ийилүү учурундагы ийрилип кетүү үчүн таяк тең салмактын өзгөрүшү менен бир негизги тегиздикте ийилет.
Бирок туруктуулуктун ошондой учурлары да бар, анда таякча, башкача айтканда балка тең салмактуулук өзгөргөндө гана ийилбестен, буралып да кетет (сүр. 60а). Таянычтарда бул көрүнүш капталдан ийилүү деп аталат, ал эми ийилүү учурунда бурама күчтөргө да дуушар болгон кысылган таякчаларда бурамадагы ийилүү жөнүндө айтылат.
Эки көрүнүш үчүн тең бурулушка каршы катуулуктун чоңдугу C, же болбосо ийилүүгө каршылык C* чечүүчү мааниге ээ. Ошондуктан бурмалоо менен байланышкан тең салмактын өзгөрүшүнө биринчи кезекте бурулушка каршы катуулукту жогорулатуучу чаралар аркылуу таасир этсе болот (кесилиштин ылайыктуу формасы, туурасынан кадрлар, капталдан таяныч берүү ж.б.). Ал эми ачык кесилишке ээ тилке түрүндөгү таякчалар бурулуш учурунда ийилүүгө өзгөчө сезимтал.
Капталдан бүктөлүү үчүн дифференциалдык теңдеме
Сл. 1а
Түз устундун инерция моменттери абдан тең эмес болуп, туруктуу болсун: Ix >> Iy. Жүк y-z-тегиздикте жайгашкандыктан, устун ушул башкы тегиздикте ийилет (u=ϑ=0). Тажрыйба да, теория да бул тең салмак абалы адегенде туруктуу экенин, бирок чоңураак жүктөрдө туруксуз болуп каларын көрсөтөт. Бул экинчи тең салмак абалы кайчылаш ийилүү жана ϑ бурмалуусу менен байланышкан.
Төмөндө каптал ийилүү үчүн дифференциалдык теңдеме чыгарылат. u жана ϑ үчүн теңдемелер бир тектүү. Эгер контурдук шарттар да бир тектүү болсо, анда устундун каптал ийилиши маселенин өздүк маанилери үчүн гана мүмкүн болот, башкача айтканда, жогоруда сүрөттөлгөн бузулбаган устунда u жана ϑ биринчи учурда нөл бойдон калат. Каптал ийилүү шарты — таякчанын ийилишиндегидей эле — интегралдоо туруктуулары үчүн бир тектүү шарттык теңдемелердин коэффициенттеринин детерминанты нөлгө барабар деп алынганда алынат. Каптал ийилүүдө да серпилгич тең салмактуулуктун чыныгы бутактануу чекити бар экенин көрөбүз.
Сүр. 1b
Сүр. 1bде dz узундуктагы устун элементи көрсөтүлгөн. Чыңалуунун жыйынтык күчтөрү N1, Q1, M1, ошондой эле ийрилик κ__1 жүктөлүүгө көз каранды жана акыркы чоңдуктар болуп саналат. Q, M, MD алгачкы тең салмак абалында нөлгө барабар, ал эми каптал ийилүү башталганда гана нөлдөн айырмаланат. Каптал ийилүүнүн башталышына тиешелүү акыркы чоңдуктар чексиз кичине, ошондой эле тиешелүү деформациялар κ жана d__ϑ/dz.
Элеменин dz эки акыркы кесилиши таякчанын кош ийилген огуна нормалдуу жазыктыкта жайгашып, ушул нормалдуу жазыктыктарда бурулат.
Таякчанын ийилүүсүндөгүдөй эле, бизди биринчи кезекте критикалык жүктүн чоңдугу, демек каптал ийилүүнүн башталышы, ал эми деформациялардын чоңдугу азыраак кызыктыргандыктан, Q, M, MD чоңдуктарынын κ же ϑ’ менен көбөйтүндүлөрүн экинчи даражадагы майда чоңдуктар катары көңүлгө албай койсок болот. Ошондуктан мындан аркы жөнөкөйлөтүү үчүн негизги ийрилик κ1 да чексиз кичине деп кабыл алынат жана ал κ жана ϑ’ катары каралат.
Эскертүү: κ__1 таасирин жөнөкөй өзгөчө учурда да теориялык жактан баалоо керек (жүктөм катары туруктуу ийүү моменти M). Курулуш техникасынын көпчүлүк муктаждыктарында κ__1 көз жаздымда калтырылышы мүмкүн. Мисалы, биз конкреттүү жүктөм абалы үчүн устун ушунчалык «жогору көтөрүлгөндөй» элестетсек болот, ошондо чектүү жүктөм үчүн дал κ__1=0.
Күчтөрдүн компоненттеринин ξ, η, ζ багыттарындагы тең салмагынан жана ошол эле окторго карата моменттик шарттардан жогоруда айтылган жөнөкөйлөтүүлөрдөн кийин алынат
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Теңдемелерден. (1c, d жана b) төмөнкүсү алынат
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
_Q1_ни теңдемеден (1a) алып салуу менен төмөнкү алынат
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Из теңд. (1e) ошондо Q жок кылынат, андан кийин u ’’ төмөнкү формула аркылуу u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
ϑ үчүн дифференциалдык теңдеме алуу үчүн моменттер менен деформациялардын ортосунда төмөнкү байланыштар киргизилет
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
мында B1=EIx жана B=EIy устундун ийилүүгө каршы катуулугун, C бурулууга каршы катуулукту, ал эми C* ийрилүүгө каршылыкты билдирет. Андан аркы эсептөөлөрдө жөнөкөйлөтүү үчүн C* мүчөлөрүн алып салабыз. Эгерде теңдемелерди, мисалы, I-профилдерге колдонуу керек болсо, анда аларды тиешелүү түрдө толуктоо зарыл. v’’ мүчөсүн эске албоо B1=∞ деп кабыл алуу менен барабар.
Эгер M жана _MD_ни 4 теңдемесинин жардамы менен жок кылсак, туруктуу кесиндилүү устундун каптал ийилүүсү үчүн дифференциалдык теңдеме алынат
Дифференциалдык теңдеме (5) ϑ боюнча төртүнчү тартиптеги гомогендүү теңдеме. M1 жүктөлүшкө жараша z ге көз каранды белгилүү функция болуп саналат.
Ийилүү моменти туруктуу болгон балка
Келсин p=N1=0, андан тышкары Mx=ɱ=const. Кесилиш фланцасыз (тыгыздалган) жана балка кесилиш өлчөмдөрүнө салыштырмалуу узун, ошондуктан C*=0 деп алсак болот. Анда теңд. (5) M1=ɱ болгондуктан жөнөкөйлөтүлөт, демек:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
же кыскартылып λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
а) Эки учунда тең вилкалу таянычы бар балка
Сүр. 2
z=0 жана z=l болгондо таяныч вилка түрүндө болот (сүр. 2), ал u жана v ийилиштерине мүмкүндүк берет, бирок акыркы кесиндилердин айланышын алдын алат; ϑ=0. x багытында кысылып бекитүү жок болгондуктан (б.а. M=0, же теңдеме (4) боюнча ошондой эле u’’=0), u’’ үчүн теңдемеден: MD’_=0 жана ушундан теңдеме (4c) боюнча экинчи контурдук шарт катары ϑ’’=0 чыгат.
Теңдеменин жалпы чечими (6a) болуп
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Контурдук шарттардан төмөнкүлөр алынат
Бул бир тектүү теңдемелер системасында төмөнкүлөр бар:
- Тривиалдуу чечим A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, буга ϑ=0, u’’=0 же u=0 туура келет, мында устун капталга ийилбейт.
- Өз чечимдери Δ=0 же λ__l=0 синусу боюнча. Бул капталдан ийилүү шартынын тамырлары λ__l=n__π (n=1,2,3,∙∙∙) болуп, тиешелүү критикалык моменттик жүктөр
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Каптал ийилүүнүн эң кичине моменти
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
n=1. Тиешелүү чечим төмөнкү теңдемени колдонуу менен алынат. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Каптал ийилүүнүн башка учурлары
c) Ийилүү моменти жана кысуучу күчтөн улам капталдан ийилүү
Сүрөт. 3 үчүн мисалда N1=-D (кысуу), p=0, андан кийин C*=0 коюлат. Ошондо дифференциалдык теңд. (5) жөнөкөйлөтүлүп, мындай болот
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
мында λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Дифференциалдык теңдеменин (9) чечими кайра эле тең. (8) менен берилет, бирок бул жерде λ башка маанини билдирет.
Сүр. 3
Сүр. 3 үчүн, а)дагыдай эле, контурдук шарттар ϑ=0 жана ϑ’’=0 z=0 жана z=l үчүн колдонулат. Демек, A1 үчүн шарттык теңдемелер да формалдуу түрдө бирдей, ошондой эле капталдан ийилүүнүн шарты Δ=sin λl=0. Критикалык жүктөм λl=nπ (n=1,2,3) катышын канааттандырат жана эң кичине мааниси
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0 үчүн ошол жактан каптал ийилүү моменти тең. (8c) боюнча жана таза кысуучу жүк үчүн (ɱ=0) Euler-дин ийилүү күчү _DK=B(π/l)_2.
Сүр. 3 көрсөтүлгөн учур y-z тегиздигиндеги эксцентрик ийилүү катары белгилениши керек. Жогоруда каралган туруктуулук учуру, демек, ийилүү тегиздигинен чыккан бурулуштун каптал ийилүү u жана торсия ϑ менен байланышкан ийрилиши болуп саналат.
Эгер эки учу тең кысылып бекитилген болсо (ϑ=0 жана ϑ’=0), анда контурук шарттардан, Δ=0 аркылуу, каптал ийилүү шарты алынат
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) тамырлары жана каптал ийилүү күчтөрү менен
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.