பக்கவாட்டு வளைவு மற்றும் திருப்ப வளைவு

வளைவினால் ஏற்படும் வளைதல் க்காக, சமநிலை மாறும்போது கம்பி ஒரு முக்கிய தளத்தில் வளைந்திருக்கிறது.

ஆனால், நிலைத்தன்மையின் சில நிகழ்வுகளும் உள்ளன; அவற்றில் கம்பி, அதாவது கம்பி, சமநிலை மாறும்போது வளைவதோடு மட்டுமல்ல, சுழலவும் செய்கிறது (படம். 60a). தாங்கிகளில் இந்த நிகழ்வு பக்கவாட்டு வளைவு என அழைக்கப்படுகிறது; சுருக்கப்பட்ட கம்பிகளில், வளைவும்போது அவை சுழலுக்கும் உட்படுவதால், சுழற்சியுடன் வளைவு என்று கூறப்படுகிறது.

இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கும் திருப்பெதிர்ப்பு கடினத்தன்மை C, அதாவது வளைவெதிர்ப்பு C* ஆகியவற்றின் அளவு தீர்மான முக்கியத்துவம் கொண்டது. ஆகையால், சுழலுடன் தொடர்புடைய சமநிலை மாற்றத்தை முதன்மையாக, சுழல்தன்மையை அதிகரிக்கும் நடவடிக்கைகள் மூலம் பாதிக்க முடியும் (பொருத்தமான குறுக்கு வெட்டு வடிவம், குறுக்கு சட்டகங்கள், பக்க ஆதரவு போன்றவை). மறுபுறம், திறந்த குறுக்கு வெட்டுடன் பட்டை வடிவக் கம்பிகள் திருப்பச் சிதைவு காரணமான வளைவிற்கு மிகவும் உணர்திறன் கொண்டவை.

பக்க வளைவுக்கான வேறுபாட்டுச் சமன்பாடு

படம் 1a

ஒரு நேரான கீற்றில் Ix >> Iy என்ற அளவுக்கு மிகவும் வேறுபட்ட நிலையான இனர்ஷியா தருணங்கள் உள்ளதாகக் கொள்ளலாம். சுமை y-z-தளத்தில் உள்ளது, எனவே கீற்று இந்த முதன்மை தளத்தில் வளைவிற்கு உட்படும் (u=ϑ=0). அனுபவமும் கோட்பாடும் காட்டுவதாவது, இந்த சமநிலை நிலை முதலில் நிலையானது; ஆனால் அதிகமான சுமைகளில் இது நிலையற்றதாகிறது. இந்த இரண்டாவது சமநிலை நிலை குறுக்குவளைவும் ϑ உடன் தொடர்புடைய முறுக்குவும் கொண்டதாகும்.

கீழே பக்கவாட்டு வளைவுக்கான வேறுபாட்டுச் சமன்பாடு導்கொள்ளப்படும். u மற்றும் ϑ க்கான சமன்பாடுகள் ஒரேவகையானவை. எல்லை நிபந்தனைகளும் ஒரேவகையாக இருந்தால், கற்றையின் பக்கவாட்டு வளைவு பிரச்சினையின் சொந்த மதிப்புகளுக்கே மட்டுமே சாத்தியமாகும்; அதாவது, மேலே விவரிக்கப்பட்ட இடையூறு இல்லாத கற்றையில் u மற்றும் ϑ முதலில் பூஜ்யமாகவே இருக்கும். பக்கவாட்டு வளைவின் நிபந்தனை—கம்பத்தின் வளைவுக்கானதைப் போல—சேர்க்கை மாறிலிகளுக்கான ஒரேவகை நிபந்தனைச் சமன்பாடுகளின் குணக நிர்ணயி பூஜ்யத்துக்கு சமம் என வைத்து பெறப்படுகிறது. எலாஸ்டிக் சமநிலையின் உண்மையான கிளைபிரிவு புள்ளி பக்கவாட்டு வளைவிலும் இருப்பதை நாம் காண்போம்.

படம் 1b

படம் 1b-இல் dz நீளமுள்ள கம்பி உறுப்பு காட்டப்பட்டுள்ளது. அழுத்தங்களின் விளைவுகள் N1, Q1, M1, மேலும் வளைவு κ__1 ஆகியவை சுமையைப் பொறுத்தவை மற்றும் இறுதியான மதிப்புகளாகும். Q, M, MD முதற்கட்ட சமநிலை நிலையில் பூஜ்யமாக உள்ளன, ஆனால் பக்க வளைவு ஏற்பட்ட பின்பே அவை பூஜ்யத்திலிருந்து வேறுபடும். பக்க வளைவு தொடக்கம் தொடர்பான இறுதி மதிப்புகள், அதற்கான மாற்றங்கள் κ மற்றும் d__ϑ/dz போலவே, அளவிலற்று சிறியவை.

கூறின் dz என்ற இரு இறுதி வெட்டங்களும் தண்டின் இரட்டை வளைந்த அச்சிற்கு செங்குத்தான தளத்தில் அமைந்துள்ளன மற்றும் இந்த செங்குத்துத் தளங்களில் சுழலப்பட்டிருக்கும்.

கம்பி வளைவு பிரச்சினையைப் போலவே, இங்கே முதன்மையாக நாம் ஆர்வம்கொள்வது முக்கிய சுமையின் அளவு, அதாவது பக்கவாட்டு வளைவின் தொடக்கம்; வடிவமாற்றங்களின் அளவு அதைவிட குறைவு. எனவே Q, M, MD ஆகிய அளவுகளின் பெருக்கல்கள் κ அல்லது ϑ’ உடன் இரண்டாம் அடுக்கு சிறிய அளவுகள் என்பதால் அவற்றைப் பொருட்படுத்தாமலிருக்கலாம். ஆகவே மேலும் எளிமைப்படுத்துவதற்காக, முக்கிய வளைவு κ1 ஐ கூட அளவிட முடியாத அளவு சிறியது எனக் கருதி, அது κ மற்றும் ϑ’ போலவே கையாளப்படும்.

குறிப்பு: κ__1 இன் விளைவும் எளிய சிறப்பு நிலைமையில் (சுமையாக நிலையான வளைவு மொமெண்ட் M) கோட்பாட்டரீதியாக மதிப்பிடப்பட வேண்டும். பெரும்பாலான கட்டிடத் தொழில்நுட்ப தேவைகளில் κ__1 ஐ அலட்சியம் செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அந்தச் சுமை நிலைக்கான கம்பி இவ்வளவு “மேலே உயர்த்தப்பட்டதாக” கற்பனை செய்யலாம்; அதனால் நெருக்கடியான சுமைக்காக հենց κ__1=0.

ξ, η, ζ திசைகளில் விசை கூறுகளின் சமநிலையிலிருந்தும், அதே அச்சுகளைப் பொருத்தமான moment நிபந்தனைகளிலிருந்தும், மேற்கண்ட புறக்கணிப்புகளுக்குப் பின் பெறப்படுகிறது

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

சமன்பாடுகள் (1c, d மற்றும் b) இலிருந்து பெறப்படுகிறது

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

Q1 ஐ சமன்பாட்டிலிருந்து (1a) நீக்கினால் கிடைப்பது

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

சமன்பாடு (1e) இலிருந்து இதனால் Q நீக்கப்படும், பின்னர் u’’ என்பது u’’ = (MD’ + pe_ ϑ_)/M1_ மூலம் பெறப்படும்

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

ϑ க்கான வேறுபாட்டுச் சமன்பாட்டைப் பெற, பின்வரும் கணங்கள் மற்றும் வடிவமாற்றங்களுக்கிடையிலான தொடர்புகள் அறிமுகப்படுத்தப்படும்

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

இதில் B1=EIx மற்றும் B=EIy கம்பியின் வளைவுக்கு எதிரான கடினத்தன்மையை, C முறுக்குக்கு எதிரான கடினத்தன்மையை, மற்றும் C* வளைவுக்கு எதிரான எதிர்ப்பை குறிக்கின்றன. நமது அடுத்த கணக்குகளில் எளிமைக்காக C* உடைய கூறுகளைத் தவிர்ப்போம். சமன்பாடுகள் உதாரணமாக I-சுயவிவரங்களுக்கு பயன்படுத்தப்பட வேண்டுமென்றால், அவற்றை பொருத்தமான முறையில் துணைநிரப்ப வேண்டும். v’’ கூறை புறக்கணிப்பது என்பது B1=∞ என்ற கருதுகோளுக்கு சமம்.

M மற்றும் MD ஆகியவற்றை சமன்பாடு 4 மூலம் நீக்கினால், நிலையான குறுக்குவெட்டுடைய கம்பியின் பக்க வளைவிற்கான வேறுபாட்டுச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது

வேற்றுமைச் சமன்பாடு (5) என்பது ϑ இற்கு தொடர்பாக ஒரேவகையானதும் நான்காம் வரிசையதும் ஆகும். M1 என்பது சுமை நிலைக்கு ஏற்ப z இன் அறியப்பட்ட செயல்பாடு.

மாறாத வளைவு மோமெண்ட் கொண்ட கம்பி

p=N1=0, அதற்கு மேலாக Mx=ɱ=const. குறுக்கு வெட்டு flanše இல்லாதது (நெருக்கப்பட்ட), மேலும் கம்பி குறுக்கு வெட்டு பரிமாணங்களுடன் ஒப்பிடுகையில் நீளமானது; ஆகையால் C*=0 என்று கொள்ளலாம். அப்போது சம. (5) எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது, காரணம் M1=ɱ, ஆகவே:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

அல்லது சுருக்கமாக λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) இரு முனைகளிலும் முள்-வகை ஆதரவுடன் அமைந்த கம்பி

பட. 2

z=0 மற்றும் z=l இல் தாங்குதல் முட்கோல்கள் (படம் 2) வடிவில் உள்ளது; அவை u மற்றும் v வளைவுகளை அனுமதிக்கின்றன, ஆனால் இறுதிப் பிரிவுகள் சுழல்வதைத் தடுக்கின்றன; ϑ=0. x திசையில் இறுக்கப் பிடிப்பு இல்லாததால் (அதாவது M=0, அல்லது சமன்பாடு (4) படியும் u’’=0), _u’’க்கான சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்படுகிறது: MD’=0 மற்றும் அதனால் சமன்பாடு (4c) இலிருந்து இரண்டாவது எல்லை நிபந்தனையாக ϑ’’=0.

சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு (6a) என்பது

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

வரைபட நிபந்தனைகளிலிருந்து பெறப்படுகிறது

இந்த ஒரேமாதிரியான சமன்பாட்டு முறைமைக்கு:

• எளிய தீர்வு A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, இதற்கான பொருத்தம் ϑ=0, u’’=0 அல்லது u=0, இதில் தூண் பக்கவாட்டில் வளைவதில்லை.
• Δ=0 அல்லது sin λ__l=0. இந்த பக்க வளைவு நிபந்தனையின் வேர்கள் λ__l=n__π (இதில் n=1,2,3,∙∙∙) ஆகும், மேலும் அதற்குரிய முக்கிய தருணச் சுமைகள்

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

பக்க வளைவின் குறைந்தபட்ச கணம்

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

n=1 இல் உருவாகிறது. தொடர்புடைய தீர்வு சமன்பாடு (1f) பயன்பாட்டின் மூலம் பெறப்படுகிறது:

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) பக்க வளைவின் பிற நிகழ்வுகள்

c) வளைவு மொமென்ட் மற்றும் அழுத்தும் விசையின் காரணமாக ஏற்படும் பக்கவாட்டு வளைவு

படம் 3 இல் காட்டப்பட்ட எடுத்துக்காட்டிற்கு N1=-D (அழுத்தம்), p=0, பின்னர் C*=0_ அமைக்கப்படுகிறது. அப்போது வேறுபாட்டு சமன்பாடு (5) எளிமைப்படுத்தப்பட்டு இவ்வாறு அமைகிறது

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

இங்கு λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

வேறுபாட்டுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு (9) மீண்டும் சமன்பாடு (8) ஆகவே உள்ளது; ஆனால் இப்போது λ என்பது வேறு மதிப்பைக் குறிக்கிறது.

படம் 3

படம் 3-இன் எடுத்துக்காட்டிற்கு, a) போலவே எல்லை நிபந்தனைகள் ϑ=0 மற்றும் ϑ’’=0 என்பன z=0 மற்றும் z=l க்காகப் பொருந்தும். ஆகவே A1 க்கான நிபந்தனை சமன்பாடுகளும் முற்றிலும் ஒரேவாறாக இருக்கும்; அதேபோல் பக்க வளைவின் நிபந்தனையும் Δ=sin λl=0. முக்கிய சுமை λl=nπ (n=1,2,3) என்ற தொடர்பை பூர்த்தி செய்கிறது, மேலும் குறைந்த மதிப்பு

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

D=0 என்றால், அங்கிருந்து பக்க வளைவு மொமென்ட் சமன்பாடு (8c) படி பெறப்படுகிறது; மேலும் முற்றிலும் அழுத்தச் சுமை (ɱ=0)க்கு Euler-இன் வளைவு விசை _DK=B(π/l)_2.

படம் 3 இல் காட்டப்பட்டுள்ள நிகழ்வு y-z தளத்தில் உள்ள மையமற்ற வளைவாகக் குறிப்பிடப்பட வேண்டும். முன்னர் பரிசீலிக்கப்பட்ட நிலைத்தன்மை நிகழ்வு, எனவே, வளைவுத் தளத்திலிருந்து விலகிய வளைவு, பக்கவாட்டு வளைவு u மற்றும் சுழல் ϑ உடன் இணைந்ததாகும்.

இரு முனைகளும் நிலைநிறுத்தப்பட்டிருந்தால் (ϑ=0 மற்றும் ϑ’=0), அப்போது எல்லை நிபந்தனைகளிலிருந்து, Δ=0 மூலம், பக்க வளைவு நிபந்தனை பெறப்படுகிறது

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) என்ற வேர்களுடனும் பக்க வளைவு விசைகளுடனும்

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.