyd fod y prif gromlin κ1 yn ddiffeithrwch bach anfeidrol a bydd yn cael ei thrin fel κ a ϑ’.
Nodyn: dylid hefyd asesu dylanwad κ__1 yn ddamcaniaethol yn yr achos arbennig syml (moment plygu gyson M fel llwyth). Yn y rhan fwyaf o anghenion peirianneg adeiladu gellir anwybyddu κ__1. Gellir dychmygu, er enghraifft, fel pe bai’r trawst ar gyfer y llwyth penodol hwnnw wedi’i “or-uchelio” fel bod, ar gyfer y llwyth critigol, yn union κ__1=0.
O gydbwysedd cydrannau’r grymoedd i gyfeiriadau ξ, η, ζ ac amodau momentau mewn perthynas â’r un echelinau ceir ar ôl y hepgoriadau a grybwyllwyd
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
O haf. (1c, d a b) ceir
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Drwy ddileu Q1 o haf. (1a) ceir
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
O’r hafaliad. (1e) bydd Q felly’n cael ei ddileu, ac yna u ’’ trwy u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Er mwyn cael yr hafaliad gwahaniaethol ar gyfer ϑ bydd y perthnasoedd canlynol rhwng y momentau a’r anffurfiadau yn cael eu cyflwyno
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
lle mae B1=EIx a B=EIy yn dynodi anystwythder y trawst yn erbyn plygu, C yr anystwythder yn erbyn troelli, a C* y gwrthiant i grymu. Yn ein cyfrifiadau pellach byddwn yn hepgor y termau gyda C* er mwyn symleiddio. Os yw’r hafaliadau i’w cymhwyso, er enghraifft, i broffiliau I, yna rhaid eu hategu mewn modd priodol. Mae anwybyddu’r term v’’ yn golygu’r un peth â thybio B1=∞.
Os dileir M a MD drwy gyfrwng haf. 4 ceir hafaliad gwahaniaethol ar gyfer plygu ochrol trawst o drawstoriad cyson
Mae’r hafaliad gwahaniaethol (5) yn homogenaidd ac o’r pedwerydd trefn o ran ϑ. Mae M1 yn swyddogaeth hysbys o z yn dibynnu ar y llwyth.
Trawst â moment plygu gyson
Gadewch i p=N1=0, ac ar ben hynny Mx=ɱ=const. Mae’r trawsdoriad heb fflans (wedi’i gywasgu) ac mae’r trawst yn hir o’i gymharu â dimensiynau’r trawsdoriad, fel y gallwn gymryd bod C*=0. Yna caiff yr hafaliad (5) ei symleiddio, oherwydd M1=ɱ, ac felly:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
neu gyda’r talfyriad λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Trawst â chynhalydd ffyrc ar y ddau ben
Ffig. 2
Cefnogaeth yn z=0 a z=l ar ffurf ffyrc (ffig. 2), sy’n caniatáu gwyriadau u ac v, ond sy’n atal troi’r trawstoriadau terfynol; ϑ=0. Gan nad oes clampio i’r cyfeiriad x (h.y. M=0, neu yn ôl haf. (4) hefyd u’’=0), daw o haf. ar gyfer u’’: MD’=0 ac felly o haf. (4c) fel amod ffin arall ϑ’’=0.
Yr ateb cyffredinol i hafaliad (6a) yw
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Ceir o’r amodau cyfuchlinol
Mae’r system homogenaidd hon o hafaliadau yn cynnwys:
- Datrysiad dibwys A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, y mae ϑ=0, u’’=0 neu u=0 yn cyfateb iddo, ac nid yw’r trawst yn bwclio i’r ochr.
- Atebion hunanol yn ôl Δ=0 neu sin λ__l=0. Mae gwreiddiau’r amod hwn ar gyfer bwclo ochrol yn λ__l=n__π (gyda n=1,2,3,∙∙∙) a’r llwythi moment critigol cyfatebol
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Mwyafswm lleiaf o eiliad plygu ochrol
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
yn digwydd ar n=1. Y datrysiad cyfatebol ceir drwy gymhwyso haf. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Achosion eraill o izvijanje llateral
c) Ochrol buckling o ganlyniad i foment plygu a grym cywasgol
Ar gyfer yr enghraifft a ddangosir yn ffig. 3 mae N1=-D (gwasgedd), p=0, yna rhoddwyd C*=0. Yna mae’r hafaliad gwahaniaethol (5) yn symleiddio ac yn darllen
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
lle mae λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Mae datrysiad yr hafaliad differol (9) yn cael ei roi eto gan haf. (8), dim ond bod λ bellach yn dynodi gwerth arall.
Ffig. 3
Ar gyfer yr enghraifft yn f. 3 mae’r amodau cyfuchlin fel yn a) ϑ=0 a ϑ’’=0 ar gyfer z=0 a z=l. Felly mae’r hafaliadau amodol ar gyfer A1 hefyd yr un fath yn ffurfiol, ac felly hefyd yr amod plygu ochrol Δ=sin λl=0. Mae’r llwyth critigol yn bodloni’r berthynas λl=nπ (n=1,2,3) a’r gwerth lleiaf yw
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Ar gyfer D=0 ceir oddi yno’r moment plygu ochrol yn ôl haf. (8c) ac ar gyfer llwyth cywasgol pur (ɱ=0) grym plygu Euler-ova _DK=B(π/l)_2.
Ar ffig. 3 rhaid dynodi’r achos a ddangosir fel plygu ecsentrig yn yr awyren y-z. Felly, mae’r achos sefydlogrwydd a ystyriwyd uchod yn grymu allan o’r awyren blygu sy’n gysylltiedig â phlygu ochrol u a throelli ϑ.
Os yw’r ddau ben wedi’u hatgyfnerthu (ϑ=0 a ϑ’=0) yna, o’r amodau cyfuchlin, gyda chymorth Δ=0, ceir yr amod ar gyfer ymgrymiad ochrol
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
gyda’r gwreiddiau λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) a grymoedd plygu ochrol
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.