对于 受弯屈曲，杆件在平衡状态改变时会在一个主平面内发生弯曲。
但也有这样的稳定性情况，即杆件或梁在平衡状态改变时，不仅发生弯曲，还会发生扭转（图60a）。对于构件，这种现象称为_侧向屈曲_；对于受压杆件，在屈曲时还会受到扭转作用，则称为_扭转屈曲_。
对于这两种现象，抗扭刚度 C，即抗翘曲刚度 C*，具有决定性意义。因此，与扭转相关的平衡变化，首先可以通过提高抗扭刚度的措施加以影响（合适的截面形状、横向框架、侧向支撑等）。另一方面，具有开口截面的带状杆件对扭转屈曲尤为敏感。
侧向屈曲微分方程
图 1a
设一根直梁具有恒定的惯性矩，且两主惯性矩相差很大，Ix >> Iy。荷载位于 y-z-平面内，因此梁将在这一主平面内弯曲（u=ϑ=0）。经验和理论都表明，这一平衡位置起初是稳定的，但在较大荷载下会变为不稳定。第二种平衡状态与横向弯曲 u 以及扭转 ϑ 有关。
下文将导出侧向屈曲的微分方程。关于 u 和 ϑ 的方程是齐次的。若边界条件也是齐次的，则梁的侧向屈曲只可能对应于该问题的特征值，即在上述未受扰动的梁中，u 和 ϑ 首先保持为零。侧向屈曲条件的获得——类似于杆件屈曲——是通过令齐次条件方程关于积分常数的系数行列式等于零。我们将看到，侧向屈曲中同样存在弹性平衡的真正分岔点。
图 1b
图 1b示出了长度为 dz 的梁单元。应力合力 N1、Q1、M1，以及曲率 κ__1 都取决于荷载，并且是有限值。Q、M、MD 在最初的平衡位置为零，只有在发生侧向屈曲时才不再为零。与侧向屈曲开始相对应的极限量是无穷小的，相应的变形 κ 和 d__ϑ/dz 也是如此。
构件 dz 的两个端截面都位于垂直于杆件双曲线轴的法平面内，并将在这些法平面内发生扭转。
由于我们——与杆件屈曲时一样——首先关注的是临界载荷的大小，也就是侧向屈曲的开始，而较少关注变形的大小，因此可将 Q、M、MD 与 κ 或 ϑ’ 的乘积视为二阶小量而忽略。为进一步简化，还可将主曲率 κ1 设为无穷小，并按 κ 和 ϑ’ 处理。
注：κ__1 的影响在一个简单特殊情况下（将恒定弯矩 M 作为荷载）也可以从理论上加以估算。在大多数结构工程需求中，κ__1 可以忽略。例如，可以设想该受力情况下的梁被“预拱”到这样的程度，以致临界荷载时恰好有 κ__1=0。
由 ξ, η, ζ 方向上的力分量平衡以及关于同一坐标轴的力矩条件，在上述忽略之后得到
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
由式 (1c, d i b) 可得
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
通过消去方程（1a）中的 Q1，得到
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
由方程 (1e) 将由此消去 Q，然后通过 u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ 求得 u’’。
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
为了得到关于 ϑ 的微分方程，将引入以下力矩与变形之间的关系
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
其中 B1=EIx 和 B=EIy 表示梁抗弯刚度，C 表示抗扭刚度，而 C* 表示翘曲阻力。为了简化，我们在后续计算中将省略含 C* 的项。如果这些方程要用于例如 I 型钢，则需要作相应补充。忽略 v’’ 项，等同于假定 B1=∞。
若借助式 4 消去 M 和 MD，即可得到_恒截面梁侧向屈曲的微分方程_
微分方程（5）关于 ϑ 是齐次四阶方程。M1 是 z 的已知函数，取决于荷载。
具有恒定弯矩的梁
设 p=N1=0，此外 Mx=ɱ=const。截面无翼缘（致密），且梁相对于截面尺寸较长，因此可取 C*=0。这样方程 (5) 可简化，因为 M1=ɱ，故：
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
或者采用缩写 λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) 两端为叉形支座的梁
图2
在 z=0 和 z=l 处的支承形式为叉形支座（图 2），它允许 u 和 v 挠度，但限制端截面的转动；ϑ=0。由于在 x 方向没有固结（即 M=0，或者按式 (4) 亦有 u’’=0），由 u’’ 的方程可得：MD’_=0，因此由式 (4c) 作为第二个边界条件，ϑ’’=0。
方程 (6a) 的通解为
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
由边界条件可得
这个齐次方程组具有：
- 平凡解 A1 = A2 = ∙∙∙ = 0，对此对应 ϑ=0、u’’=0 或 u=0，此时梁不会发生侧向扭曲。
- 特征解对应于 Δ=0 或 sin λ__l=0。该侧向屈曲条件的根为 λ__l=n__π（其中 n=1,2,3,∙∙∙），相应的临界弯矩载荷为
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
侧向屈曲最小弯矩
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
在 n=1 时出现。相应解可通过式 (1f) 得到：
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) 其他侧向屈曲情况
c) 由于弯矩和压力而引起的侧向屈曲
对于图 3 所示的例子，N1=-D（受压），p=0，然后取 C*=0。于是微分方程（5）简化为：
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
其中 λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
微分方程（9）的解仍由式（8）给出，只是此时 λ 表示另一个值。
图 3
对于图 3 的例子，同样适用于 a) 的轮廓条件 ϑ=0 和 ϑ’’=0，对应 z=0 和 z=l。因此，关于 A1 的条件方程在形式上也是相同的，侧向屈曲条件 Δ=sin λl=0 亦然。临界荷载满足关系 λl=nπ （n=1,2,3），其最小值为
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
对于 D=0，可由公式 (8c) 得到侧向屈曲弯矩；对于纯受压荷载 (ɱ=0)，Euler-的屈曲力为 _DK=B(π/l)_2。
图 3 所示情况应称为 y-z 平面内的偏心弯曲。因此，前述稳定性情况是与侧向弯曲 u 和扭转 ϑ 相关的出平面弯曲屈曲。
如果两端都被固接（ϑ=0 且 ϑ’=0），则根据边界条件，借助 Δ=0，可得到侧向屈曲条件
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
具有根 λ__l=m__π（m=2,4,∙∙∙）以及侧向屈曲力
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.