иілу кезіндегі орнықсыздану үшін өзек тепе-теңдік өзгерген кезде бір негізгі жазықтықта иіледі.
Бірақ орнықтылықтың мұндай жағдайлары да бар, онда өзек, яғни брус тепе-теңдік өзгерген кезде тек иіліп қана қоймай, сонымен бірге бұралады да (сур. 60a). Тіректер үшін бұл құбылыс жанына қарай майысу, ал иілу кезінде бұралуға да ұшырайтын сығылған өзектер үшін бұралу кезіндегі майысу деп аталады.
Екі құбылыс үшін де бұралуға қарсы қаттылық C, тиісінше иілуге қарсы кедергі C* шешуші мәнге ие. Сондықтан бұралуға байланысты тепе-теңдіктің өзгеруіне ең алдымен бұрауға қарсы қаттылықты арттыратын шаралармен (қиманың тиісті пішіні, көлденең рамалар, бүйірлік тіректер және т.б.) әсер етуге болады. Ал екінші жағынан, ашық қималы таспа тәрізді өзектер бұралу кезіндегі майысуға әсіресе сезімтал.
Бүйірлік иілуге арналған дифференциалдық теңдеу
Сур. 1a
Түзу арқалықтың инерция моменттері өте әртүрлі шамада, бірақ тұрақты болсын Ix >> Iy. Жүктеме y-z-жазықтығында орналасқандықтан, арқалық осы негізгі жазықтықта иіледі (u=ϑ=0). Тәжірибе де, теория да бұл тепе-теңдік күйі әуелде тұрақты, бірақ үлкенірек жүктемелерде орнықсыз болатынын көрсетеді. Бұл екінші тепе-теңдік күйі көлденең иілу және ϑ бұралуымен байланысты.
Төменде бүйірлік иілу үшін дифференциалдық теңдеу шығарылады. u және ϑ үшін теңдеулер біртекті. Егер шекаралық шарттар да біртекті болса, онда арқалықтың бүйірлік иілуі тек есептің меншікті мәндері үшін ғана мүмкін, яғни жоғарыда сипатталған бұзылусыз арқалықта u және ϑ әуелгі нөл күйінде қалады. Бүйірлік иілу шарты — өзек иілуіндегі сияқты — интегралдау тұрақтылары үшін біртекті шарт теңдеулерінің коэффициенттер детерминанты нөлге тең деп алынғанда алынады. Бүйірлік иілу кезінде де серпімді тепе-теңдіктің нақты тарамдалу нүктесі бар екенін көреміз.
Сур. 1b
Сур. 1b-де ұзындығы dz болатын арқалық элементі көрсетілген. Кернеу нәтижелері N1, Q1, M1, сондай-ақ қисықтық κ__1 жүктемеге тәуелді және шекті шамалар болып табылады. Q, M, MD бастапқы тепе-теңдік күйінде нөлге тең, ал бүйірлік иілу пайда болғанда ғана нөлден өзгеше болады. Бүйірлік иілудің басталуына қатысты шекті шамалар шексіз кіші, сондай-ақ сәйкес деформациялар κ және d__ϑ/dz де.
Элементтің dz екі шеткі қимасы да таяқшаның қос қисық осіне перпендикуляр жазықтықта жатады және осы нормаль жазықтықтарда бұралады.
Тірек шыбықтың иілуі кезіндегі жағдайдағы сияқты, бізді бірінші кезекте сындық жүктеменің шамасы, яғни бүйірлік иілудің басталуы, ал деформациялар шамасы азырақ қызықтыратындықтан, Q, M, MD шамаларының κ немесе ϑ’-пен көбейтінділерін екінші реттік кіші шамалар ретінде елемеуге болады. Сондықтан әрі қарайғы ықшамдау үшін негізгі қисықтық κ1-ні де шексіз кіші деп алып, оны κ және ϑ’ сияқты қарастырамыз.
Ескертпе: κ__1 әсерін қарапайым арнайы жағдайда да теориялық тұрғыдан бағалауға болады (жүктеме ретінде тұрақты иілу моменті M болғанда). Құрылыс техникасындағы көпшілік қажеттіліктер үшін κ__1 ескерілмей қалдыруға болады. Мысалы, берілген жүктеме жағдайы үшін арқалық дәл солай «көтеріліп» тұрғандай елестетуге болады, сонда критикалық жүктеме үшін дәл κ__1=0.
ξ, η, ζ бағыттарындағы күш компоненттерінің тепе-теңдігінен және сол осьтерге қатысты моменттік шарттардан, жоғарыда айтылған елемеулерден кейін, мынау шығады
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
1теңдеулерінен (c, d және b) алынады
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Q1 теңдеуден (1a) жойылғанда алынады
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Теңдеу (1e) арқылы осылай Q жойылады, содан кейін u ’’ мына арқылы: u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
ϑ үшін дифференциалдық теңдеу алу мақсатында моменттер мен деформациялар арасындағы келесі қатынастар енгізіледі
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
мұнда B1=EIx және B=EIy арқалықтың июге қарсы қатаңдығын, C бұралуға қарсы қатаңдықты, ал C* майысуға қарсы кедергіні білдіреді. Келесі есептеулерімізде жеңілдік үшін C* мүшелері ескерілмейді. Егер теңдеулер, мысалы, I-профильдерге қолданылуы тиіс болса, онда оларды тиісті түрде толықтыру қажет. v’’ мүшесін елемеу B1=∞ деп ұйғарумен бірдей.
M және MD тең. 4 көмегімен жойылса, қимасы тұрақты арқалықтың көлденең майысуына арналған дифференциалдық теңдеу алынады
Дифференциалдық теңдеу (5) ϑ бойынша біртекті және төртінші ретті. M1 жүктемеге байланысты z-тің белгілі функциясы болып табылады.
Иілу моменті тұрақты арқалық
p=N1=0 болсын, сонымен қатар Mx=ɱ=const. Қима фланшасыз (тығыздалған) және бөрене көлденең қимасының өлшемдерімен салыстырғанда ұзын, сондықтан C*=0 деп алуға болады. Сонда (M1=ɱ себебінен) (5) теңдеуі ықшамдалады, сондықтан:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
немесе қысқартылған түрде λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Екі ұшында да айыр тәрізді тіреуі бар арқалық
Сур. 2
z=0 және z=l кезіндегі тірелу айыр тәрізді орындалған (сур. 2), ол u және v иілуін қамтамасыз етеді, бірақ соңғы қималардың бұрылуына жол бермейді; ϑ=0. x бағыты бойынша қыспақтау жоқ болғандықтан (яғни M=0, немесе теңд. (4) бойынша сондай-ақ u’’=0), u’’ үшін теңдеуден: MD’_=0 және осыдан теңд. (4c) бойынша екінші шеттік шарт ретінде ϑ’’=0.
Теңдеудің жалпы шешімі (6a) болып табылады
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Шекаралық шарттардан алынады
Бұл біртекті теңдеулер жүйесінің:
- Тривиалды шешім A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, бұған ϑ=0, u’’=0 немесе u=0 сәйкес келеді, мұнда арқалық бүйірінен майыспайды.
- Меншікті шешімдер Δ=0 немесе sin λ__l=0. Бүйірлік иілу шарттарының түбірлері λ__l=n__π (мұнда n=1,2,3,∙∙∙) және сәйкес сыни моменттік жүктемелер
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Бүйірлік майысудың ең кіші моменті
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
n=1 мәнінде пайда болады. Тиісті шешім теңдеуді (1f) қолдану арқылы алынады:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Бүйірлік иілудің басқа жағдайлары
c) Ию моменті мен сығушы күш әсерінен бүйірлік майысу
Сур. 3 үшін мысалда N1=-D (қысым), p=0, содан кейін C*=0 қойылған. Сонда дифференциалдық теңдеу (5) ықшамдалып, былай болады
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
мұнда λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Дифференциалдық теңдеудің (9) шешімі қайтадан теңд. (8) түрінде беріледі, тек бұл жерде λ басқа мәнді білдіреді.
Сур. 3
Мысалы, сұл. 3 үшін де, а) жағдайындағыдай, шеттік шарттар ϑ=0 және ϑ’’=0 үшін z=0 және z=l қолданылады. Сондықтан A1 үшін шарттық теңдеулер де формалды түрде бірдей, сондай-ақ бүйірлік иілу шарты Δ=sin λl=0 да солай. Критикалық жүктеме λl=nπ (n=1,2,3) қатынасын қанағаттандырады, ал ең кіші мәні
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0 үшін одан бүйірлік иілу моменті теңдеу (8c) бойынша алынады, ал таза қысым жүктемесі үшін (ɱ=0) Euler-дің иілу күші _DK=B(π/l)_2.
Сур. 3-де көрсетілген жағдай y-z жазықтығындағы эксцентрикті ию ретінде белгіленуі тиіс. Бұрын қарастырылған орнықтылық жағдайы, демек, ию жазықтығынан тыс иілу, бүйірлік ию u және бұралу ϑ арқылы байланысқан.
Егер екі ұшы да қыстырылған болса (ϑ=0 және ϑ’=0), онда контурлық шарттардан, Δ=0 көмегімен, бүйірлік майысу шарты алынады
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) түбірлерімен және көлденең майысу күштерімен
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.