Pro vzpěr při ohybu je prut při změně rovnováhy ohnut v jedné hlavní rovině.
Jsou však i takové případy stability, kdy se tyč, resp. nosník, při ztrátě rovnováhy nejen ohýbá, ale i kroutí (obr. 60a). U nosníků se tento jev nazývá boční vybočení, u tlačených tyčí, které jsou při vybočení vystaveny také torzi, se hovoří o vybočení při torzi.
Pro oba jevy je rozhodující velikost tuhosti proti torzi C, resp. odolnost proti kroucení C*. Na změnu rovnováhy spojenou s torzí lze proto především působit opatřeními, která zvyšují tuhost proti zkroucení (vhodný tvar průřezu, příčné rámy, boční podepření atd.). Na druhé straně jsou prutové pásy s otevřeným průřezem zvláště citlivé na vzpěr při torzi.
Diferenciální rovnice pro boční vzpěr
Obr. 1a
Uvažujme přímý nosník s konstantními momenty setrvačnosti velmi nestejné velikosti Ix >> Iy. Zatížení leží v rovině y-z, takže nosník bude ohýbán v této hlavní rovině (u=ϑ=0). Zkušenost i teorie ukazují, že tato rovnovážná poloha je zpočátku stabilní, ale pro větší zatížení se stává labilní. Tato druhá rovnovážná poloha je spojena s příčným ohybem v a s torzí ϑ.
Níže bude odvozena diferenciální rovnice pro boční klopení. Rovnice pro u a ϑ jsou homogenní. Jsou-li i okrajové podmínky homogenní, pak je boční klopení nosníku možné pouze pro vlastní hodnoty problému, tj. u i ϑ zůstávají zpočátku nulové u výše popsaného nenarušeného nosníku. Podmínka bočního klopení se získá – podobně jako u klopení prutu – položí-li se determinant koeficientů homogenních podmínkových rovnic pro integrační konstanty roven nule. Uvidíme, že i při bočním klopení existuje skutečný bod větvení pružné rovnováhy.
Obr. 1b
Na obr. 1b je znázorněn prvek nosníku délky dz. Výslednice napětí N1, Q1, M1, jakož i křivost κ__1 závisí na zatížení a jsou konečné velikosti. Q, M, MD jsou v původní rovnovážné poloze nulové a od nuly se budou lišit teprve při vzniku bočního vybočení. Konečné veličiny, které se vztahují k počátku bočního vybočení, jsou nekonečně malé, stejně jako odpovídající deformace κ a d__ϑ/dz.
Oba krajní průřezy prvku dz leží v normální rovině na dvojitě zakřivenou osu prutu a budou v těchto normálních rovinách pootočeny.
Jelikož nás – stejně jako při vzpěru prutu – zajímá především velikost kritického zatížení, tedy začátek bočního vybočení, a méně velikost deformací, můžeme součiny veličin Q, M, MD s κ nebo ϑ’ zanedbat jako malé veličiny druhého řádu. Proto budeme pro další zjednodušení považovat i hlavní zakřivení κ1 za nekonečně malé a bude posuzováno stejně jako κ a ϑ’.
Poznámka: Vliv κ__1 je třeba posoudit i teoreticky v jednoduchém speciálním případě (konstantní ohybový moment M jako zatížení). Ve většině potřeb stavební techniky lze κ__1 zanedbat. Můžeme si například představit, jako by byl nosník pro daný případ zatížení takto „předpjat“ tak, že pro kritické zatížení je právě κ__1=0.
Z rovnováhy složek sil ve směrech ξ, η, ζ a z momentových podmínek vzhledem k týmž osám se po uvedených zanedbáních získá
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Z rovnic (1c, d i b) dostaneme
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminací Q1 z rovn. (1a) dostaneme
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Ze vzorce (1e) bude tímto eliminováno Q, poté u ’’ prostřednictvím u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Aby bylo možné odvodit diferenciální rovnici pro ϑ, zavedou se následující vztahy mezi momenty a deformacemi
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
kde označuje B1=EIx a B=EIy tuhost proti ohybu nosníku, C tuhost proti kroucení a C* odpor proti vybočení. V našich dalších výpočtech budeme členy s C* pro zjednodušení vynechávat. Má-li být rovnice použita např. na I-profily, je třeba ji odpovídajícím způsobem doplnit. Zanedbání členu v’’ znamená totéž co předpoklad B1=∞.
Pokud se M a MD eliminují pomocí rov. 4, dostane se diferenciální rovnice pro boční vybočení nosníku konstantního průřezu
Diferenciální rovnice (5) je homogenní a čtvrtého řádu podle ϑ. M1 je známá funkce od z v závislosti na zatížení.
Nosník s konstantním momentem ohybu
Nechť je p=N1=0, kromě toho Mx=ɱ=const. Průřez je bez příruby (zhuštěný) a nosník je dlouhý vzhledem k rozměrům příčného průřezu, takže můžeme položit, že C*=0. Pak se zjednoduší vz. (5), díky M1=ɱ, takže:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
nebo zkráceně λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Nosník s vidlicovou podporou na obou koncích
Obr. 2
Podepření při z=0 a z=l je ve formě vidlic (obr. 2), které umožňují průhyby u a v, ale zabraňují otáčení koncových průřezů; ϑ=0. Protože ve směru x není žádné vetknutí (tj. M=0, nebo podle rov. (4) také u’’=0), plyne z rovnice pro u’’: MD’_=0 a tím z rov. (4c) jako druhá okrajová podmínka ϑ’’=0.
Obecné řešení rov. (6a) je
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Z obrysových podmínek se získá
Tento homogenní systém rovnic má:
- Triviální řešení A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, čemuž odpovídá ϑ=0, u’’=0 nebo u=0, přičemž se nosník bočně nevzpírá.
- Vlastní řešení podle Δ=0 nebo sin λ__l=0. Kořeny této podmínky bočního vybočení jsou λ__l=n__π (s n=1,2,3,∙∙∙) a odpovídající kritické momentové zatížení
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Nejmenší moment bočního vzpěru
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
vzniká při n=1. Odpovídající řešení je aplikací rov. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Ostatní případy bočního vybočení
c) Boční klopení vlivem ohybového momentu a tlakové síly
Pro příklad ukázaný na obr. 3 je N1=-D (tlak), p=0, potom bylo dosazeno C*=0. Pak se diferenciální rovnice (5) zjednoduší a zní
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
kde je λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Řešení diferenciální rovnice (9) je opět dáno rovnicí (8), jen nyní λ označuje jinou hodnotu.
Obr. 3
Pro příklad na obr. 3 platí, stejně jako pro a), okrajové podmínky ϑ=0 a ϑ’’=0 pro z=0 a z=l. Proto jsou i podmínkové rovnice pro A1 formálně stejné a také podmínka bočního vybočení Δ=sin λl=0. Kritické zatížení splňuje vztah λl=nπ (n=1,2,3) a nejmenší hodnota je
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Pro D=0 se odtud získá moment bočního vybočení podle rov. (8c) a pro čistě tlačené zatížení (ɱ=0) Eulerův-vychylovací síla _DK=B(π/l)_2.
Na obr. 3 zobrazený případ je třeba označit jako excentrické ohýbání v rovině y-z. Dříve posuzovaný případ stability je tedy vybočení z roviny ohybu spojené s bočním ohybem u a torzí ϑ.
Jsou-li oba konce vetknuty (ϑ=0 a ϑ’=0) pak se z okrajových podmínek, pomocí Δ=0, získá podmínka bočního vybočení
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
s kořeny λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) a silami bočního vybočení
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.