makurduraren ondoriozko okerdurarako hagaxka oreka-aldaketan plano nagusi batean makurtuta dago.
Baina badira egonkortasun-kasu batzuk ere, zeinetan barra edo habe bat oreka aldatzean ez ezik, tolestu ere egiten baita, baita bihurritu ere (ikus 60a). Euskarrietan fenomeno horri alboko pikoaldura deitzen zaio; pikoalduran, torsioaren eraginpean ere jartzen diren barra konprimituetan, torsiozko pikoalduraz hitz egiten da.
Bi fenomenoetan erabakigarria da tortsioaren aurkako zurruntasunaren C balioa, edo, bestela, kurbatzearen aurkako erresistentzia C*. Tortsioarekin lotutako oreka-aldaketan, beraz, lehenik eta behin bihurduraren aurkako zurruntasuna handitzen duten neurrien bidez eragin daiteke (sekzioaren forma egokia, zeharkako markoak, alboko euskarria, etab.). Bestalde, sekzio irekiko zerrenda-itxurako hagaak bereziki sentikorrak dira tortsiozko pandeatzearekiko.
Alboko okerdurarako ekuazio diferentziala
Ir. 1a
Har dezagun habe zuzen batek inertzia-momentu konstanteak dituela, oso tamaina desberdinekoak Ix >> Iy. Karga y-z-planoan dago, eta, beraz, habe hori plano nagusi horretan okertuko da (u=ϑ=0). Esperientziak zein teoriak erakusten dute oreka-posizio hori hasieran egonkorra dela, baina karga handiagoetan ezegonkor bihurtzen dela. Bigarren oreka-posizio hori zeharkako okerdurarekin eta ϑ torsioarekin lotuta dago.
Jarraian, alboko pandeorako ekuazio diferentziala eratuko da. u eta ϑ ekuazioak homogeneoak dira. Eta kontur-egoerak ere homogeneoak badira, habeak alboko pandedoera soilik egin dezake arazoaren balio propioetarako, hau da, u eta ϑ hasieran nulua izaten jarraitzen dute goian deskribatutako asaldurarik gabeko habean. Alboko pandeo-baldintza lortzen da —hagaxkaren pandeoan bezala— integrazio-konstanteentzako baldintza-ekuazio homogeneoen koefizienteen determinantea nulutzat hartzen bada. Ikusiko dugu alboko pandeoan ere oreka elastikoaren benetako adarkatze-puntua dagoela.
Ir. 1b
Ir. 1b-n dz luzerako habe-elementua aurkezten da. N1, Q1, M1 tentsioen emaitzak, baita κ__1 kurbadura ere, kargaren menpe daude eta tamaina finituak dira. Q, M, MD zero dira hasierako oreka-posizioan, eta zero izatetik desbideratuko dira alboko pandeoa gertatzen denean bakarrik. Alboko pandeoaren hasierari dagozkion azken balioak infinitesimalak dira, baita κ eta d__ϑ/dz deformazioak ere.
dz elementuaren bi muturreko sekzioak barraren bi aldiz kurbatutako ardatzarekiko plano normal batean daude, eta plano normal horietan bihurrituta egongo dira.
Arrabolen kasuan bezala, hemen ere gure interes nagusia karga kritikoaren balioa denez, hau da, albo-desbideratzearen hasiera, eta ez hainbeste deformazioen balioa, Q, M, MD balioen eta κ edo _ϑ’_ren arteko biderkadurak bigarren mailako txikiak diren neurriak bezala bazter ditzakegu. Beraz, sinplifikazio handiagoa lortzeko, κ1 kurbadura nagusia ere infinituki txiki gisa joko dugu, eta κ eta ϑ’ bezala tratatuko da.
Oharra: _κ__1_ren eragina teorikoki ere baloratu behar da kasu berezi sinple batean (M okerdura-momentu konstantea karga gisa). Eraikuntza-teknikaren behar gehienetan κ__1 bazter daiteke. Adibidez, pentsa dezakegu kasu horretako habea hain dela «gainezarrita» kargaren kasurako, non karga kritikorako κ__1 bera dela =0.
Indar-komponenten ξ, η, ζ norabideetako orekatik eta ardatz horien berberarekiko momentu-baldintzetatik, aipatutako sinplifikazioak egin ondoren, lortzen da
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Ekuazioetatik (1c, d eta b) lortzen da
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Q1 ezabatuz (1a) ekuaziotik lortzen da
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Horrela, Q ezabatuko da ekuaziotik (1e), ondoren u ’’ u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ bidez
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
ϑ-rako ekuazio diferentziala lortzeko, momentuen eta deformazioen arteko erlazio hauek sartuko dira
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
non B1=EIx eta B=EIy habeak tolesturaren aurkako zurruntasuna adierazten duten, C bihurduraren aurkako zurruntasuna, eta C* bihurdurarekiko erresistentzia. Gure ondorengo kalkuluetan, sinplifikatzeko, C* duten terminoak baztertuko ditugu. Ekuazioak, adibidez, I-profiletan aplikatu behar badira, behar bezala osatu behar dira. v’’ terminoa baztertzeak B1=∞ suposatzearekin gauza bera esan nahi du.
M eta MD kenduz, 4 ekuazioaren bidez, sekzio konstanteko habe baten alboko okerduraren diferentziazko ekuazioa lortzen da
Diferentzial ekuazioa (5) homogeneoa da eta laugarren ordenakoa ϑ-ri dagokionez. M1 z-ren funtzio ezaguna da, kargaren arabera.
Tolestura-momentu konstanteko habea
Har bedi p=N1=0, eta gainera Mx=ɱ=const. Sekzioak ez du flanjarik (trinkoa da) eta habea luzanga da sekzio gurutzatuaren neurriekin alderatuta, beraz, C*=0 jar dezakegu. Orduan, (5) ekuazioa sinplifikatzen da, M1=ɱ delako, eta hau da:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
edo laburduraz λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Bi muturretan sardexka-euskarri duen habe bat
Irudia. 2
z=0 eta z=l denean euskarria sardexka-itxurakoa da (ik. 2), eta horrek u eta v deformazioak ahalbidetzen ditu, baina muturreko sekzioen biraketa eragozten du; ϑ=0. x noranzkoan koska-itxierarik ez dagoenez (hau da, M=0, edo, 4 ekuazioaren arabera, u’’=0 ere bai), u’’-ren ekuaziotik ondorioztatzen da: MD’_=0 eta, hala, (4c) ekuaziotik, bigarren muga-baldintza gisa ϑ’’=0.
Ekuazioaren soluzio orokorra (6a) hau da
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Konturen baldintzetatik honako hau lortzen da
Sistema homogeneo honek honako hauek ditu:
- Ebazpen hutsala A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, eta horri ϑ=0, u’’=0 edo u=0 dagokio, eta habeak ez du albo-okerdurarik jasaten.
- Berezko soluzioak Δ=0 edo λ__l=0 sinuaren arabera. Alboko pitzadura-begiztatzearen baldintza honen erroak λ__l=n__π dira (n=1,2,3,∙∙∙) eta dagozkien momentu-karga kritikoak
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Alboko tolesturaren momentu txikiena
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
n=1-n sortzen da. Dagokion soluzioa, ekuazioaren (1f) bidez, honako hau da:
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Alboko okerduraren bestelako kasuak
c) Toleste-momentuaren eta konpresio-indarraren ondoriozko alboko makurdura
Irudian erakusten den adibiderako 3 da N1=-D (presioa), p=0, eta ondoren C*=0 jarri da. Orduan, diferentzial-berdinketa (5) sinplifikatu eta honela geratzen da
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
non λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Ekuazio diferentzialaren (9) ebazpena berriro ere (8) ekuazioak ematen du, baina oraingoan λ-k beste balio bat adierazten du.
Ir. 3
Adibiderako, irud. 3-rako, a) kasurako bezala, ϑ=0 eta ϑ’’=0 kontorno-baldintzak betetzen dira z=0 eta z=l direnean. Beraz, _A1_rako baldintza-berdintzak ere formalki berdinak dira, eta alboko okerduraren baldintza ere bai Δ=sin λl=0. Karga kritikoak λl=nπ erlazioa betetzen du (n=1,2,3) eta balio txikiena da
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
D=0-rako, handik lortzen da albo-okerduraren momentua, ekuaz. (8c) arabera, eta karga hutsa konpresiozkoa denean (ɱ=0) Euler-en okerdura-indarra _DK=B(π/l)_2.
3Irudian aurkeztutako kasua y-z planoan egindako flexio eszentriko gisa izendatu behar da. Aurretik aztertutako egonkortasun-kasua, beraz, flexio-planoaren kanpoko bihurdura da, albo-flexio u eta torsio ϑ lotuta dituena.
Bi muturrak enkastratuta badaude (ϑ=0 eta ϑ’=0), orduan, ingurune-baldintzetatik, Δ=0 erabiliz, alboko pikoaren baldintza lortzen da
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) erroekin eta alboko okerdura-indarrekin
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.