egilishda qiyshayish uchun sterjen muvozanat o‘zgarishi paytida asosiy tekisliklardan birida egiladi.
Ammo shunday barqarorlik holatlari ham borki, ularda sterjen, ya’ni to‘sin muvozanat o‘zgarganda nafaqat egiladi, balki buraladi ham (sl. 60a). Tayanchlarda bu hodisa yonlama bukilish, siqilgan sterjenlarda esa, bukilish vaqtida buralishga ham duch kelinadigan bo‘lsa, burilishdagi bukilish deb ataladi.
Ikkala hodisa uchun ham buralishga qarshi qattiqlik C miqdori, ya’ni egilishga qarshilik C* hal qiluvchi ahamiyatga ega. Shu sababli, burilish bilan bog‘liq muvozanatning o‘zgarishiga birinchi navbatda burilishga qarshi qattiqlikni oshiradigan choralar bilan ta’sir etish mumkin (kesimning mos shakli, ko‘ndalang ramkalar, yon tomondan tirgaklash va hokazo). Boshqa tomondan, ochiq kesimli lenta shaklidagi sterjenlar ayniqsa buralishda bukilishga sezgir.
Yon tomonga bukilish uchun differensial tenglama
Rasm. 1a
Keling, to‘g‘ri to‘sinning inersiya momentlari Ix >> Iy bo‘lgan, bir-biridan juda farq qiluvchi doimiy qiymatlarga ega bo‘lsin. Yuk y-z-tekisligida joylashgan bo‘lib, to‘sin shu asosiy tekislikda egiladi (u=ϑ=0). Tajriba ham, nazariya ham bu muvozanat holati dastlab barqarorligini, lekin kattaroq yuklarda labil bo‘lib qolishini ko‘rsatadi. Bu ikkinchi muvozanat holati ko‘ndalang egilish va ϑ buralish bilan bog‘liq.
Quyida yon tomonga bukilish uchun differensial tenglama chiqariladi. u va ϑ uchun tenglamalar gomogen hisoblanadi. Agar kontur shartlari ham gomogen bo‘lsa, u holda balkanning yon tomonga bukilishi faqat masalaning xos qiymatlari uchun mumkin bo‘ladi, ya’ni yuqorida tasvirlangan buzilmagan balkada u va ϑ avvaliga nol bo‘lib qoladi. Yon tomonga bukilish sharti — xuddi sterjenning bukilishidagi kabi — gomogen shart tenglamalarining integral konstantalar uchun koeffitsiyentlar determinantini nolga teng deb olish orqali olinadi. Ko‘ramizki, yon tomonga bukilishda ham elastik muvozanatning haqiqiy tarmoq nuqtasi mavjud bo‘ladi.
Rasm 1b
Rasmda 1b uzunligi dz bo‘lgan nurlar elementi ko‘rsatilgan. Kuchlanishlarning natijalari N1, Q1, M1, shuningdek qiyalik κ__1 yuklamaga bog‘liq va chekli kattaliklardir. Q, M, MD dastlabki muvozanat holatida nolga teng, yonlama bukilish yuz bergandagina noldan farq qiladi. Yonlama bukilish boshlanishiga tegishli chekli kattaliklar, tegishli deformatsiyalar κ va d__ϑ/dz kabi, cheksiz kichikdir.
Element dz ning ikkala uchki kesimi sterjenning ikki marta qiyshaygan o‘qiga normal tekislikda joylashgan bo‘ladi va shu normal tekisliklarda buraladi.
Sterjen bukilishi holatidagidek, bu yerda ham birinchi navbatda kritik yukning kattaligi, ya’ni yon tomonga bukilishning boshlanishi bizni qiziqtiradi, deformatsiyalar kattaligi esa kamroq ahamiyatga ega; shu sababli Q, M, MD kattaliklari mahsulotlarini κ yoki ϑ’ ga ko‘paytirilgan holda ikkinchi tartibli kichik kattaliklar sifatida e’tibordan chetda qoldirishimiz mumkin. Shuning uchun keyingi soddalashtirish uchun asosiy egrilik κ1 ni ham cheksiz kichik deb faraz qilamiz va u κ va ϑ’ kabi qaraladi.
Eslatma: κ__1 ning ta’sirini ham oddiy maxsus holatda (yuklama sifatida doimiy egilish momenti M) nazariy jihatdan baholash mumkin. Qurilish texnikasining ko‘pchilik ehtiyojlarida κ__1 e’tiborga olinmaydi. Masalan, muayyan yuklama holati uchun to‘sin shunchalik “ko‘tarilgan” deb tasavvur qilish mumkinki, kritik yuklama uchun aynan κ__1=0.
Kuch komponentlarining ξ, η, ζ yo‘nalishlaridagi muvozanatidan va shu o‘sha o‘qlarga nisbatan moment shartlaridan yuqorida aytilgan e’tiborsizliklardan keyin quyidagilar olinadi
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
(1c, d va b) tenglamadan olinadi
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Q1 ni teng. (1a) dan yo‘qotish bilan quyidagicha olinadi
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Tenglamadan (1e) shu bilan Q, so‘ngra u ’’ quyidagi orqali yo‘q qilinadi: u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
ϑ uchun differensial tenglama olish maqsadida momentlar va deformatsiyalar orasidagi quyidagi munosabatlar kiritiladi
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
bu yerda B1=EIx va B=EIy nurning egilishga qarshilik qattiqligini, C burilishga qarshilik qattiqligini, C* esa bukilishga qarshilikni bildiradi. Keyingi hisoblarimizda soddalashtirish uchun C* li hadlarni chiqarib tashlaymiz. Agar tenglamalar, masalan, I-profillar uchun qo‘llansa, ularni tegishli ravishda to‘ldirish kerak. v’’ hadini e’tiborga olmaslik B1=∞ deb qabul qilish bilan bir xil.
Agar M va MD lar tenglama 4 yordamida yo‘q qilinsa, doimiy kesimli nurning yonlama bukilishi uchun differensial tenglama olinadi
Differensial tenglama (5) gacha ϑ bo‘yicha gomogen va to‘rtinchi tartibli. M1 yuklanishga qarab z ning ma’lum funksiyasidir.
Egilish momenti doimiy bo‘lgan to‘sin
p=N1=0, bundan tashqari Mx=ɱ=const. Kesim flansiz (zich) va to‘sin ko‘ndalang kesim o‘lchamlariga nisbatan uzun bo‘lgani uchun C*=0 deb olishimiz mumkin. Shunda tenglama (5) M1=ɱ sababli soddalashadi, demak:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
yoki qisqartma bilan λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Ikkala uchida ham vilka tayanchli to‘sin
Rasm 2
z=0 va z=l dagi tayanchlanish vilka ko‘rinishida (rasm 2) bo‘lib, ular u va v egilishlariga imkon beradi, ammo uchki kesimlarning aylanishini to‘sadi; ϑ=0. x yo‘nalishida qistirib qo‘yish yo‘q (ya’ni M=0, yoki teng. (4) ga ko‘ra u’’=0) bo‘lgani uchun, u’’ uchun tenglamadan: MD’_=0 va shu tariqa teng. (4c) dan ikkinchi chegaraviy shart sifatida ϑ’’=0 kelib chiqadi.
Tenglamaning umumiy yechimi (6a) —
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Kontur shartlaridan quyidagisi olinadi
Ushbu gomogen tenglamalar sistemasida quyidagilar mavjud:
- Trivial yechim A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, bunga ϑ=0, u’’=0 yoki u=0 mos keladi, bunda to‘sin yon tomonga qiyshaymaydi.
- Xususiy yechimlar Δ=0 yoki sin λ__l=0. Yon bukilishning ushbu sharti ildizlari λ__l=n__π (bu yerda n=1,2,3,∙∙∙) va tegishli kritik moment yuklanishlari
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Yon bukilishning eng kichik momenti
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
n=1 da hosil bo‘ladi. Tegishli yechim 1 tenglamani qo‘llash bilan olinadi:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Bukilishning boshqa holatlari
c) Bukilish momenti va siquvchi kuch ta’siridagi yonlama bukilish
3-rasmda ko‘rsatilgan misol uchun N1=-D (siqilish), p=0, so‘ng C*=0 qo‘yilgan. Shunda differensial tenglama (5) soddalashadi va quyidagicha bo‘ladi
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
bu yerda λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Differensial tenglama yechimi (9) yana tenglama (8) bilan berilgan, faqat bu safar λ boshqa qiymatni bildiradi.
Rasm 3
Misol sifatida rasm 3 uchun ham a) dagi kabi kontur shartlari ϑ=0 va ϑ’’=0 z=0 va z=l uchun amal qiladi. Shunga ko‘ra A1 uchun shartli tenglamalar ham formal jihatdan bir xil, shuningdek yon bukilish sharti Δ=sin λl=0. Kritik yuklama λl=nπ (n=1,2,3) nisbatini qanoatlantiradi va eng kichik qiymat
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0 uchun shu yerdan tenglama (8c) bo‘yicha yonlama bukilish momenti olinadi va sof siquvchi yuklanish (ɱ=0) uchun Euler-ning bukilish kuchi _DK=B(π/l)_2 bo‘ladi.
Rasm 3 da tasvirlangan holat y-y-z tekisligidagi eksantrik egilish sifatida belgilanadi. Oldin ko‘rib chiqilgan turg‘unlik holati demak, egilish tekisligidan tashqariga bukilish bo‘lib, u yonlama egilish u va burilish ϑ bilan bog‘langan.
Agar ikkala uch qisilgan bo‘lsa (ϑ=0 va ϑ’=0), u holda kontur shartlaridan Δ=0 yordamida yonlama bukilish sharti olinadi
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) ildizlari va yonlama bukilish kuchlari bilan
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.