Alang sa pagbuko tungod sa pagyukbo, ang baras sa pag-ilis sa balanse nabuko sa usa ka nag-unang patag.
Apan adunay usab mga ingon-ani nga kaso sa kalig-on diin ang sungkod, o kun banig, sa pag-usab sa balanse dili lamang mobaluktot kondili mobaliko usab (sl. 60a). Sa mga nagpas-an, kini nga panghitabo gitawag og side buckling, sa mga gipugos nga sungkod, nga sa panahon sa pag-buckle naladlad usab sa torison, ginasulti ang buckle sa panahon sa torison.
Alang sa duha ka panghitabo, ang gidak-on sa katig-a batok sa torzión C, o ang resistensya sa pagkurbada C*, maoy hinungdanon kaayo. Busa, ang kausaban sa balanse nga may kalabotan sa torzión mahimong una nga maimpluwensyahan pinaagi sa mga lakang nga nagdugang sa katig-a batok sa pagliko (ang angay nga porma sa cross-section, mga transverse frame, lateral support, ug uban pa). Sa laing bahin, ang mga bar nga porma og strip nga adunay abli nga cross-section labi ka sensitibo sa pagkiling sa torzión.
Differensyal nga ekwasyon alang sa lateral nga paglukot
Hulagway 1a
Ibutang nga ang usa ka tul-id nga balok adunay kanunay nga mga momen sa inersiya nga hilabihan ka dili patas ang gidak-on Ix >> Iy. Ang karga nahimutang sa y-z-eroplano busa ang balok mapyok sa niini nga nag-unang eroplano (u=ϑ=0). Ang kasinatian ug ang teorya nagpakita nga kining kahimtanga sa balanse una stable, apan sa mas dagkong mga karga kini mahimong dili lig-on. Kining ikaduhang posisyon sa balanse nalambigit sa tabok nga pagyukbo sa u ug sa torisyon ϑ.
Sa ubos ipagawas ang differential equation alang sa lateral buckling. Ang mga equation alang sa u ug ϑ homogenous. Kung homogenous usab ang mga kondisyon sa utlanan, ang lateral buckling sa sagbayan mahimo lamang alang sa mga eigenvalue sa problema, sa ato pa, u ug ϑ magpabiling una nga zero sa gihisgutan sa taas nga sagbayan nga walay samok. Ang kondisyon sa lateral buckling makuha – susama sa buckling sa baras – pinaagi sa pagbutang nga ang determinant sa koepisyent sa homogenous nga mga conditional equation alang sa mga integration constant katumbas sa zero. Makita nato nga bisan sa lateral buckling, adunay tinuod nga punto sa pagbulag sa elastic equilibrium.
Hulag. 1b
Sa sl. 1b gipresentar ang elemento sa sagbayan nga may gitas-on dz. Ang mga resultant sa mga stress N1, Q1, M1, ingon man ang kurbada κ__1 nagsalig sa karga ug mga may kinutuban nga gidak-on. Q, M, MD kay zero sa orihinal nga posisyon sa balanse, ug mahimong dili zero lamang kon motungha na ang lateral nga pagkapiko. Ang mga may kinutuban nga gidak-on, nga nagtumong sa pagsugod sa lateral nga pagkapiko, walay katapusan ka gamay, sama usab sa katugbang nga mga deformasyon κ ug d__ϑ/dz.
Ang duha ka kataposang seksyon sa elemento dz nahimutang sa normal nga eroplano sa doble nga kurbadong axis sa bar ug matwist sa niini nga mga normal nga eroplano.
Tungod kay kita – sama usab sa kaso sa pag-buckle sa baras – sa una nga dapit interesado sa gidak-on sa kritikal nga karga, busa sa sinugdanan sa lateral buckling, ug dili kaayo sa gidak-on sa mga deformasyon, mahimo nato ang mga produkto sa mga kantidad Q, M, MD sa κ o ϑ’ nga pasagdan isip gagmay nga kantidad sa ikaduhang han-ay. Busa alang sa dugang nga pagpayano, ang pangunang kurbada κ1 atong ipangagpas nga halos zero ug itambal kini sama sa κ ug ϑ’.
Hinumduman: Ang impluwensya sa κ__1 mahimo usab nga teoryang matantiya sa usa ka yano nga espesyal nga kaso (konstanteng bending moment M isip karga). Sa kadaghanan sa mga panginahanglan sa inhenyeriya sa pagtukod mahimo kining pasagdan ang κ__1. Mahimo, pananglitan, hunahunaon nga ang bar alang sa maong kaso sa karga mao nga ingon usa ka “gipataas” nga alang sa kritikal nga karga mao gyud ang κ__1=0.
Gikan sa balanse sa mga component sa puwersa sa direksyon ξ, η, ζ ug sa mga kondisyon sa momento nga may kalabotan sa mao gihapong mga aksis, human sa nahisgotang mga pagpasaylo, makuha ang
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Gikan sa ekw. (1c, d ug b) makuha ang
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Pinaagi sa pagwagtang sa Q1 gikan sa ekw. (1a) makuha
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Gikan sa ekw. (1e) niini matangtang ang Q, unya u ’’ pinaagi sa u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Aron makuha ang differential equation alang sa ϑ, ipaila ang mosunod nga mga relasyon tali sa mga momento ug mga deforma
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
diin nagpasabot ang B1=EIx ug B=EIy sa katig-a batok sa pagpiko sa sagbayan, C sa katig-a batok sa pagtuis, ug ang C* sa resistensya batok sa pagkurba. Sa among sunod nga mga kalkulasyon, wagtangon namo ang mga termino nga adunay C* alang sa pagpayano. Kon ang mga ekwasyon gamiton pananglitan sa I-profile, kinahanglan kini pun-on sa angay nga paagi. Ang pagpasagdan sa termino nga v’’ pareho ra sa pagtuo nga B1=∞.
Kon tangtangon ang M ug MD pinaagi sa eq. 4 makuha ang diferensyal nga ekwasyon alang sa kilid nga pag-buckle sa usa ka bakos nga adunay constant nga seksyon
Ang differential equation (5) homogenous ug ikaupat nga order sumala sa ϑ. M1 usa ka nailhan nga function sa z depende sa karga.
Saldong nga adunay kanunay nga moment sa pagkabaluktot
Hinaot nga p=N1=0, ug dugang pa Mx=ɱ=const. Ang cross section walay flange (compact) ug taas ang truss/beam kon itandi sa mga sukat sa cross section, busa mahimo nato ibutang nga C*=0. Unya mapapasimple ang ekw. (5), tungod sa M1=ɱ, busa:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
o uban sa pagpamubo λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Siga nga may forked nga suporta sa duha ka tumoy
Fig. 2
Ang pag-alalay sa z=0 ug z=l anaa sa porma sa mga tinidor (fig. 2), nga nagtugot sa mga sag sa u ug v, apan naglikay sa pagtuyok sa mga katapusan nga cross section; ϑ=0. Tungod kay walay pagkakabit sa direksyon x (samtang M=0, o sumala sa eq. (4) usab u’’=0), mosunod gikan sa eq. alang sa u’’: MD’=0 ug pinaagi niini gikan sa eq. (4c) isip ikaduhang boundary condition ϑ’’=0.
Ang kinatibuk-ang solusyon sa ekw. (6a) mao ang
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Gikan sa mga kondisyon sa contour makuha
Kini nga homohenong sistema sa mga ekwasyon adunay:
- Triviyal nga solusyon A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, nga katumbas sa ϑ=0, u’’=0 o u=0, diin ang poste dili moliko sa kilid.
- Kaugalingong mga solusyon sumala sa Δ=0 o sin λ__l=0. Ang mga gamot niini nga kondisyon sa lateral nga pagkaliko mao ang λ__l=n__π (uban sa n=1,2,3,∙∙∙) ug ang katumbas nga kritikal nga moment nga mga karga
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Pinakagamay nga momintong lateral buckling
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
magtungha sa n=1. Ang angay nga solusyon makuha pinaagi sa paggamit sa ekw. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Uban pang mga kaso sa lateral buckling
c) Pagkiling sa kilid tungod sa momen sa pagpaling ug sa puwersang nagdaug
Alang sa pananglitan nga gipakita sa hul. 3 mao ang N1=-D (presyon), p=0, unya gibutang ang C*=0. Dayon ang diperensiyal nga ekw. (5) masimple ug nag-ingon
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
diin ang λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Ang solusyon sa differential equation (9) gihatag pag-usab sa eq. (8), apan karon λ nagpasabot sa laing bili.
Si Sl.3
Alang sa pananglitan sa sl. 3 balido usab sama sa a) ang mga kondisyon sa contour ϑ=0 ug ϑ’’=0 alang sa z=0 ug z=l. Busa, ang mga kondisyonal nga ekwasyon alang sa A1 pormal nga pareho, ug ingon usab ang kondisyon sa lateral nga pagyukbo Δ=sin λl=0. Ang kritikal nga karga nagtuman sa relasyon λl=nπ (n=1,2,3) ug ang pinakagamay nga bili mao ang
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Alang sa D=0 makuha gikan niini ang moment sa lateral buckling sumala sa eq. (8c) ug alang sa puro nga compressive load (ɱ=0) ang Euler-nga pwersa sa buckling _DK=B(π/l)_2.
Sa fig. 3 ang gipresentar nga kaso kinahanglan tawagon nga eccentric bending sa eroplano y-z. Ang kaniadto nga gikonsiderar nga kaso sa kalig-on mao, busa, ang pagkurba gawas sa eroplano sa pagbaliko nga may kalabotan sa lateral bending u ug torsion ϑ.
Kon ang duha ka tumoy na-clamp (ϑ=0 ug ϑ’=0) nan gikan sa mga kondisyon sa contour, pinaagi sa Δ=0, makuha ang kondisyon sa lateral nga pagbungkag
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
nga adunay mga gamot λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) ug mga pwersa sa kilid nga pag-buckle
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.