ಪಾರ್ಶ್ವ ವಂಗಿಕೆ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಶನ್‌ನಲ್ಲಿನ ವಂಗಿಕೆ

ಬೆಂಡಿಂಗ್ ಸಮಯದ ಬಕ್ಲಿಂಗ್ ಗಾಗಿ, ಸಮತೋಲನದ ಬದಲಾವಣೆಯಲ್ಲಿ ದಂಡವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಕ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಇಂತಹ ಸ್ಥಿರತಾ ಸಂದರ್ಭಗಳೂ ಇವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಬ ಅಥವಾ ಕಿರಣ ಸಮತೋಲನ ಬದಲಾಗುವಾಗ ಕೇವಲ ವಂಗುವುದಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ತಿರುಗಲೂ ಕೂಡುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 60a). ಕಂಬಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಈ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪಾರ್ಶ್ವ ವಂಗಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿರುವ ಕಂಬಗಳು, ವಂಗನೆಯಾಗುವಾಗ ಟಾರ್ಷನ್‌ಗೆ ಸಹ ಒಳಗಾಗುವ ಕಾರಣ, ಇದನ್ನು ಟಾರ್ಷನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ವಂಗಣೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಎರಡು ಘಟನಗಳಿಗೆ ಟೋರ್ಷನ್ ವಿರುದ್ಧದ ಕಠಿಣತೆ C ಮತ್ತು ವಕ್ರಮಣ ನಿರೋಧ C* ಅತಿ ಮಹತ್ವದವು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೋರ್ಷನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮತೋಲನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ತಿರುವು ವಿರುದ್ಧದ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕ್ರಮಗಳಿಂದ (ಸಂಬಂಧಿತ ಅಡ್ಡಕತ್ತರಿಕೆ ಆಕಾರ, ಅಡ್ಡ ಫ್ರೇಮ್‌ಗಳು, ಬದಿಪಾಲು ಆಧಾರ ಇತ್ಯಾದಿ) ಪ್ರಭಾವಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ತೆರೆದ ಅಡ್ಡಕತ್ತರಿಕೆಯ ಪಟ್ಟಿಯಾಕಾರದ ದಂಡಗಳು ಟೋರ್ಷನಲ್ ಬಕ್ಲಿಂಗ್‌ಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂವೇದನಶೀಲವಾಗಿವೆ.

ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಕುಲತೆಯ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ

ಚಿತ್ರ. 1a

ಒಂದು ಸರಿ ಬೀಮ್‌ಗೆ ತುಂಬಾ ಅಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ ಸ್ಥಿರ ಜಡತ್ವ ಕ್ಷಣಗಳು Ix >> Iy ಇದ್ದವೆಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಭಾರವು y-z-ತಳದಲ್ಲಿ ಇರಲಿ, ಹೀಗಾಗಿ ಬೀಮ್ ಈ ಮುಖ್ಯ ತಳದಲ್ಲಿ ವಂಗುತ್ತದೆ (u=ϑ=0). ಅನುಭವವೂ ಸಿದ್ಧಾಂತವೂ ಈ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾರಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಎರಡನೇ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿ ಅಡ್ಡ ಬಾಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಷನ್ ϑ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬದಿಪ್ರವಣ ಬಕ್ಕಳಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು導ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. u ಮತ್ತು ϑ ಗೆ ಇರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನಸ್ವರೂಪದವು. ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳೂ ಸಮಾನಸ್ವರೂಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಂಬದ ಬದಿಪ್ರವಣ ಬಕ್ಕಳಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ವಮಾನಗಳಿಗಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ, ಅಂದರೆ ಮೇಲ್ಕಾಣಿಸಿದ ಅಶಾಂತಿಗೊಳಗಾಗದ ಕಂಬದಲ್ಲಿ u ಮತ್ತು ϑ ಮೊದಲು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬದಿಪ್ರವಣ ಬಕ್ಕಳಿಕೆಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು — ದಂಡದ ಬಕ್ಕಳಿಕೆಯಂತೆಯೇ — ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನಸ್ವರೂಪದ ಷರತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಕ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಿಪ್ರವಣ ಬಕ್ಕಳಿಕೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಲವಚಿಕ ಸಮತೋಲನದ ನಿಜವಾದ ಶಾಖಾ ಬಿಂದುವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 1b

ಚಿತ್ರ. 1b ನಲ್ಲಿ dz ಉದ್ದದ ಬೀಮ್ ಅಂಶವನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒತ್ತಡಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು N1, Q1, M1, ಹಾಗು ವಕ್ರತೆ κ__1 ಲೋಡ್‌ನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದು, ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. Q, M, MD ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಮುರಿತ ಸಂಭವಿಸುವವರೆಗೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಡ್ಡ ಮುರಿತದ ಆರಂಭಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕವುಗಳಾಗಿವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಕೃತಿಗಳಾದ κ ಮತ್ತು d__ϑ/dz ಕೂಡ.

ಅಂಶ _dz_ಯ ಎರಡೂ ಕೊನೆಯ ಅಡ್ಡಕೋಶಗಳು ದ್ವಿತೀಯವಾಗಿ ವಕ್ರವಾದ ಕಡ್ಡಿಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದ್ದು, ಈ ಲಂಬ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ತಿರುಗಲ್ಪಡುವವು.

ದಂಡದ ವಂಕರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೇಗೋ ಹಾಗೆಯೇ, ಇಲ್ಲಿ ಸಹ ನಮಗೆ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುವುದು ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಭಾರ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣ, ಅಂದರೆ ಬದಿಗೆ ವಂಕರಣೆಯ ಆರಂಭ, ವಿಕೃತಿ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ; ಆದ್ದರಿಂದ Q, M, MD ಗಳನ್ನು κ ಅಥವಾ ϑ’ ಯೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಮುಂದಿನ ಸರಳೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಮುಖ್ಯ ವಕ್ರತೆ κ1 ಅನ್ನು ಸಹ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕದೆಂದು ಊಹಿಸಿ, ಅದನ್ನು κ ಮತ್ತು ϑ’ ಗಳಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: κ__1 ನ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಸಹ ಸರಳ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಸ್ಥಿರ ಬಾಗುವ ಕ್ಷಣ M ಒಂದು ಭಾರವಾಗಿ) ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಿವಿಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಗತ್ಯಗಳಲ್ಲಿ κ__1 ಅನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾರ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬೀಮ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟು “ಅತಿಉನ್ನತ”ವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಬಹುದು, ಹೀಗಾಗಿ ಆಕಾಲಿಕ ಭಾರಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ κ__1=0.

ξ, η, ζ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಬಲಘಟಕಗಳ ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಕ್ಷಗಳ ಕುರಿತ ಕ್ಷಣ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ, ಮೇಲ್ಕಂಡ ನಿರ್ಲಕ್ಷ್ಯಗಳ ನಂತರ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

ಸಮೀಕರಣದ (1c, d ಮತ್ತು b) ಮೂಲಕ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

Q1 ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (1a) ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಲಭ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

ಸಮೀಕರಣ (1e) ಯಿಂದ ಇದರಿಂದ Q ನಿವಾರಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ u ’’ ಅನ್ನು u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

ϑ ಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

ಇಲ್ಲಿ B1=EIx ಮತ್ತು B=EIy ಗಿರ್ಡರ್‌ನ ವಂಗಣದ ವಿರುದ್ಧದ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, C ತಿರುಚುವಿಕೆಯ ವಿರುದ್ಧದ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು, ಮತ್ತು C* ವಕ್ರಣದ ಪ್ರತಿರೋಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಮುಂದಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ C* ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಕೈಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು I-ಪ್ರೊಫೈಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಪೂರೈಸುವುದು ಅಗತ್ಯ. v’’ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವುದು B1=∞ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

M ಮತ್ತು MD ಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣ 4 ಮೂಲಕ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ಒಂದೇ ಅಡ್ಡಕೊರೆಯುಳ್ಳ ಕಂಬದ ಬದಿಪ್ರಕಾರ ಬಾಗುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ

ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣ (5) ϑ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಘಾತೀಯವಾಗಿದ್ದು ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮದ್ದಾಗಿದೆ. M1 는 ಭಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ z ನಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಥಿರ ವಂಶನ ಕ್ಷಣ ಹೊಂದಿರುವ ಗರಡು

p=N1=0 ಆಗಿರಲಿ, ಅದಲ್ಲದೆ Mx=ɱ=const. ಅಡ್ಡಕತ್ತರಿಕೆ ಫ್ಲ್ಯಾಂಜ್‌ರಹಿತ (ಸಂಕುಚಿತ) ಆಗಿದ್ದು, ಗರ್ಭದಣಿಗೆಯು ಅಡ್ಡಕತ್ತರಿಕೆಯ ಆಯಾಮಗಳಿಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು C*=0 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆಗ ಸಮೀ. (5) ಸರಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ M1=ɱ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷೇಪಣೆಯೊಂದಿಗೆ λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) ಎರಡೂ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಠಿಣ ಕಿವಿಬಿಗಿತ ಆಧಾರವಿರುವ ಬೀಮ್

ಚಿತ್ರ. 2

z=0 ಮತ್ತು z=l ನಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು ಫೋರ್ಕ್‌ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ (ಚಿತ್ರ 2), ಇದು u ಮತ್ತು v ವಂಗಿಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೊನೆಯ ಅಡ್ಡಕತ್ತರಿಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ; ϑ=0. x ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರೀಕರಣ ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ (ಅಂದರೆ M=0, ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣ (4) ಪ್ರಕಾರವೂ u’’=0), u’’ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ: MD’_=0 ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣ (4c) ಪ್ರಕಾರ ಎರಡನೇ ಗಡಿ ಷರತ್ತಾಗಿ ϑ’’=0.

ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ. (6a) ಎಂದರೆ

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

ಪಾರ್ಶ್ವ ಶರತ್ತುಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಈ ಸಮಘಟಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇವು ಇವೆ:

• ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ಇದಕ್ಕೆ ϑ=0, u’’=0 ಅಥವಾ u=0 ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ ಗರ್ಡರ್ ಪಾರ್ಶ್ವವಾಗಿ ಬಕುಲವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
• ಸ್ವಂತ ಪರಿಹಾರಗಳು Δ=0 ಅಥವಾ λ__l=0 ರ ಸೈನ್‌ಗಾಗಿ. ಈ ಅಡ್ಡ ಮಡಚುವ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬೇರುಗಳು λ__l=n__π ( n=1,2,3,∙∙∙ ಜೊತೆಗೆ) ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂಕಟಕಾರಿ ಮರುಗಟ್ಟಿ ಭಾರಗಳು

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಅಡ್ಡ ಬಾಗುವ ಕ್ಷಣ

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

n=1 ನಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ (1f) ಅನ್ವಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) ಇತರೆ ಬದಿ ವಕ್ರಣದ ಸಂದರ್ಭಗಳು

c) ಮಡಿವಣ ಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಒತ್ತುವ ಬಲದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪಾರ್ಶ್ವ ವಂಗಿಕೆ

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3 N1=-D (ಒತ್ತಡ), p=0, ನಂತರ C*=0 ಎಂದು ಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಆಗ ವಿಭೇದ ಸಮೀಕರಣ (5) ಸರಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

ಅಲ್ಲಿ λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ (9) ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸಮೀಕರಣ (8) ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ λ ಮತ್ತೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 3

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿತ್ರ 3ಗೆ, a) ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ಕಂಟೂರ್ ಶರತ್ತುಗಳು ϑ=0 ಮತ್ತು ϑ’’=0 ಅನ್ನು z=0 ಮತ್ತು z=l ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ A1 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಷರತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳೂ ರೂಪಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಬದಿಯ ಬಾಗುವಿಕೆಯ ಶರತ್ತು Δ=sin λl=0 ಕೂಡ. ಸಂಕಟಭರಿತ ಭಾರವು λl=nπ (n=1,2,3) ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವು

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

D=0 ಗೆ ಅಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (8c) ಪ್ರಕಾರ ಬದಿಯ ಬಾಗುವಿಕೆಯ ಕ್ಷಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶುದ್ಧ ಸಂಕುಚನ ಭಾರಕ್ಕೆ (ɱ=0) Euler-ನ ಬಾಗುವ ಬಲ _DK=B(π/l)_2.

ಚಿತ್ರ 3 ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು y-z ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯ ವಂಶನ ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಂಚೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರಕರಣವು, ವಂಶನ ಸಮತಲದಿಂದ ಹೊರಗಿನ ವಕ್ರಣವು ಪಾರ್ಶ್ವ ವಂಶನ u ಮತ್ತು ತಿರುಚುಣೆ ϑ ಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದದ್ದಾಗಿದೆ.

ಎರಡೂ ತುದಿಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಟ್ಟಿಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ (ϑ=0 ಮತ್ತು ϑ’=0) ಆಗ ಗಡಿ ಶರತ್ತುಗಳಿಂದ, Δ=0 ಬಳಸಿ, ಪಾರ್ಶ್ವ ವಕ್ರಣದ ಶರತ್ತು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) ಎಂಬ ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಬದಿಬಾಗುವಿಕೆಯ ಬಲಗಳೊಂದಿಗೆ

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.