Išlinkimui dėl lenkimo strypas, pasikeitus pusiausvyrai, išlinksta vienoje pagrindinėje plokštumoje.
Tačiau yra ir tokių stabilumo atvejų, kai strypas, t. y. sija, pakitus pusiausvyrai ne tik išlinksta, bet ir susisuka (pav. 60a). Nariams šis reiškinys vadinamas šoniniu išsilenkimu, o gniuždomiems strypams, kurie išsilenkdami taip pat patiria torsiją, vartojama sąvoka išsilenkimas dėl torsijos.
Abiem reiškiniams lemiamą reikšmę turi sukimo standumo dydis C, arba atsparumas lenkimui C*. Pusiausvyros pokyčiui, susijusiam su sukimu, todėl pirmiausia galima daryti įtaką priemonėmis, didinančiomis atsparumą susisukimui (atitinkama skerspjūvio forma, skersiniai rėmai, šoninis atramavimas ir t. t.). Kita vertus, strypai juostos pavidalo su atviru skerspjūviu yra ypač jautrūs išlinkimui sukimo metu.
Diferencialinė lygtis šoniniam išsilenkimui
Pav. 1a
Tarkime, tiesi sija turi pastovius inercijos momentus, labai skirtingos vertės Ix >> Iy. Apkrova veikia y-z-plokštumoje, todėl sija bus lenkiama šioje pagrindinėje plokštumoje (u=ϑ=0). Patirtis ir teorija rodo, kad ši pusiausvyros padėtis iš pradžių yra stabili, tačiau esant didesnėms apkrovoms tampa nestabili. Ši antroji pusiausvyros padėtis susijusi su skersiniu lenkimu u ir su sukimu ϑ.
Žemiau bus išvesta diferencialinė lygtis šoniniam išlinkimui. Lygtis u ir ϑ yra homogeniškos. Jei ir kontūrinės sąlygos yra homogeniškos, tuomet sijos šoninis išlinkimas galimas tik uždavinio savosioms reikšmėms, t. y. u ir ϑ pirmiausia lieka nuliniai minėtos netrikdytos sijos atveju. Šoninio išlinkimo sąlyga gaunama – panašiai kaip ir strypo išlinkimo atveju – nustačius, kad homogeninių sąlyginių lygčių koeficientų determinantė integravimo konstantoms lygi nuliui. Pamatysime, kad ir esant šoniniam išlinkimui egzistuoja tikrasis elastingosios pusiausvyros bifurkacijos taškas.
Pav. 1b
Pav. 1b pavaizduotas sijos elementas, kurio ilgis dz. Įtempių rezultantės N1, Q1, M1, taip pat kreivumas κ__1 priklauso nuo apkrovos ir yra baigtinių dydžių. Q, M, MD yra lygūs nuliui pradinėje pusiausvyros padėtyje ir nuo nulio pradės skirtis tik prasidėjus šoniniam išlinkimui. Ribiniai dydžiai, kurie susiję su šoninio išlinkimo pradžia, yra be galo maži, kaip ir atitinkamos deformacijos κ ir d__ϑ/dz.
Abu kraštiniai elemento dz pjūviai guli normalioje plokštumoje į dvigubai išlenktą strypo ašį ir šiose normaliose plokštumose bus susukti.
Kadangi, kaip ir strypo klupimo atveju, pirmiausia mus domina kritinės apkrovos dydis, t. y. šoninio klupimo pradžia, o ne deformacijų dydis, todėl sandaugas Q, M, MD su κ arba ϑ’ galime laikyti mažomis antros eilės dydžio reikšmėmis ir jas nepaisyti. Dėl to, siekiant tolesnio supaprastinimo, pagrindinį kreivumą κ1 taip pat laikysime be galo mažu ir jis bus nagrinėjamas kaip κ ir ϑ’.
Pastaba: κ__1 įtaką teoriškai galima įvertinti ir paprastame specialiajame atvejyje (kai apkrova yra pastovus lenkimo momentas M). Daugeliu statybos technikos poreikių κ__1 galima nepaisyti. Galima, pavyzdžiui, įsivaizduoti, kad sija nagrinėjamam apkrovos atvejui yra taip „išlenkta“, jog kritinei apkrovai būtent κ__1=_0.
Iš jėgų komponentų pusiausvyros kryptimis ξ, η, ζ ir momentų sąlygų tų pačių ašių atžvilgiu po minėtų nepaisymų gaunama
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Iš lygčių (1c, d ir b) gaunama
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Pašalinus Q1 iš lygt. (1a) gaunama
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Iš lygt. (1e) taip bus pašalinta Q, o tada u ’’ pagal u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Kad būtų gauta diferencialinė lygtis ϑ, bus įvesti šie ryšiai tarp momentų ir deformacijų
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
kur B1=EIx ir B=EIy reiškia sijos lenkimo standumą, C – sukimo standumą, o C* – išlinkimo varžą. Tolimesniuose skaičiavimuose dėl supaprastinimo narių su C* nerašysime. Jei lygtis reikia taikyti, pvz., I profiliams, jas reikia atitinkamai papildyti. Nario v’’ nepaisymas reiškia tą patį, ką ir prielaida B1=∞.
Jei M ir MD eliminuojami pasitelkus lygt. 4, gaunama diferencinė lygtis šoniniam išsilenkimui vienodo skerspjūvio sijos
Diferencialinė lygtis (5) yra homogeniška ir ketvirtosios eilės pagal ϑ. M1 yra žinoma z funkcija, priklausanti nuo apkrovos.
Sija su pastoviu lenkimo momentu
Tegul p=N1=0, be to Mx=ɱ=const. Skerspjūvis be flanšo (tankus), o sija ilga skerspjūvio matmenų atžvilgiu, todėl galime laikyti, kad C*=0. Tada lygt. (5) supaprastėja dėl M1=ɱ, todėl:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
arba su santrumpa λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Sija su šakutine atrama abiejuose galuose
pav. 2
Atrama ties z=0 ir z=l yra šakių pavidalo (pav. 2), kurios leidžia įlinkius u ir v, bet neleidžia suktis galinėms skerspjūvių plokštumoms; ϑ=0. Kadangi x kryptimi įtvirtinimo nėra (t. y. M=0, arba pagal lygtį (4) taip pat u’’=0), iš lygties u’’: MD’=0 ir tuo pačiu iš lygties (4c) kaip antroji ribinė sąlyga gaunama ϑ’’=0.
Bendrasis lyg. (6a) sprendinys yra
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Iš kontūrinių sąlygų gaunama
Ši homogeniška lygčių sistema turi:
- Trivialus sprendinys A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, kuriam atitinka ϑ=0, u’’=0 arba u=0, o sija neišsikreipia į šoną.
- Savosios sprendtys pagal Δ=0 arba sin λ__l=0. Šios šoninio klupimo sąlygos šaknys yra λ__l=n__π (kai n=1,2,3,∙∙∙), o atitinkamos kritinės momentinės apkrovos
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Mažiausias šoninio išlinkimo momentas
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
susidaro ties n=1. Atitinkamas sprendinys gaunamas taikant lygtį (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Kiti šoninio klupimo atvejai
c) Šoninis išlinkimas dėl lenkimo momento ir gniuždančiosios jėgos
Pavyzdyje, pavaizduotame pav. 3, yra N1=-D (slėgis), p=0, tuomet įrašyta C*=0. Tada diferencialinė lygtis (5) supaprastėja ir yra
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
kur λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Differencinės lygties sprendinys (9) vėl pateiktas lygtimi (8), tik šį kartą λ reiškia kitą reikšmę.
Pav. 3
Pavyzdžiui, pav. 3 galioja kaip ir a) kontūrinės sąlygos ϑ=0 ir ϑ’’=0 prie z=0 ir z=l. Todėl ir sąlyginės lygtys A1 yra formaliai tos pačios, taip pat ir šoninio išlinkimo sąlyga Δ=sin λl=0. Kritinė apkrova tenkina santykį λl=nπ (n=1,2,3) ir mažiausia reikšmė yra
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Kai D=0, iš čia gaunamas šoninio išlinkimo momentas pagal lygtį (8c), o grynai gniuždomajai apkrovai (ɱ=0) Eulerio išlinkimo jėga _DK=B(π/l)_2.
Pav. 3 pavaizduotas atvejis turi būti žymimas kaip ekscentriškas lenkimas y-z plokštumoje. Anksčiau nagrinėtas stabilumo atvejis taigi yra iš plokštumos išlinkimas, susijęs su šoniniu lenkimu u ir torsija ϑ.
Jei abu galai yra įtvirtinti (ϑ=0 ir ϑ’=0), tada iš kontūrinių sąlygų, naudojant Δ=0, gaunama šoninio išlinkimo sąlyga
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
su šaknimis λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) ir šoninio išsilenkimo jėgomis
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.