For knekking ved bøyning er stangen ved likevektsendringen bøyd i ett hovedplan.
Men det finnes også slike stabilitetstilfeller der stangen, henholdsvis bjelken, ved likevektsendring ikke bare bøyes, men også vrides (fig. 60a). For bærere kalles dette sideknekking, mens man for trykkpåvirkede stenger, som ved knekking også utsettes for torsjon, taler om knekking ved torsjon.
For begge fenomenene er størrelsen på vridningsstivheten C, hhv. motstand mot vridning C*, av avgjørende betydning. På endringen i likevekt som er forbundet med torsjon kan man derfor i første rekke påvirke ved tiltak som øker stivheten mot vridning (egnet tverrsnittform, tverrammer, sideavstivning osv.). På den annen side er stangformede elementer med åpent tverrsnitt særlig utsatt for knekking ved torsjon.
Differensiallikningen for sideveis knekking
Fig. 1a
La en rett bjelke ha konstante treghetsmomenter med svært ulik størrelse Ix >> Iy. Lasten ligger i y-z-planet, slik at bjelken vil bøyes i dette hovedplanet (u=ϑ=0). Erfaring så vel som teori viser at denne likevektsstillingen først er stabil, men at den blir ustabil ved større laster. Denne andre likevektsstillingen er knyttet til tverrbøyning i og til torsjon ϑ.
Nedenfor vil differensialligningen for sideknekking bli utledet. Ligningene for u og ϑ er homogene. Hvis også randbetingelsene er homogene, er sideknekking av bjelken mulig bare for problemets egenverdier, dvs. u og ϑ forblir først null for den ovenfor beskrevne bjelken uten forstyrrelse. Betingelsen for sideknekking fås – på samme måte som ved knekking av en stang – ved å sette determinanten for koeffisientene i de homogene betingelsesligningene for integrasjonskonstantene lik null. Vi skal se at det også ved sideknekking finnes et virkelig bifurkasjonspunkt for elastisk likevekt.
Fig. 1b
På fig. 1b er et bjelkeelement med lengde dz vist. Resultantene av spenningene N1, Q1, M1, samt krumningen κ__1 avhenger av belastningen og er endelige størrelser. Q, M, MD er null i den opprinnelige likevektsposisjonen, og vil først avvike fra null når sideknekking inntreffer. De endelige størrelsene, som gjelder begynnelsen av sideknekking, er uendelig små, i likhet med de tilhørende deformasjonene κ og d__ϑ/dz.
Begge endesnitt av elementet dz ligger i et normalt plan til den dobbeltkrumme aksen til stangen og vil være vridd i disse normale planene.
Siden vi – som ved knekking av en stang – først og fremst er interessert i størrelsen på den kritiske belastningen, altså starten på sideknekking, og mindre i størrelsen på deformasjonene, kan vi se bort fra produktet av størrelsene Q, M, MD med κ eller ϑ’ som små størrelser av andre orden. Derfor vil vi, for videre forenkling, også anta hovedkrumningen κ1 som uendelig liten og den vil bli behandlet som κ og ϑ’.
Merknad: Virkningen av κ__1 kan også vurderes teoretisk i det enkle spesialtilfellet (konstant bøyemoment M som belastning). I de fleste tilfeller innen byggteknikken kan κ__1 neglisjeres. Man kan for eksempel tenke seg at bjelken for den aktuelle belastningstilstanden er så «opphøyd» at det for den kritiske belastningen nettopp er κ__1=0.
Av likevekten av kraftkomponentene i retningene ξ, η, ζ og momentbetingelsene om de samme aksene fås etter de nevnte forenklingene
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Av lign. (1c, d og b) fås
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Ved å eliminere Q1 fra lign. (1a) får man
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Fra lign. (1e) vil dermed Q bli eliminert, deretter u ’’ ved u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
For å få differensialligningen for ϑ vil følgende sammenhenger mellom momenter og deformasjoner bli innført
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
der B1=EIx og B=EIy betegner bjelkens bøyningsstivhet, C vridningsstivheten, og C* vridningsmotstanden. I våre videre beregninger vil vi utelate leddene med C* for å forenkle. Hvis ligningene skal anvendes for eksempel på I-profiler, må de tilpasses på riktig måte. Å se bort fra leddet v’’ betyr det samme som å anta B1=∞.
Hvis M og MD elimineres ved hjelp av lign. 4, fås den differensielle ligningen for sideveis knekking av en bjelke med konstant tverrsnitt
Differensialligningen (5) er homogen og av fjerde orden med hensyn til ϑ. M1 er en kjent funksjon av z avhengig av belastningen.
Bjelke med konstant bøyemoment
La p=N1=0, dessuten Mx=ɱ=const. Tverrsnittet er uten flens (kompakt), og bjelken er lang i forhold til tverrsnittets dimensjoner, slik at vi kan sette C*=0. Da forenkles lign. (5), på grunn av M1=ɱ, og da er:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
eller med forkortelsen λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Bjelke med gaffelopplag i begge ender
Fig. 2
Opplagringen ved z=0 og z=l er utformet som gafler (fig. 2), som tillater nedbøyninger u og v, men hindrer rotasjon av endesnittene; ϑ=0. Siden det ikke finnes innspenning i retning x (dvs. M=0, eller etter lign. (4) også u’’=0), følger av lign. for u’’: MD’=0 og dermed av lign. (4c) som den andre randbetingelsen ϑ’’=0.
Den generelle løsningen av lign. (6a) er
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Av randbetingelsene får man
Dette homogene systemet av ligninger har:
- Triviell løsning A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, som svarer til ϑ=0, u’’=0 eller u=0, hvor bjelken ikke knekker sideveis.
- Egenløsninger etter Δ=0 eller sin λ__l=0. Røttene til denne betingelsen for sideutbøyning er λ__l=n__π (med n=1,2,3,∙∙∙) og de tilhørende kritiske momentlastene
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Minste moment for sideknekking
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
oppstår ved n=1. Den tilsvarende løsningen fås ved anvendelse av lign. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Andre tilfeller av sideknekking
c) Sideknekking som følge av bøyemoment og trykkraft
For eksemplet vist i fig. 3 er N1=-D (trykk), p=0, deretter er C*=0 satt. Da forenkles den differensielle lign. (5) og lyder
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
der λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Løsningen av differensialligningen (9) er igjen gitt ved lign. (8), bare at λ nå betegner en annen verdi.
Fig. 3
For eksempelet i fig. 3 gjelder, som for a), randbetingelsene ϑ=0 og ϑ’’=0 for z=0 og z=l. Følgelig er også betingelseslikningene for A1 formelt de samme, og også betingelsen for sideveis knekking Δ=sin λl=0. Den kritiske belastningen oppfyller forholdet λl=nπ (n=1,2,3) og den minste verdien er
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
For D=0 fås derav momentet for sideknekking etter lign. (8c), og for ren trykkbelastning (ɱ=0) er Eulers knekkskraft _DK=B(π/l)_2.
På fig. 3 skal den viste tilstanden betegnes som eksentrisk bøyning i planet y-z. Den tidligere betraktede stabilitetstilstanden er altså knekking ut av bøyplanet, forbundet med sidebøyning u og torsjon ϑ.
Hvis begge ender er innspent (ϑ=0 og ϑ’=0) får man fra randbetingelsene, ved hjelp av Δ=0, betingelsen for sideknekking
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
med røttene λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) og krefter ved sideveis knekking
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.