Ho an’ny fiviliana noho ny fiondrika dia miondrika amin’ny lafiny lehibe iray ny tsorakazo rehefa miova ny fifandanjana.
Saingy misy ihany koa ny tranga fitoniana izay, rehefa miova ny fifandanjana, ny tsorakazo, na ny taratra, dia tsy miondrika fotsiny fa mivilivily koa (sary 60a). Amin’ny mpitondra enta-mavesatra dia antsoina hoe fiolahana amin’ny lafiny io zava-misy io, ary amin’ny tsorakazo voatsindry, izay iharan’ny fihodinana koa mandritra ny fiolahana, dia resahina ho fiolahana noho ny torsiona.
Ho an’ireo tranga roa ireo dia manan-danja indrindra ny haben’ny henjana manohitra ny torsiôna C, na ny fanoherana ny fikovotrovotra C*. Noho izany, ny fiovan’ny fifandanjana mifandray amin’ny torsiôna dia azo fehezina indrindra amin’ny alalan’ny fepetra mampitombo ny henjana manohitra ny fihodinana (endrika sahaza amin’ny fizarana, rafitra mitsivalana, fanohanana amin’ny sisiny, sns.). Etsy an-kilany, ny tsorakazo miendrika tady manana fizarana misokatra dia tena mora voan’ny fihotrikotrian’ny torsiôna.
Fitoviana diferencial ho an’ny fiviliana amin’ny lafiny iray
Sary 1a
Aoka hatao fa misy tohana mahitsy manana momenta inersia tsy miova nefa tena samy hafa be ny sandany Ix >> Iy. Ao amin’ny lafiny y-z-ravina no misy ny enta-mavesatra ka hiondrika ao amin’io ravina fototra io ny tohana (u=ϑ=0). Ny traikefa sy ny teôria dia mampiseho fa io toeran’ny fifandanjana io dia miorina aloha, nefa lasa mora mihozongozona rehefa lehibe kokoa ny enta-mavesatra. Io toeran’ny fifandanjana faharoa io dia mifandray amin’ny fiondrika miampita amin’ny u sy amin’ny torsion ϑ.
Eto ambany dia ho avoaka ny fampitoviana diferansialy ho an’ny fihorohoroana an-tsisiny. Ny fampitoviana ho an’ny u sy ϑ dia homogene. Raha homogene koa ny fepetra amin’ny sisiny, dia ny fihorohoroana an-tsisiny ny an’ny tsorakazo dia azo atao ho an’ny sanda manokana an’ny olana ihany, izany hoe mijanona ho aotra hatrany ny u sy ϑ amin’ilay andry voalaza etsy ambony raha tsy misy fanelingelenana. Ny fepetra amin’ny fihorohoroana an-tsisiny dia azo avy — mitovy amin’ny an’ny fihorohoroan’ny tsorakazo — raha atao ho aotra ny determinant-n’ny koefisian’ny fampitoviana fepetra homogene ho an’ny konstanta fampidirana. Ho hitantsika fa na amin’ny fihorohoroana an-tsisiny aza dia misy teboka tena izy ivangongoan’ny fifandanjana elastika.
Sary 1b
Ao amin’ny sary 1b dia aseho ny singa beam manana halavana dz. Ny fitambaran’ny adin-tsaina N1, Q1, M1, ary koa ny fiolahana κ__1 dia miankina amin’ny enta-mavesatra ary manana sanda voafetra. Q, M, MD dia aotra amin’ny toerana fifandanjana voalohany, ary tsy hitovy amin’ny aotra raha vao miseho ny fiviliana an-kilany. Ny sanda farany, izay mifandraika amin’ny fiandohan’ny fiviliana an-kilany, dia tena kely indrindra, toy izany koa ny fiovana mifanaraka aminy κ sy d__ϑ/dz.
Samy ao amin’ny tany mahitsy amin’ny axis miolikolika indroa an’ilay tsorakazo ny fizarana roa farany amin’ilay singa dz, ary ho voahodina ao amin’ireo tany mahitsy ireo izy ireo.
Satria isika – tahaka ny amin’ny fiondrikan’ny tsorakazo – dia liana indrindra amin’ny haben’ny enta-mavesatra manakiana, izany hoe ny fiandohan’ny fiondrika miolaka an-kilany, fa tsy dia ny haben’ny déformation loatra, dia azontsika avela tsy hodinihina ho habe amin’ny laharana faharoa ny vokatry ny habe Q, M, MD miaraka amin’ny κ na ϑ’. Noho izany, ho fanatsorana bebe kokoa, dia heverintsika ho tena kely tsy misy fetra koa ny fihodinana lehibe κ1 ary ho raisina tahaka ny κ sy ϑ’.
Fanamarihana: Ny fiantraikan’ny κ__1 dia azo tombanana ara-teôria koa amin’ny tranga manokana tsotra iray (moment de flexion tsy miova M ho enta-mavesatra). Amin’ny ankamaroan’ny filàn’ny injeniera sivily dia azo atao tsinontsinona ny κ__1. Azo eritreretina, ohatra, toy ny hoe ny tohatra ho an’ilay tranga enta-mavesatra dia efa nohasondrotra toy izao ka amin’ny enta-mavesatra manakiana dia tena κ__1=0.
Avy amin’ny fifandanjan’ny singan-kery amin’ny làlana ξ, η, ζ sy ny fepetra momba ny momenta manoloana ireo axa ireo ihany no azo, rehefa avy natao ireo fanalavam-panadinoana voalaza
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Avy amin’ny fampitahana (1c, d i b) dia azo ny
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Amin’ny fanesorana ny Q1 amin’ny fampitahana (1a) dia azo
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Amin’ny alalan’ny fitoviana (1e) dia hesorina amin’izany Q, avy eo u ’’ amin’ny alalan’ny u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Mba hahazoana ny fampitoviana diferansialy ho an’ny ϑ dia hampidirina ireto fifandraisana manaraka ireto eo amin’ny mômanta sy ny fiovana endrika
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
izay manondro B1=EIx sy B=EIy ny hamafin’ny fanoherana ny fiondrika amin’ny tsanganana, C ny hamafin’ny fanoherana ny fihodinana, ary C* ny fanoherana ny fiolahana. Amin’ny kajy manaraka ataontsika dia hesorintsika ireo teny misy C* mba hanatsorana. Raha tsy maintsy ampiharina ohatra amin’ny profil I ireo equation ireo, dia ilaina ny manampy azy araka ny tokony ho izy. Ny fanilihana ny teny v’’ dia midika zavatra mitovy amin’ny fiheverana B1=∞.
Raha esorina ny M sy MD amin’ny alalan’ny laharana 4 dia azo ny equation différentielle ho an’ny fitongilanana mitsangana amin’ny andry manana fizarana tsy miovaova
Ny fampitoviana diferencial (5) dia homogène ary manana laharana fahefatra momba ny ϑ. M1 dia asa efa fantatra amin’ny z arakaraka ny enta-mavesatra.
Teboka manana momenta fiondrika tsy miova
Aoka ho p=N1=0, ankoatra izany Mx=ɱ=const. Tsy misy flanšy ny fizarana (mifangaro) ary lava ny andry raha oharina amin’ny refin’ny fizarana miampita, ka azo raisina fa C*=0. Avy eo dia mora kokoa ny fitoviana (5), noho ny M1=ɱ, ka dia:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
na amin’ny fanafohezana λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Tazom-by misy fanohanana miendrika foroko amin’ny farany roa
Fig. 2
Ny fanohanana amin’ny z=0 sy z=l dia amin’ny endrika tsofoka misy fefy roa (sary 2), izay mamela ny fiondrika u sy v, nefa manakana ny fihodinana amin’ireo fizarana farany; ϑ=0. Satria amin’ny làlana x tsy misy famatorana mafy (izany hoe M=0, na araka ny fampitahana (4) koa u’’=0), dia avy amin’ny fampitahana ho an’ny u’’: MD’=0 ary noho izany avy amin’ny fampitahana (4c) no isehoan’ny fepetra sisiny faharoa ϑ’’=0.
Ny vahaolana ankapoben’ny fitoviana. (6a) dia
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Avy amin’ireo fepetra an-kodiarana no ahazoana
Ity rafitra fampitoviana homogène ity dia manana:
- Vahaolana tsotra A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, izay mifanaraka amin’ny ϑ=0, u’’=0 na u=0, ka tsy mivily amin’ny lafiny izy ilay tsorakazo.
- Vahaolana manokana araka ny Δ=0 na sin λ__l=0. Ny fakany amin’ity fepetra fiviliana sisiny ity dia λ__l=n__π (miaraka amin’ny n=1,2,3,∙∙∙) ary ny enta-mavesatra miondrika mitsikera mifanaraka aminy
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Ny fotoana faran’izay kely amin’ny fihodinana amin’ny lafiny
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
miseho amin’ny n=1. Ny vahaolana mifanaraka aminy dia azo amin’ny alalan’ny fampiharana ny fampitoviana (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Tranga hafa amin’ny fiviliana an-kilany
c) Fiondrika an-daniny noho ny momenta miondrika sy ny hery manosika
Ho an’ny ohatra aseho amin’ny sary 3 dia N1=-D (tsindry), p=0, avy eo dia napetraka C*=0. Dia mihafohy ny fampitoviana diferansialy ( 5 ) ary milaza
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
izay λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Ny vahaolana amin’ny fampitoviana différential (9) dia omena indray ao amin’ny fampitoviana (8), fa izao kosa λ no manondro ny sanda faharoa.
Sary 3
Ho an’ny ohatra amin’ny sary 3 dia mitombina, tahaka ny amin’ny a), ny fepetra amin’ny sisiny ϑ=0 sy ϑ’’=0 ho an’ny z=0 sy z=l. Araka izany dia mitovy amin’ny fomba ofisialy koa ny fampitoviana fepetra ho an’ny A1 ary toy izany koa ny fepetra amin’ny fivilian’ny sisiny Δ=sin λl=0. Ny enta-mavesatra kritika dia manaraka ny fifandraisana λl=nπ (n=1,2,3) ary ny sanda kely indrindra dia
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Ho an’ny D=0 dia azo avy eo ny momenta fiviliana an-daniny araka ny and. (8c) ary ho an’ny enta-mavesatra mamoaka tsindry madio (ɱ=0) ny hery fiviliana Euler _DK=B(π/l)_2.
Ao amin’ny sary 3 ny tranga aseho dia tokony hantsoina hoe fiondrika misintona tsy eo afovoany ao amin’ny sahan’ny y-z. Ny tranga momba ny fitoniana nodinihina teo aloha, araka izany, dia fikitrohana ivelan’ny sahan’ny fiondrika mifandray amin’ny fiondrika an-kilany u sy ny torsion ϑ.
Raha voafintina ny tendrony roa (ϑ=0 sy ϑ’=0) dia avy amin’ny fepetra an-tsisin’ny rafitra, amin’ny alalan’ny Δ=0, no ahazoana ny fepetra momba ny fihondran’ny sisiny
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
miaraka amin’ireo fakany λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) sy ny hery fitongilanana amin’ny sisiny
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.