Για λυγισμό λόγω κάμψης η ράβδος κατά τη μεταβολή της ισορροπίας κάμπτεται σε ένα κύριο επίπεδο.
Αλλά υπάρχουν και τέτοιες περιπτώσεις ευστάθειας κατά τις οποίες η ράβδος, δηλαδή η δοκός, κατά την απώλεια της ισορροπίας κάμπτεται όχι μόνο αλλά και στρέφεται (σχ. 60a). Στους φορείς το φαινόμενο αυτό ονομάζεται πλευρικός λυγισμός, ενώ στις θλιβόμενες ράβδους, οι οποίες κατά τον λυγισμό υποβάλλονται επίσης σε στρέψη, γίνεται λόγος για λυγισμό υπό στρέψη.
Για τα δύο φαινόμενα καθοριστική σημασία έχει το μέγεθος της στρεπτικής δυσκαμψίας C, δηλ. της αντίστασης στην κάμψη C*. Στη μεταβολή της ισορροπίας που συνδέεται με τη στρέψη μπορεί συνεπώς πρωτίστως να επηρεαστεί κανείς με μέτρα που αυξάνουν τη δυσκαμψία έναντι της στρέψης (κατάλληλο σχήμα διατομής, εγκάρσια πλαίσια, πλευρική αντιστήριξη κ.λπ.). Από την άλλη πλευρά, οι ράβδοι σε μορφή ταινίας με ανοικτή διατομή είναι ιδιαίτερα ευαίσθητες σε λυγισμό υπό στρέψη.
Διαφορική εξίσωση για πλευρικό λυγισμό
Σχ. 1a
Ας θεωρήσουμε ότι μια ευθύγραμμη δοκός έχει σταθερές ροπές αδράνειας πολύ άνισου μεγέθους Ix >> Iy. Το φορτίο βρίσκεται στο επίπεδο y-z-ώστε η δοκός να κάμπτεται σε αυτό το κύριο επίπεδο (u=ϑ=0). Η εμπειρία, καθώς και η θεωρία, δείχνουν ότι αυτή η θέση ισορροπίας είναι αρχικά σταθερή, αλλά ότι για μεγαλύτερα φορτία γίνεται ασταθής. Αυτή η δεύτερη θέση ισορροπίας συνδέεται με εγκάρσια κάμψη σε και με στρέψη ϑ.
Παρακάτω θα αναπτυχθεί η διαφορική εξίσωση για πλευρικό λυγισμό. Οι εξισώσεις για το u και το ϑ είναι ομογενείς. Αν και οι συνοριακές συνθήκες είναι ομογενείς, τότε ο πλευρικός λυγισμός της δοκού είναι δυνατός μόνο για τις ιδιοτιμές του προβλήματος, δηλαδή το u και το ϑ παραμένουν αρχικά μηδέν για την παραπάνω αδιατάρακτη δοκό. Η συνθήκη πλευρικού λυγισμού προκύπτει – παρόμοια όπως και στον λυγισμό ράβδου – αν τεθεί ίση με το μηδέν η ορίζουσα του συντελεστή των ομογενών εξισώσεων συνθηκών για τις σταθερές ολοκλήρωσης. Θα δούμε ότι και στον πλευρικό λυγισμό υπάρχει αληθινό σημείο διακλάδωσης της ελαστικής ισορροπίας.
Σχ. 1b
Στη σχ. 1b παρουσιάζεται το στοιχείο δοκού μήκους dz. Οι συνισταμένες των τάσεων N1, Q1, M1, καθώς και η καμπυλότητα κ__1 εξαρτώνται από το φορτίο και είναι πεπερασμένα μεγέθη. Οι Q, M, MD είναι μηδέν στην αρχική θέση ισορροπίας και θα αποκλίνουν από το μηδέν μόνο όταν εμφανιστεί πλευρικός λυγισμός. Τα τελικά μεγέθη, που αναφέρονται στην έναρξη του πλευρικού λυγισμού, είναι απειροστά μικρά, όπως και οι αντίστοιχες παραμορφώσεις κ και d__ϑ/dz.
Και οι δύο ακραίες διατομές του στοιχείου dz βρίσκονται σε κάθετο επίπεδο προς τον διπλά καμπύλο άξονα της ράβδου και θα είναι στρεβλωμένες σε αυτά τα κάθετα επίπεδα.
Εφόσον μας ενδιαφέρει πρωτίστως — όπως και στην περίπτωση λυγισμού ράβδου — το μέγεθος του κρίσιμου φορτίου, δηλαδή η έναρξη του πλευρικού λυγισμού, και λιγότερο το μέγεθος των παραμορφώσεων, μπορούμε να παραμελήσουμε τα γινόμενα των μεγεθών Q, M, MD με το κ ή το ϑ’ ως μικρά μεγέθη δεύτερης τάξης. Επομένως, για περαιτέρω απλοποίηση θα υποθέσουμε και τη βασική καμπυλότητα κ1 ως απειροελάχιστη και θα αντιμετωπιστεί ως κ και ϑ’.
Σημείωση: Η επίδραση του κ__1 πρέπει επίσης να εκτιμηθεί θεωρητικά σε μια απλή ειδική περίπτωση (σταθερή ροπή κάμψης M ως φορτίο). Στις περισσότερες ανάγκες της δομικής τεχνικής μπορεί να παραμεληθεί το κ__1. Μπορούμε, για παράδειγμα, να φανταστούμε ότι η δοκός για τη συγκεκριμένη περίπτωση φόρτισης είναι τόσο «υπερυψωμένη» ώστε για το κρίσιμο φορτίο να ισχύει ακριβώς κ__1=0.
Από την ισορροπία των συνιστωσών των δυνάμεων στις διευθύνσεις ξ, η, ζ και από τις συνθήκες ροπών ως προς τους ίδιους αυτούς άξονες προκύπτει, μετά τις προαναφερθείσες παραλείψεις
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Από τις εξισώσεις (1c, d και b) προκύπτει
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Με απαλοιφή του Q1 από την εξ. (1a) προκύπτει
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Από την εξίσ. (1e) θα εξαλειφθεί έτσι το Q, κατόπιν το u ’’ μέσω u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Για να προκύψει η διαφορική εξίσωση για το ϑ θα τεθούν οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ ροπών και παραμορφώσεων
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
όπου δηλώνει B1=EIx και B=EIy τη δυσκαμψία έναντι κάμψης του δοκού, C τη δυσκαμψία έναντι στρέψης, και C* την αντίσταση σε στρεβλή κάμψη. Στους περαιτέρω υπολογισμούς μας θα παραλείψουμε τους όρους με C* για απλοποίηση. Αν οι εξισώσεις πρόκειται να εφαρμοστούν π.χ. σε I-προφίλ, τότε πρέπει να συμπληρωθούν κατάλληλα. Η παράλειψη του όρου v’’ σημαίνει το ίδιο με την υπόθεση B1=∞.
Αν τα M και MD απαλειφθούν με τη βοήθεια της εξ. 4, προκύπτει η διαφορική εξίσωση για πλευρικό λυγισμό δοκού σταθερής διατομής
Η διαφορική εξίσωση (5) είναι ομογενής και τέταρτης τάξης ως προς ϑ. Το M1 είναι γνωστή συνάρτηση του z, ανάλογα με τη φόρτιση.
Δοκός με σταθερή ροπή κάμψης
Έστω p=N1=0, επιπλέον Mx=ɱ=const. Η διατομή είναι χωρίς πέλμα (συμπαγής) και η δοκός είναι μακριά σε σχέση με τις διαστάσεις της διατομής, έτσι ώστε να μπορούμε να θέσουμε ότι C*=0. Τότε απλοποιείται η εξίσ. (5), λόγω M1=ɱ, και είναι:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
ή με τη συντομογραφία λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
α) Δοκός με αρθρωτή στήριξη και στα δύο άκρα
Εικ. 2
Η στήριξη στα z=0 και z=l είναι με τη μορφή αρθρώσεων (σχ. 2), οι οποίες επιτρέπουν τις καμπές u και v, αλλά εμποδίζουν τη στροφή των ακραίων διατομών· ϑ=0. Εφόσον στην κατεύθυνση x δεν υπάρχει πάκτωση (δηλ. M=0, ή σύμφωνα με την εξίσ. (4) επίσης u’’=0), προκύπτει από την εξίσ. για το u’’: MD’=0 και έτσι από την εξίσ. (4c) ως δεύτερη οριακή συνθήκη ϑ’’=0.
Η γενική λύση της εξίσωσης (6a) είναι
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Από τις συνοριακές συνθήκες προκύπτει
Αυτό το ομογενές σύστημα εξισώσεων έχει:
- Τριβιακή λύση A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, στην οποία αντιστοιχεί ϑ=0, u’’=0 ή u=0, ενώ η δοκός δεν εκτρέπεται πλευρικά.
- Ιδιοτιμές λύσεις σύμφωνα με το Δ=0 ή το sin λ__l=0. Οι ρίζες αυτής της συνθήκης πλευρικής λυγισμού είναι λ__l=n__π (με n=1,2,3,∙∙∙) και τα αντίστοιχα κρίσιμα ροπιαία φορτία
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Ελάχιστη ροπή πλευρικού λυγισμού
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
προκύπτει στο n=1. Η αντίστοιχη λύση λαμβάνεται με εφαρμογή της εξίσωσης (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Άλλες περιπτώσεις πλευρικής κάμψης
c) Πλευρική λυγιστική παραμόρφωση λόγω ροπής κάμψης και θλιπτικής δύναμης
Για το παράδειγμα που φαίνεται στο σχ. 3 ισχύει N1=-D (πίεση), p=0, στη συνέχεια τίθεται C*=0. Τότε η διαφορική εξίσ. (5) απλοποιείται και γράφεται
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
όπου είναι λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Η λύση της διαφορικής εξίσωσης (9) δίνεται πάλι από την εξίσ. (8), μόνο που τώρα το λ δηλώνει άλλη τιμή.
Σχ. 3
Για το παράδειγμα του σχ. 3 ισχύουν, όπως και για το α), οι συνοριακές συνθήκες ϑ=0 και ϑ’’=0 για z=0 και z=l. Επομένως και οι εξισώσεις συνθήκης για A1 είναι τυπικά ίδιες, όπως επίσης και η συνθήκη πλευρικού λυγισμού Δ=sin λl=0. Το κρίσιμο φορτίο ικανοποιεί τη σχέση λl=nπ (n=1,2,3) και η μικρότερη τιμή είναι
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Για D=0 προκύπτει από εκεί η ροπή πλευρικού λυγισμού σύμφωνα με την εξίσ. (8c) και για καθαρά θλιπτική φόρτιση (ɱ=0) η Euler-ειδής δύναμη λυγισμού _DK=B(π/l)_2.
Στο σχ. 3 η παρουσιαζόμενη περίπτωση πρέπει να χαρακτηριστεί ως εκκεντρική κάμψη στο επίπεδο y-z. Η προηγουμένως εξετασθείσα περίπτωση ευστάθειας είναι, λοιπόν, λυγισμός εκτός του επιπέδου κάμψης συνδεδεμένος με πλευρική κάμψη u και στρέψη ϑ.
Αν και τα δύο άκρα είναι πακτωμένα (ϑ=0 και ϑ’=0), τότε από τις συνοριακές συνθήκες, με τη βοήθεια του Δ=0, προκύπτει η συνθήκη πλευρικής λυγισμού
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
με ρίζες λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) και δυνάμεις πλευρικού λυγισμού
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.