Para flambagem por flexão, a barra, ao mudar o equilíbrio, flete-se num único plano principal.
Mas há também casos de estabilidade em que a barra, ou viga, ao alterar o equilíbrio, não apenas se flete, mas também se torce (fig. 60a). Nos elementos comprimidos, este fenómeno chama-se flambagem lateral; nas barras comprimidas que, durante a flambagem, estão também sujeitas a torção, fala-se em flambagem por torção.
Para ambos os fenómenos, a grandeza decisiva é a rigidez à torção C, ou então a resistência ao encurvamento C*. A alteração do equilíbrio associada à torção pode, por conseguinte, ser influenciada, em primeiro lugar, por medidas que aumentem a rigidez contra a torção (forma adequada da secção, quadros transversais, apoio lateral, etc.). Por outro lado, as barras em forma de fita com secção aberta são particularmente sensíveis à flexão por torção.
Equação diferencial para flambagem lateral
Fig. 1a
Suponha-se que uma viga reta tenha momentos de inércia constantes, de valores muito desiguais Ix >> Iy. A carga situa-se no plano y-z-, de modo que a viga será fletida neste plano principal (u=ϑ=0). A experiência, assim como a teoria, mostram que esta posição de equilíbrio é inicialmente estável, mas que para cargas maiores se torna instável. Esta segunda posição de equilíbrio está associada à flexão transversal em u e à torção ϑ.
Abaixo será deduzida a equação diferencial para a flambagem lateral. As equações para u e ϑ são homogéneas. Se também as condições de contorno forem homogéneas, então a flambagem lateral da viga só é possível para os valores próprios do problema, ou seja, u e ϑ permanecem primeiro nulos na viga acima descrita, sem perturbação. A condição de flambagem lateral obtém-se – de forma análoga à flambagem de uma barra – impondo que o determinante da matriz dos coeficientes das equações homogéneas de condição para as constantes de integração seja igual a zero. Veremos que, também na flambagem lateral, existe um verdadeiro ponto de bifurcação do equilíbrio elástico.
Fig. 1b
Na fig. 1b é apresentado o elemento de viga de comprimento dz. As resultantes das tensões N1, Q1, M1, bem como a curvatura κ__1 dependem da carga e têm valores finitos. Q, M, MD são nulos na posição de equilíbrio inicial e só diferirão de zero quando ocorrer a encurvadura lateral. Os valores extremos, que se referem ao início da encurvadura lateral, são infinitamente pequenos, tal como as deformações correspondentes κ e d__ϑ/dz.
Ambas as secções extremas do elemento dz situam-se no plano normal ao eixo duplamente curvo da barra e serão torcidas nesses planos normais.
Como, tal como no caso da flambagem de uma barra, nos interessa em primeiro lugar o valor da carga crítica, ou seja, o início da flambagem lateral, e menos o valor das deformações, podemos desprezar os produtos das grandezas Q, M, MD com κ ou ϑ’ como pequenas grandezas de segunda ordem. Por isso, para simplificação adicional, também assumiremos a curvatura principal κ1 como infinitamente pequena e ela será tratada como κ e ϑ’.
Nota: A influência de κ__1 também deve ser avaliada teoricamente no caso especial simples (momento fletor constante M como carga). Na maioria das necessidades da engenharia civil, κ__1 pode ser desprezado. Podemos, por exemplo, imaginar que a viga, para o caso de carga em questão, está tão “contra-flecha” que, para a carga crítica, precisamente κ__1=0.
Do equilíbrio das componentes das forças nas direções ξ, η, ζ e das condições de momento em relação a esses mesmos eixos obtém-se, após as referidas simplificações
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Da eq. (1c, d e b) obtém-se
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminando Q1 da eq. (1a) obtém-se
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Da equação (1e) ficará então eliminado Q, e depois u ’’ por meio de u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Para se obter a equação diferencial de ϑ, introduzem-se as seguintes relações entre momentos e deformações
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
onde indica B1=EIx e B=EIy a rigidez à flexão da viga, C a rigidez à torção e C* a resistência à curvatura. Nos nossos cálculos seguintes omitiremos os termos com C* para simplificação. Se as equações forem aplicadas, por exemplo, a perfis I, é necessário completá-las de forma adequada. Desprezar o termo v’’ significa o mesmo que a suposição B1=∞.
Se M e MD forem eliminados por meio da equação 4, obtém-se a equação diferencial para a flambagem lateral de uma viga de secção constante
A equação diferencial (5) é homogénea e de quarta ordem em relação a ϑ. M1 é uma função conhecida de z em função do carregamento.
Viga com momento de flexão constante
Seja p=N1=0, além disso Mx=ɱ=const. A secção é sem flange (compacta) e a viga é longa em relação às dimensões da secção transversal, de modo que podemos colocar C*=0. Então a equação (5) simplifica-se, devido a M1=ɱ, e fica:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
ou com a abreviação λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Viga com apoio em forquilha nas duas extremidades
Fig. 2
Apoio em z=0 e z=l é em forma de forquilhas (fig. 2), que permitem as flechas u e v, mas impedem a rotação das secções terminais; ϑ=0. Como no sentido x não há engastamento (isto é, M=0, ou, segundo a eq. (4), também u’’=0), resulta da eq. para u’’: MD’=0 e, assim, da eq. (4c) como segunda condição de contorno ϑ’’=0.
A solução geral da eq. (6a) é
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
A partir das condições de contorno obtém-se
Este sistema homogêneo de equações tem:
- Solução trivial A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, a que correspondem ϑ=0, u’’=0 ou u=0, não havendo flambagem lateral da viga.
- Soluções próprias segundo Δ=0 ou sin λ__l=0. As raízes desta condição de encurvadura lateral são λ__l=n__π (com n=1,2,3,∙∙∙) e as correspondentes cargas críticas de momento
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Momento mínimo de flambagem lateral
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
obtém-se em n=1. A solução correspondente é obtida pela aplicação da eq. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Outros casos de flambagem lateral
c) Flambagem lateral devido ao momento fletor e à força de compressão
Para o exemplo mostrado na fig. 3 tem-se N1=-D (compressão), p=0, e foi então definido C*=0. Então a equação diferencial (5) simplifica-se e fica
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
onde λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
A solução da equação diferencial (9) é dada novamente pela eq. (8), só que agora λ обозначa outro valor.
Fig. 3
Para o exemplo da fig. 3 valem, tal como em a), as condições de contorno ϑ=0 e ϑ’’=0 para z=0 e z=l. Assim, as equações condicionais para A1 são formalmente as mesmas, bem como a condição de flambagem lateral Δ=sin λl=0. A carga crítica satisfaz a relação λl=nπ (n=1,2,3) e o menor valor é
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Para D=0 obtém-se daí o momento de flambagem lateral conforme a eq. (8c) e, para carga puramente compressiva (ɱ=0), a força de flambagem de Euler- _DK=B(π/l)_2.
Na fig. 3 o caso apresentado deve ser designado como flexão excêntrica no plano y-z. O caso de estabilidade anteriormente considerado é, portanto, encurvamento fora do plano de flexão, associado à flexão lateral u e à torção ϑ.
Se ambas as extremidades estiverem engastadas (ϑ=0 e ϑ’=0), então, a partir das condições de contorno, por meio de Δ=0, obtém-se a condição de flambagem lateral
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
com as raízes λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) e as forças de flambagem lateral
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.